第2课时 诱导公式(二)
学习目标 1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．
导语
回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．
一、诱导公式五、六
问题1 回顾上节课我们推导公式四的过程．
提示 利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点．
问题2 如图所示，我们作了点P1关于直线y＝x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？
提示 如图，过点P1向x轴作垂线，垂足为A，过点P5向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP1＝∠BOP5＝α，故OP5为－α的终边，以OP5为终边的角γ可以表示为γ＝2kπ＋(k∈Z)，
在Rt△AOP1和Rt△BOP5中，OP1＝OP5，故△AOP1≌△BOP5，即P1的横坐标与P5的纵坐标相同，P1的纵坐标与P5的横坐标相同，若点P1的坐标为(x，y)，则点P5的坐标为(y，x)，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α＝y，cos α＝x；cos＝y＝sin α，sin＝x＝cos α.
知识梳理
诱导公式五、六
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化；
(2)运用公式时，把α“看成锐角”；
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．
二、给角(值)求值
例1 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 B
解析 sin 239°tan 149°
＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)已知sin＝，则cos的值为 ．
答案
解析 cos＝cos
＝sin＝.
延伸探究
1．将本例(2)的条件改为sin＝，求cos的值．
解 cos＝cos
＝－sin＝－.
2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值．
解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sin＝，
所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin
＝－sin＝－cos＝.
反思感悟 利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
跟踪训练1 (1)已知sin＝，那么cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 sin＝sin
＝sin＝cos α＝.
(2)已知sin＝，则cos的值等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 ∵sin＝－sin
＝－sin
＝－cos＝，
∴cos＝－.
三、利用公式进行化简、证明
例2 求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
反思感悟 三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练2 化简.
解
＝
＝
＝
＝－＝－tan α.
1．知识清单：
(1)诱导公式五、六．
(2)利用诱导公式进行化简、求值与证明．
2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．
3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．
1．已知cos 78°约等于0.20，那么sin 12°约等于( )
A．0.20 B．0.80
C．0.88 D．0.95
答案 A
解析 sin 12°＝sin(90°－78°)＝cos 78°≈0.20.
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 ∵sin＝cos θ<0，
cos＝－sin θ>0，
∴sin θ<0，∴角θ是第三象限角．
3．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
答案 B
解析 原式＝＝
＝＝＝－2.
4．化简：＝ .
答案 －tan θ
解析 原式＝
＝
＝
＝－tan θ.
1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于( )
A．a B．－a C．a2 D.
答案 A
解析 cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.
2．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 由sin(π＋α)＝得sin α＝－，
所以cos＝cos＝cos
＝sin α＝－.
3．(多选)下列与cos的值相等的是( )
A．sin(π－θ) B．sin(π＋θ)
C．cos D．cos
答案 BD
解析 因为cos＝－cos＝－sin θ，
sin(π－θ)＝sin θ，
sin(π＋θ)＝－sin θ，
cos＝sin θ，
cos＝－sin θ，
所以B，D项与cos的值相等．
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
解析 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－2sin α＝－，
得sin α＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
5．(多选)下列结论正确的有( )
A．sin＝cos
B．cos＋sin＝0
C．sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝1
D．sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝1
答案 ABD
解析 A项，sin＝sin
＝cos＝cos，A正确；
B项，因为cos＝－sin
＝－sin＝－sin，
所以cos＋sin＝0，B正确；
C项，因为sin(15°－α)＝sin[90°－ 75°＋α ]
＝cos(75°＋α)，
所以sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)
＝2cos2(75°＋α)≠1，C错误；
D项，sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)
＝cos2(75°＋α)＋sin2(75°＋α)＝1，D正确．
6．化简：等于( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
答案 A
解析 原式＝
＝＝－sin θ.
7．已知cos＝，则sin＝ .
答案
解析 sin＝sin
＝cos＝.
8．已知cos＝－且α为第四象限角，则cos(－3π＋α)＝ .
