第2课时 三角函数线
学习目标 1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
导语
角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数)．作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
一、三角函数线
问题1 你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α＝怎样表示？
提示 如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α；过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT，有tan α＝AT＝.
问题2 当α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tan α＝怎样表示呢？
提示 用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1,0)作单位圆的切线，则有向线段MP，OM，AT就分别等于sin α，cos α，tan α.
知识梳理
三角函数线
(1)有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.
(2)三角函数线
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.如图．过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线，即tan α＝AT＝.如图．
注意点：
(1)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；
(2)当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线：
(1)π；(2)－π.
解 如图．有向线段MP，OM，AT分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线．
反思感悟 作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线；作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线：
(1)；(2)－.
解 如图，有向线段MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．
二、利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较：sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小．
解 如图，sin ＝MP，
cos ＝OM，tan ＝AT，sin ＝M′P′，
cos ＝OM′，tan ＝AT′.
∴sin >sin ，cos >cos ，
tan
反思感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步
(1)角的位置要“对号入座”．
(2)比较三角函数线的长度．
(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2 (多选)依据三角函数线作出如下四个判断，其中判断正确的有( )
A．sin ＝sin
B．cos＝cos
C．tan >tan
D．sin >sin
答案 BD
解析 分别作出各角的三角函数线(图略)，
可知sin ＝－sin ，
cos＝cos ，
tan sin >sin ，
所以BD正确．
三、利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
反思感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
跟踪训练3 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围．
解 由题意知
如图，
由三角函数线可得
∴<α<或π<α<π.
1．知识清单：
(1)三角函数线的概念．
(2)利用三角函数线比较大小．
(3)利用三角函数线解不等式(组)．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的．
1．角和角有相同的( )
A．正弦值 B．余弦值
C．正切线 D．不能确定
答案 C
解析 因为角和角的终边互为反向延长线，故由三角函数线的定义知两角有相同的正切线．
2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在直线y＝x上
C．在y轴上
D．在直线y＝x或y＝－x上
答案 A
解析 由题意可知cos α＝±1，
因此，角α的终边在x轴上．
3．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知sin x≤，利用单位圆解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
4．若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos α＝________.
答案 －
解析 因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，
所以cos α<0，所以cos α＝－.
1．若MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
答案 C
解析 在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM，如图所示，则OM2．(多选)下列说法错误的有( )
A．正弦线MP也可写成PM
B．三角函数线表示的值都只能是非负值
C．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
D．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点
答案 AB
解析 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒，三角函数线表示的值也可取正值、负值、0.
3．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A．MP与AT的方向相同
B．MP＝AT
C．MP>0，AT<0
D．MP<0，AT>0
答案 C
解析 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的，MP＝sin >0，AT＝tan <0.
4．设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则( )
A．aC．b答案 B
解析 作出角的三角函数线如图所示，
由图象知cos 5．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin x≤cos x.
6．已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由tan A－≥0，得tan A≥，
又0由tan A＝，得A＝.
作出的正切线AT，如图所示．
由图可得，当≤A<时，tan A≥，此时≤sin A<1，
故sin A的取值范围是.
7．若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为________________．
答案 或
解析 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上．又0<α<2π，
∴α＝或.
8．在[－π，π]上，满足sin x≤的x的取值范围是________________．
答案 ∪
解析 如图所示，
因为sin ＝sin ＝，
所以满足sin x≤的x的取值范围为∪.
9．设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式．
(1)sin2α＋cos2α＝1；(2)tan α＝.
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？
证明 如图，α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.
(1)在Rt△PMO中，
MP2＋OM2＝1，
即sin2α＋cos2α＝1.
(2)∵△PMO∽△TAO，∴＝，
即tan α＝.
若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立．
10．已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即.
11．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αB．tan αC．sin αD．cos α答案 A
解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM12．根据三角函数线写出正弦函数在[0，π]上的值域为( )
A．R B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－1,0]
答案 B
解析 利用三角函数线可以得到正弦函数在[0，π]上的值域为[0,1]．
13．sin 4，cos 4，tan 4的大小关系是( )
A．sin 4B．tan 4C．cos 4D．sin 4答案 D
解析 作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α，其中虚线表示的是角的终边，
∵4>，则MP即sin 414．不等式tan α＋>0的解集是________．
答案
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴所求解集为.
15．把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为________________．
答案 cos 解析 如图可知，sin ＝M1P1>0，
sin ＝M2P2>0，
tan ＝AT>0，
cos ＝OM3<0.
