7.2.2 同角三角函数关系
第1课时 同角三角函数关系
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
导语
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”．在我们看来南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．
一、利用同角三角函数的关系求值
问题1 观察下表，你能发现什么？
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？
提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.
知识梳理
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
例1 (1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ .
答案 －
解析 由已知得
由①得sin α＝2cos α，
代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
又α∈，所以cos α<0，
所以cos α＝－.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝＝＝，
tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝.
反思感悟 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
解 ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，
cos α＝，sin α＝－.
二、利用同角三角函数的基本关系化简
问题3 你能发现同角三角函数的哪些变形形式？
提示 sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
例2 化简下列各式：
(1)；
(2)·.
解 (1)原式＝
＝＝
＝1.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝·＝±1.
反思感悟 利用同角三角函数基本关系化简的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
跟踪训练2 化简：＋(1＋tan2α)cos2α.
解 原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
三、一般恒等式的证明
例3 求证：＝.
证明 方法一
因为右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边．
所以原等式成立．
方法二 因为左边＝
＝，
右边＝＝
＝
＝
＝，
所以左边＝右边，原等式成立．
反思感悟 证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
跟踪训练3 求证：＝.
证明 方法一
左边＝
＝＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二 右边＝＝
＝
＝＝左边．
所以原等式成立．
1．知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系．
(2)利用同角三角函数的基本关系化简．
(3)对一般恒等式的证明．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．若sin α＝，则sin2α－cos2α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 因为sin α＝，
所以cos2α＝1－sin2α＝，
则原式＝－＝－.
2．化简的值为( )
A．tan B．－
C．1 D．－1
答案 D
解析 原式＝＝＝－1.
3．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵sin φ＝－，
∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，
又|φ|<，即－<φ<，∴cos φ>0，
∴cos φ＝，
∴tan φ＝＝＝－.
4．若2sin α＋cos α＝0，则－＝ .
答案 －
解析 2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
原式＝
＝
＝＝－2tan2α＝－.
1．若α是第四象限角，tan α ＝－，则sin α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 因为tan α＝＝－，
sin2α＋cos2α＝1，
所以sin α＝±.
因为α是第四象限角，所以sin α＝－.
2．(多选)已知sin θ＝，cos θ＝，则m的值可以等于( )
A．0 B．4 C．6 D．8
答案 AD
解析 根据同角三角函数的基本关系sin2 θ＋cos2 θ＝1，将sin θ＝，cos θ＝代入，解得m＝0或m＝8.
3．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，
sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2sin2θcos2θ＝，
∴sin2θcos2θ＝，
又sin θcos θ>0，
∴sin θcos θ＝.
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
6．(多选)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( )
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
答案 ACD
解析 由商数关系可知A，D均不正确；当α为第二象限角时， cos α<0，sin α>0，故B正确，C不正确．
7．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝ ，tan α＝ .
答案 －
解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－，
∴sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝.
8．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝ .
答案 0
解析 原式＝
cos α·＋sin α·
＝cos α·＋sin α·.
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝－1＋1＝0.
9．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
10．(1)化简：tan α (其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
(1)解 因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α
＝tan α
＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)证明 ·
＝·
＝·
＝＝＝1.
11．若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 A
解析 ∵α是第二象限角，且tan α＝m，
∴m<0，sin α>0，cos α<0，mcos α＝sin α，
代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∴cos α＝－.
12．若＝－，则的值是( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由sin2α＋cos2α＝1，
得1－cos2α＝sin2α，
∴＝.
∵＝－，
∴＝－，
即＝－.
13．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
答案 A
解析 原式＝(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝＝＝sin α.
14．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ .
答案
解析 由于tan α＝＝cos α，
则sin α＝cos2α，
所以sin α＝1－sin2α，
解得sin α＝.
又sin α＝cos2α>0，
所以sin α＝.
15．化简：＝ .
答案 sin2α
解析 原式＝
＝
＝
＝＝sin2α.
16．若α∈，求＋的最小值．
解 ∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin2α＋cos2α)＝10＋＋≥10＋2＝16，
∵α∈，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，
∴＋的最小值是16.第2课时 同角三角函数关系的应用
学习目标 1.会利用同角三角函数的基本关系式进行弦切互化求值.2.会利用同角三角函数的基本关系式对sin θ±cos θ型求值.3.会利用同角三角函数的基本关系式对条件恒等式证明．
一、弦切互化求值
例1 已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝
＝－.
(3)原式＝＝
＝＝.
反思感悟 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
跟踪训练1 已知tan α＝，求的值．
解 方法一 (代入法)
∵tan α＝，∴＝，
∴sin α＝cos α，
∴原式＝＝＝－.
方法二 (弦化切) ＝
＝＝－.
二、sin θ±cos θ型求值
例2 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ.
解 方法一 由sin θ＋cos θ＝，
得cos θ＝－sin θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
代入得sin2θ＋2＝1，
整理得sin2θ－sin θ－＝0，
即＝0，
解得sin θ＝－或sin θ＝.
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝.
所以cos θ＝－sin θ＝－＝－，
sin θ－cos θ＝－＝.