答案 －
解析 因为cos＝sin α，
所以sin α＝－.
又α为第四象限角，
所以cos α＝＝，
所以cos(－3π＋α)＝cos(π＋α)
＝－cos α＝－.
9．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
解 (1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
10．已知角α的终边经过点P(m,2)，sin α＝且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝，求的值．
解 (1)由三角函数定义可知
sin α＝＝，
解得m＝±1.
∵α为第二象限角，
∴m＝－1.
(2)由(1)知tan α＝－2，
又tan β＝，
∴
＝－
＝－
＝－＝.
11．已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为( )
A．－ B.
C. D．－
答案 A
解析 原式＝·(－sin α)·cos(－α)
＝·(－sin α)·cos α
＝·(－sin α)·cos α
＝－sin2α＝－.
12．在△ABC中，cos ＝，则cos 的值为( )
A．± B．±
C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴＝－，
∴cos ＝cos＝sin ＝.
又∈，
∴cos ＝.
13．已知sin(π－α)＝－2sin，则sin αcos α等于( )
A. B．－
C.或－ D．－
答案 B
解析 ∵sin(π－α)＝－2sin，
即sin α＝－2cos α，
∴tan α＝－2，
∴sin αcos α＝
＝＝－.
14．sin2＋sin2＝ .
答案 1
解析 sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
15．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝
D．tan β＝
答案 AC
解析 因为sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，
故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±，故A满足；
C中tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即C满足，而BD不满足．
16．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求·tan2(π－α)．
解 方程5x2－7x－6＝0的两根为
x1＝－，x2＝2，
又α是第三象限角，
所以sin α＝－.
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
学习目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．
导语
在初中我们学习了一些锐角的三角函数值，现在我们把角扩展到了任意角，我们是否可以把任意角的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值？对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要解决的内容．
一、诱导公式一～四
问题1 终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示 由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
问题2 观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？
提示 三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z.
问题3 知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？
提示 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y＝－sin α，cos(π＋α)＝－x＝－cos α，tan(π＋α)＝＝tan α.
知识梳理
公式一～四
终边关系 图示 公式
公式一 角2kπ＋α与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中，k∈Z
公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α
公式三 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α
公式四 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α
注意点：
(1)函数名称不变；
(2)运用公式时把α“看成”锐角；
(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
二、给角(值)求值
角度1 给角求值
例1 求下列三角函数值：
(1)cos(－480°)＋sin 210°；
(2)sin·cos ·tan .
解 (1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)
＝cos(360°＋120°)－sin 30°＝cos 120°－
＝cos(180°－60°)－
＝－cos 60°－＝－－＝－1.
(2)原式＝sin·cos·tan
＝sin ·cos·tan
＝sin·cos ·tan
＝－sin ·cos ·tan
＝－××＝－.
反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或二来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
角度2 给值求值
例2 (1)(多选)已知cos(π－α)＝－，则sin(－2π－α)的值是( )
A. B．－ C．－ D.
答案 AB
解析 因为cos(π－α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝，
所以α为第一或第四象限角，
所以sin α＝±＝±，
所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝±.
(2)已知cos＝，则cos＝ .
答案 －
解析 cos
＝cos
＝－cos＝－.
延伸探究
1．若本例(2)中的条件不变，如何求cos？
解 cos＝cos
＝cos
＝cos＝.
2．若本例(2)条件不变，求cos－sin2的值．
解 因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
反思感悟 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练1 (1)sin ＋tan －cos＝ .
答案 0
解析 原式＝sin＋tan－cos
＝sin ＋tan－cos
＝sin －tan ＋cos
＝－1＋＝0.
(2)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B. C．± D.
答案 B
解析 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，
而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，
所以cos α＝＝.
三、利用公式进行化简
例3 化简：(1)；
(2).
解 (1)＝
＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
反思感悟 三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练2 tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
答案 A
解析 因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝＝＝＝＝.
