苏教版高中数学 必修1 第7章 §7.4 三角函数应用 学案（Word版含答案）

学习目标　1.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.2.会用三角函数解决简单的实际问题．
导语
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题．
一、三角函数模型在物理中的应用
问题　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画．
根据已知数据作出散点图，如图所示．
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A＝20；振子振动的周期为T＝0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为－20，可得sin φ＝－1，因此φ＝－.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．
知识梳理
简谐运动
简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；
①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
②往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期；
③单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；
④ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相位．
注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相位．
例1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是s＝6sin.
(1)画出它一个周期的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(秒)．
列表：
t 0 1
2πt＋ π 2π 2π＋
6sin 3 6 0 －6 0 3
描点画图，如图所示．
(2)①当t＝0时，s＝6sin ＝3，故小球开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置3 厘米．
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米．
③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期)．
反思感悟　处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解　(1)由题图知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
而|φ|<，
∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
二、三角函数模型在生活中的应用
例2　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题．
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值．
解　(1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
∴6ω＝π，解得ω＝，
∴y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)令y＝40.5－40cos t＝60.5，
得cos t＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米．
反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论．
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化．
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解．
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解．
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2　已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解　(1)x∈[4,16]，
则x－∈，
由函数解析式易知，当x－＝，
即x＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30－10＝20(℃)．
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时)．
1．知识清单：
(1)三角函数模型在物理中的应用．
(2)三角函数模型在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模、数形结合．
3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题．
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相位分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案　B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
答案　C
解析　当t＝时，s1＝5sin＝－5，
s2＝5cos＝－5，∴s1＝s2.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
答案　C
解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15] [3π，5π]．
故选C.
4．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　)
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
答案　B
解析　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝(Hz)．
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相位分别是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案　C
解析　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相位，即－.
2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的(　　)
A．甲 B．戊 C．丙 D．丁
答案　D
解析　与乙点的位置相差周期的点为丁点．
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　　)
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
答案　B
解析　将t＝代入I＝5sin，
得I＝2.5 A.
4．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　)
A．200 B．400 C．200π D．400π
答案　D
解析　由图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
5．(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
答案　ABD
解析　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
6.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0,0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)
D．该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃
答案　ABD
解析　由图象知A＋B＝30，－A＋B＝10，
∴A＝10，B＝20.
∵＝14－6，∴T＝16，A正确；
∵T＝，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20.
∵图象经过点(14,30)，
∴30＝10sin＋20，
∴sin＝1.
∵0＜φ＜π，
∴φ＝，
∴y＝10sin＋20,0≤x≤24，
∴B正确，C错误；
当x＝12时，y＝10sin＋20＝10×＋20≈27(℃)．故D正确．
7．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化，曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
答案　8
解析　由图象知最小值为2，故－3＋k＝2，
所以k＝5，故最大值为3＋k＝3＋5＝8.
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
答案　
解析　由已知得＝1，
所以＝2π，＝4π2，l＝.
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解　(1)T＝＝＝(min)．
(2)f＝＝80.
即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
10．某“花式风筝冲浪”集训队在一海滨浴场进行集训，在海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示．
依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，
T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos＋，
又∵函数图象过点(3,2.4)，
即2.4＝cos＋，
∴cos＝1，∴sin φ＝－1，
又∵－π<φ<0，∴φ＝－，
∴y＝cos＋＝sin t＋ .
(2)由(1)知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k－1≤t≤12k＋7，
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全．
11.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
答案　C
解析　由图象得A＝300，
T＝2×＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点，
得sin＝0，
取φ＝，∴I＝300sin.
12.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝3sin t＋12 B．y＝－3sin t＋12
C．y＝3sin t＋12 D．y＝3cos t＋12
答案　A
解析　由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12.由题意知当t＝3时，y＝15，故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，
得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)，所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sin t＋12.
13.(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
答案　BD
解析　如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t(s)内所转过的弧度数为t，
则∠POx＝t－，
则点P的纵坐标为y＝6sin，
所以点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数为f(t)＝6sin＋3.
f(3)＝6sin＋3＝3＋3，
选项A错误；
因为f(1)＝6sin＋3＝3，
f(7)＝6sin＋3＝3，
所以f(1)＝f(7)，选项B正确；
由f(t)≥6，得sin≥，解得t∈[2＋12k,6＋12k](k∈N)，选项C错误；
由f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝6sin＋
3＋6sin＋3＋6sin＋3，
展开整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9为定值，选项D正确．
14．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深y(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为________ m.
答案　4
解析　由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T＝12，
解得
∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，
∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4(m)．
15．某市房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案　C
解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
16．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：
日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日
日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间y 小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
(1)试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．
解　(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
∴19.4－5.4＝14，故A＝7.
又19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4.
又T＝365，
∴ω＝.
当x＝172时，×172＋φ＝，
∴φ＝－，
∴y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N)．
(2)由y>15.9得sin>，
∴可得111.17∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时．