而0∴0∴cos 16．当α∈时，求证：sin α<α证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线分别为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝|α|OA2＝α，
S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α即sin α<α第1课时 任意角的三角函数
学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.熟记特殊角的三角函数值.3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号．
导语
游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课．
一、三角函数的定义及应用
问题1 初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？
提示 在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边．
问题2 之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？
提示 有交点，交点唯一．
知识梳理
任意角的三角函数的定义
条件 如图，α为任意角，它的终边上异于原点的任一点P(x，y)与原点的距离r＝，此时点P是角α的终边与半径为r的圆的交点
定义 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α＝
余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α＝
正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α＝
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z
注意点：
三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则tan α＝________.
答案 －
解析 因为点P(y<0)在单位圆上，
则由勾股定理得＋y2＝1，
所以y＝－，所以tan α＝－.
(2)(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－，则x的值为( )
A．－ B．－1
C．1 D.
答案 BC
解析 OP＝，
∵sin α＝＝＝－，
解得x2＝1，∴x＝±1.
延伸探究 在本例(2)中，将“sin α＝－”改为“cos α＝－”求x的值．
解 OP＝，
∴cos α＝＝＝－，
解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，
cos α＝.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解 r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
二、特殊角的三角函数值
例2 利用定义求的正弦、余弦和正切值．
解 如图所示，的终边与单位圆的交点为P，
过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，OP＝1，∠POB＝，
则PB＝，OB＝，
则P.
所以sin ＝，
cos ＝－，
tan ＝＝－.
反思感悟 先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值．
跟踪训练2 的正弦、余弦和正切值分别为________．
答案 －，，－
解析 在直角坐标系中，作∠AOB＝，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，
所以sin ＝－，
cos ＝，tan ＝－.
三、三角函数符号的判断
问题3 根据三角函数的定义，大家大胆猜测一下三角函数值在各个象限内的符号．
提示 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负．
知识梳理
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例3 (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
答案 ABD
解析 －100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0.
反思感悟 判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练3 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵点P(sin α，cos α)在第三象限，
∴∴α为第三象限角．
1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法．
(2)特殊角的三角函数值．
(3)三角函数值在各象限内的符号．
2．方法归纳：转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.
1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设交点坐标为P(x，y)，
则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，
∴点P.
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 设点P(－4,3)，
则OP＝＝5，
∴cos α＝＝－.
3．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
4．若点P(，－1)在角α的终边上，则sin α＝________.
答案 －
解析 因为P(，－1)，故OP＝2，
故sin α＝＝－.
1．已知点P(1，－2)是角α终边上一点，则sin α＋cos α等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为点P(1，－2)是角α终边上一点，
所以sin α＝－，cos α＝，
所以sin α＋cos α＝－.
2．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
答案 D
解析 因为cos α＝－<0，所以x<0，
又r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.
3．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A．cos 80°<0 B．sin 140°>0
C．tan >0 D．tan >0
答案 BCD
解析 ∵0°<80°<90°，
∴cos 80°>0；
∵90°<140°<180°，
∴sin 140°>0；
∵∈，
∴tan >0；
∵∈，
∴tan >0.
4．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 AC
解析 因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限．
5．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 ∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负，
又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，
综上有sin θ<0，cos θ>0，
即θ为第四象限角．
6．式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为( )
A．正 B．负
C．零 D．不能确定
答案 B
解析 ∵1,2,4分别是第一、二、三象限角，
∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，
∴sin 1·cos 2·tan 4<0.
7．点P(tan 2 022°，cos 2 022°)位于第________象限．
答案 四
解析 因为2 022°＝5×360°＋222°，
所以2 022°的终边与222°的终边相同，
又222°是第三象限角，
所以tan 2 022°>0，cos 2 022°<0，
即点P位于第四象限．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,3]
解析 由cos α≤0，sin α>0可知，
解得－29．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值．
解 在角α的终边上任取一点P(x，y)，
则y＝x.
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝；
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解 由题意知r＝OP＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝，
又因为cos θ＝x，
所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
11．函数y＝＋的定义域是( )
A．{x|2kπB.
C.
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
答案 B
解析 由sin x≥0，－cos x≥0，
得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
12．已知α是第二象限角，且＝－cos ，则sin ( )
A．为负 B．为正
C．可正可负 D．不确定
答案 A
解析 因为α是第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z.
所以kπ＋<所以为第一、三象限角．
又因为＝－cos ，
所以cos <0.
所以为第三象限角．
所以sin ＜0.
13．在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
答案 C
解析 在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
∵sin A>0，∴cos B·tan C<0，
∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
14．函数y＝＋＋的值域是________．
答案 {－1,3}
解析 依题意，角x的终边不在坐标轴上，
当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3，
当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1，
当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1，
当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，
综上有值域为{－1,3}．
15．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( )
A．sin 2α>0 B．cos 2α>0
C．cos >0 D．tan >0
答案 AD
解析 由α是第一象限角，2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0.cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．
16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α位于第四象限．
(2)∵OM＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.