角的平分线精讲精练(含解答)

角的平分线
【基础知识精讲】
角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)
角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B是满足条件A的点的集合，要说明两点：①图形B上的所有点满足条件A.②满足条件A的所有点都在图形B上.
关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.
角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS”定理及“HL”公理.
本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理.
应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.
难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用.
例1 △ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离.(图3.9-1)
图3.9-1
分析 设DE为D到AB的距离，由角平分线性质CD=DE，再由已知可求CD、DE.
解 作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，DC⊥AC，又AD为∠BAC平分线，∴DC=DE，BC=64，BD∶DC=9∶7
∴DC=×64=28 ∴DE=28
例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.
分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.
证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC与∠ACB的平分线交于O，再证AO平分∠BAC.
图3.9-2
已知：△ABC中，AA′，BB′，CC′为角平分线，求证AA′，BB′，CC′交于一点.
证 设BB′，CC′交于O，过O分别作OD⊥BC于D，DE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∵O在∠ABC平分线上，∴OD=OF.
O在∠ACB平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.
∴O在∠BAC平分线上，即O在AA′上，∴AA′，BB′，CC′交于一点.
注：该点称为三角形内心.
例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.
分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理
判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.
解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“+=1，+=2”等，都能说明逆命题为假命题.
【难题巧解点拨】
例1 △ABC的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD将△ABC分为面积比为3∶5的两部分，且AB＜AC，求AB，AC.(图3.9-3)
图3.9-3
分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S△ABD∶S△ADC=3∶5,此条件不好利用，故考虑AD为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD中AB边上的高，△ADC中AC边上的高相等，从得求出x∶y,进而求出x,y.
解 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.∵AD为角平分线∴DE=DF
∵AB＜AC，∵S△ABD∶S△ADC=（DE·AB）∶（DF·AC）=AB∶AC=3∶5
∴x+y+17=41 x∶y=3∶5 (x＜y)
∴x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.
例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？
图3.9-4
分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P为△ABC的两外角∠MBC和∠NCB的角平分线交点.此时P到三边AB、AC、BC的距离PD=PF=PE.而P不为△ABC的内角平分线交点.
注意：不要误以为过点向△ABC三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.
【同步达纲练习】
一、判断（3分×8=24分）
( )1.P为∠AOB内一点，C在OA上，D在OB上，若PC=PD，则OP平分∠AOB.
( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.
( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.
( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.
( )5.任何命题都有逆命题.
( )6.任何定理都有逆定理.
( )7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.
( )8.有命题“若x=y，则x2=y2”的逆命题是个假命题.
二、填空(4分×8=32分)
1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .
2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .
3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.
4.P在∠MON的角平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA+PB=12，则PA= ，PB= .
5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .
6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.
7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .
三、选择(5分×6=3分)
1.下列说法正确的是( )
A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题也是真命题 D.假命题的逆命题是假命题
2.P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP,则下面结论正确的是( )
A.PM＞QM B.PM=QN C.PM＜QN D.PM=PQ
3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )
A.两角平分线交点在三角形内 B.两角平分线交点在第三个角的平分线上
C.两角平分线交点到三边距离相等 D.两角平分线交点到三顶点距离相等
4.下列命题中，正确的命题有几个( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③不是对顶角的两个角就不相等;④不相等的角不是对顶角
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
5.设a,b为实数，下面四个命题.
①若a＞b, 则a2＞b2 ②若a2＞b2, 则a＞b
③若＞， 则a2＞b2 ④若a2＞b2 则＞
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.下列命题真命题是( )
A.同位角相等 B.同旁内角相等，两直线平行
C.不相等的角不是内错角 D.同旁内角不互补，两直线不平行
四、解答题(7分×2=14分)
1.如图3.9-6，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，
求证∠AOP=∠BOP.
图3.9-6
2.△ABC的外角∠CBD，∠BCE的角平分线交于点F，求证AF平分∠BAC.
【素质优化训练】
1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.
图3.9-7
2.△ABC中，AB=BC=CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H.求证OP+OM+ON=AH.
【生活实际运用】
1.如图(3.9-8)，某铁路MN和公路PQ相交于点O，且交角为90°,某仓库G在A区，到公路、铁路距离相等(即G在∠NOQ的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O的距离为200m.
(1)在图上标出仓库G的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：
(2)求出仓库G到铁路的实际距离.
图3.9-8
参考答案：
【同步达纲练习】
一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√
二、1.距离，集合 2.交于一点，相等 3.相等的角是对顶角，假 4.6，6 5.逆命题，逆定理 6.有两个锐角的三角形是直角三角形，假 7.两直线平行，同位角相等
三、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D
四、1.作PM⊥OA交OA延长线于M PN⊥OB交OB延长线于N.
∵S△OPA=S△OPB ∴OA·PM=OB·PN OA=OB ∴PM=PN ∴∠AOP=∠BOP
2.提示：过F分别作三边的垂线FM，FP，FN. 易证FM=FP=FN，再利用角平分线性质可得结论.
【素质优化训练】
1.作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N. AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE
∴△ABD≌△ACE ∴S△ABD=S△ACE ∴S△BOE=S△COD.
又BE=CD ∴OM=ON ∴AO平分∠BAC.
2.S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC.
AH·BC=OP·AB+BC·OM+AC·ON 又AB=BC=CA
∴OP+OM+ON=AH.
【生活实际运用】
(1)略 (2)100(m)