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cos θ＝，两边平方，
整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0，
所以sin θ－cos θ>0，
又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ
＝1＋＝，
所以sin θ－cos θ＝.
反思感悟 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
跟踪训练2 若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
答案 －2
解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
∴sin θcos θ＝－.
∴tan θ＋＝＋
＝＝－2.
三、条件恒等式的证明
例3 若<α<2π，求证：＋＝－.
证明 ∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋
＝＋
＝＋
＝－－
＝－＝右边．
∴原等式成立．
反思感悟 对于有条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符号、消元等．
跟踪训练3 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以cos2β＝2cos2α，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
1．知识清单：
(1)弦切互化求值．
(2)对sin θ±cos θ型求值．
(3)对条件恒等式证明．
2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法．
3．常见误区：忽视α所在的象限进行分类讨论．
1．若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
答案 B
解析 ＝＝.
2．若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ等于( )
A．10 B．± C．2 D.
答案 D
解析 已知tan θ＝2，
则2sin2θ－3sin θcos θ
＝
＝
＝＝.
3．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.
4．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知θ∈，
所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝
＝＝.
1．已知＝，则tan α等于( )
A．0 B．1
C．－ D．－3
答案 C
解析 方法一 上下同除以cos α得
＝，
解得tan α＝－.
方法二 ＝，
即16(sin α＋2cos α)＝5(5cos α－sin α)，
整理得21sin α＝－7cos α，
∴tan α＝－.
2．已知sin α＝3cos α，则sin2α＋cos2α等于( )
A．－ B.
C. D．－
答案 B
解析 ∵sin α＝3cos α，∴tan α＝3，
∴sin2α＋cos2α＝
＝＝＝.
3．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
由0<θ<，
知sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－.
4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝，
∴sin α·cos α＝－<0，
∵α是三角形一内角，
∴α∈，即三角形为钝角三角形．
5．(多选)下列计算或化简结果正确的有( )
A．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
B．若tan x＝，则＝1
C．若sin α＝，则tan α＝2
D．若α为第一象限角，则＋＝2
答案 AD
解析 A正确，tan θ＋＝＋＝＝2；
B不正确，＝＝＝2；
C不正确，∵α的范围不确定，∴tan α的符号不确定；
D正确，∵α为第一象限角，
∴原式＝＋＝2.
6．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 BC
解析 ∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，
又∵(sin α＋cos α)2
＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α
＝1＋2sin αcos α＝2，
解得2sin αcos α＝，
∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，
∴sin α>0，cos α>0，
∴sin α－cos α符号不确定，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
＝1－＝，
∴sin α－cos α＝±.
7．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ＝ .
答案
解析 ∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.
∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝
＝
＝
＝＝.
8．若α∈，tan α＝，则tan α＝ .
答案
解析 因为tan α＝，
所以＝，
即2sin α－sin2α＝cos2α，
所以2sin α＝sin2α＋cos2α＝1，
即sin α＝，
又因为α∈，
所以α＝，
则tan α＝.
9．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2).
解 (1)＋
＝＋
＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
10．已知＋＝1，求证＋＝1.
证明 设sin2A＝m(0sin2B＝n(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
由＋＝1，得＋＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.
11．若α∈，2sin α＋cos α＝，则tan α等于( )
A．－2 B．2
C. D．－
答案 A
解析 (2sin α＋cos α)2
＝4sin2α＋cos2α＋4sin αcos α
＝
＝＝，
所以11tan2α＋20tan α－4＝0，
解得tan α＝－2或tan α＝，
又α∈，
所以tan α＝－2.
12．若＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )
A．0 B．2 C．4 D．0或4
答案 C
解析 若＝2，
则sin2θ＋2＝2cos θ，
即1－cos2θ＋2＝2cos θ，
即(cos θ－1)(cos θ＋3)＝0，
解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，
故有cos θ＝1，sin θ＝0.
∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4×1＝4.
13．在△ABC中，cos A＋sin A＝，则cos A－sin A等于( )
A．± B．±
C．－ D.
答案 A
解析 因为cos A＋sin A＝，
所以2＝2，
即sin2A＋2sin Acos A＋cos2A＝，
所以1＋2sin Acos A＝，
所以2sin Acos A＝，
所以(cos A－sin A)2
＝cos2A－2sin Acos A＋sin2A
＝1－2sin Acos A＝1－＝，
由2sin Acos A＝>0，
可得A∈，
当A∈时，cos A≥sin A，
则cos A－sin A＝，
当A∈时，cos A则cos A－sin A＝－，
综上，cos A－sin A＝±.
14．已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，则sin θcos θ＝ ，sin θ－cos θ＝ .
答案 －
解析 因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知θ为第二象限角，所以sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ
＝
＝＝.
15．若sin4θ＋cos4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
答案 D
解析 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ·cos2θ
＝1－2sin2θ·cos2θ＝1，
∴sin θ·cos θ＝0.
当sin θ＝0时，cos θ＝±1，
∴sin θ＋cos θ＝±1；
当cos θ＝0时，sin θ＝±1，
∴sin θ＋cos θ＝±1.
16．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解 假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵sin α<0，cos α<0，
∴sin α＋cos α＝－m<0，②
sin αcos α＝>0.③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
