苏教版高中数学必修1 第7章 7.1.2　弧度制 学案（Word版含答案）

7.1.2　弧度制
学习目标　1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
导语
同学们，大家看过《水浒传》吗？在这些类似的古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右．据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课．
一、弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化
问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系．
知识梳理
1．弧度制的概念
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
2．角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注意点：
(1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关；
(2)①弧度单位rad可以省略；
②在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
例1　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
解　(1)72°＝72×＝.
(2)－300°＝－300×＝－.
(3)2＝2×°＝°.
(4)－＝－°＝－40°.
反思感悟　角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
跟踪训练1　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解　α＝15°＝15×＝，
θ＝105°＝105×＝，
∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.
二、用弧度制表示角的范围
例2　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解　－1 125°＝－1 125×
＝－＝－8π＋，
其中<<2π，所以是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角．
延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．
解　依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，
由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，
知k＝－2，－1,0,1，
所以所求角的集合为.
反思感悟　用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合．
解　终边落在射线OA上的角为θ＝k·360°＋135°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝k·360°－30°，k∈Z，
即θ＝2kπ－，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为
.
三、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题2　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
提示　圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
知识梳理
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(|α|≤2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)扇形面积公式：S＝rl＝|α|r2.
例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
解　设扇形弧长为l，
因为圆心角72°＝72×＝ rad，
所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，
于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解　设扇形圆心角为θ(|θ|≤2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8，此时，|θ|＝8 rad>2π rad，舍去．
当r＝4时，l＝2，此时，|θ|＝＝ rad.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角，|α|≤2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．
解　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
∵216°＝216×＝，
∴l＝|α|·r＝r＝30π，解得r＝25，
∴S＝lr＝×30π×25＝375π.
1．知识清单：
(1)弧度制的概念．
(2)弧度与角度的相互转化．
(3)扇形的弧长与面积的计算．
2．方法归纳：消元法．
3．常见误区：弧度与角度混用．
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案　ABC
解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
2．下列命题中的假命题是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　D
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题．
3．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
答案　D
解析　－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π.
4．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为______．
答案　
解析　设扇形的半径为r，弧长为l，
由题意可知所以
所以S＝lr＝.
1．角终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角．
2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案　B
解析　∵|α|＝.
∴当r，l均变为原来的2倍时，|α|不变．
而S＝|α|r2中，
∵|α|不变，∴S变为原来的4倍．
3．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
答案　CD
解析　A，B中弧度与角度混用，不正确；
＝2π＋，所以与终边相同．
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同．
4．时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B．－ rad C. rad D．－ rad
答案　B
解析　时针经过一小时，转过－30°，
－30°＝－ rad.
5．集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
6．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，
解得α＝或α＝.
7．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
答案　－　660°
解析　－135°＝－135×＝－；
＝×180°＝660°.
8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
答案　　48
解析　|α|＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48.
9．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．
解　(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
所以角α与的终边相同，
又<<π，
所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.
故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－.
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝|α|·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
11．(多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限角的集合为
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
答案　ABC
解析　A，B显然正确．
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，
其并集为，故C正确；
对于D，终边在直线y＝x上的角的集合为或，
其并集为，故D不正确．
12．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
13．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
答案　D
解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，
β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，
所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.
所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2)．
答案　9
解析　＝120°，根据题意，
弦＝2×4×sin ＝4(m)，
矢＝4－2＝2(m)，
因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)
＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．
15.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　)
A．1.012米 B．2.043米
C．1.768米 D．2.945米
答案　C
解析　弓形所在的扇形如图所示，则“弓”所在弧长为＋＋＝，故扇形的圆心角为＝，故AB＝×≈×1.414＝1.767 5≈1.768.
16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·＋t·＝2π，
所以t＝4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.