1．知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性．
(2)诱导公式一～四及其应用．
2．方法归纳：函数名不变，符号看象限．
3．常见误区：诱导公式中函数前面符号的确定．
1．sin 780°＋tan 240°的值是( )
A. B.
C.＋ D．－＋
答案 A
解析 sin 780°＋tan 240°
＝sin 60°＋tan(180°＋60°)
＝＋tan 60°＝＋＝.
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )
A. B．－ C．± D.
答案 B
解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第四象限角，
所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.
3．化简：·tan(2π－α)＝ .
答案 －1
解析 原式＝·tan(－α)
＝·(－tan α)
＝－·tan α
＝－1.
4.的值等于 ．
答案 －2
解析 原式＝
＝
＝＝＝－2.
1．sin 240°＋cos(－150°)的值为( )
A．－ B．－1 C．1 D.
答案 A
解析 原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150°
＝－sin 60°＋cos(180°－30°)
＝－sin 60°－cos 30°
＝－－＝－.
2．(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 022π)的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 AB
解析 sin(π－α)＝，∴sin α＝，
cos(α－2 022π)＝cos α＝±
＝±.
3．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A．cos C B．－cos C
C．sin C D．－sin C
答案 B
解析 由于A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C.
所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.
4．(多选)已知tan θ＝3sin(θ－π)，则cos θ可等于( )
A．－1 B．－
C. D．1
答案 ABD
解析 ∵tan θ＝3sin(θ－π)，
∴＝－3sin θ，
若sin θ＝0，则cos θ＝1或－1，
若sin θ≠0，则cos θ＝－.
5．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 方法一 因为cos(508°－α)
＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)
＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
方法二 cos(212°＋α)＝cos[720°－(508°－α)]
＝cos(508°－α)＝.
6．已知sin(－π－α)＝，且α为第二象限角，则等于( )
A．－ B.
C. D．－
答案 A
解析 ∵sin(－π－α)＝，
∴－sin(π＋α)＝，
∴sin α＝，
∵α为第二象限角，∴cos α＝－，
＝＝cos α＝－.
7．计算：sincos ＝ .
答案
解析 原式＝－sincos
＝－sin ·
＝sin ·cos ＝.
8．已知sin＝，则sin＝ ，cos·cos＝ .
答案 －
解析 sin＝sin
＝－sin＝－，
cos·cos
＝cos·cos
＝cos2
＝1－sin2＝.
9．化简：(1)；
(2).
解 (1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝＝－cos α.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝－＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，
∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f ＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
11．若a＝2 0220.22，b＝sin π，c＝log2 0220.22，则( )
A．c
C．b答案 D
解析 由题意得c＝log2 0220.22a＝2 0220.22>2 0220＝1，
b＝sin π＝sin＝sin ∈(0,1)，
所以c12．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
答案 BD
解析 当k＝2n，n∈Z时，
A＝＋
＝＋＝2，
当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝＋
＝＋＝－2.
13．已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．－1 B.
C．－ D．1
答案 D
解析 函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}．
因为f(x)＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，
所以f(x)＝＝，
因为f(－x)＝＝＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，所以a＝1.
14．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是 ．(用“>”表示)
答案 b>a>c
解析 因为a＝－tan ＝－，
b＝cos ＝cos ＝，
c＝sin＝－sin ＝－，
所以b>a>c.
15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为 ．
答案 1
解析 ∵f(2 021)＝
asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＝－1，
∴f(2 022)＝
asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)
＝asin[π＋(2 021π＋α)]＋bcos[π＋(2 021π＋β)]
＝－[asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)]＝1.
16．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解 由题意得sin A＝sin B，
cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又因为A∈(0，π)，
所以A＝或.
当A＝时，cos B＝－<0，
所以B∈，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．
所以A＝，cos B＝，
所以B＝，所以C＝.
综上所述，A＝，B＝，C＝.