8.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
导语
同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元～3 000元，如果我给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有6次！要解决这个问题，接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧．
一、二分法的理解
问题1 有16个大小、颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的．用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示 4次．
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；
第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；
第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；
第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币．
再比如：有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，找出最重的小球的问题；有一段电路出现故障的问题；检修下水道堵塞的问题；包括刚才让大家猜测手机价格的问题等等这些都可以用上述方法解决，在这个过程中，体现出了“一分为二，逐步逼近”的思想，这就是我们今天要学习的“二分法”．
知识梳理
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意点：
二分法的求解原理是函数零点存在定理．
例1 (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( )
答案 ABC
解析 由二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值．
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋3x－7，
f(1)＝2＋3－7<0，
f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
∵f(1)·f(2)<0，
∴f(x)零点所在的区间为(1,2)，
∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．
反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
二、用二分法求函数的零点
问题2 你能想办法求函数f(x)＝x3－3的零点或近似值吗？
提示 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，缩小零点所在的区间．这可能是一个无休止的过程．实际上，如果近似值精确到某数值的话，就可以停止计算，得到零点的近似值．
注意点：
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点；
(2)区间内两个端点按要求取得的近似值要相等才可以．
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确到0.1)．
解 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在(1,1.5)内存在零点x0.
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，
经计算f(1.25)<0，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5,1.343 75)
因为1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，所以函数f(x)＝x3－x－1的精确到0.1的近似零点可取为1.3.
反思感悟 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间(m，n)(一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
跟踪训练2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 25) ≈－0.029 f(1.550 0) ≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．
答案 1.56
解析 由参考数据知
f(1.562 5)≈0.003>0，
f(1.556 25)≈－0.029<0，
即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，
且1.556 25与1.562 5精确到0.01的近似值都为1.56，所以函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.56.
三、用二分法求方程的近似解
问题3 如何求方程x3－3＝0的近似解呢？
提示 可以转化为求对应函数f(x)＝x3－3的近似零点．
知识梳理
用二分法求方程的一个近似解的操作流程
步骤1
↓转化为
步骤2
↓f(a)f(b)<0
步骤3
↓
步骤4
↓f(c)的符号
步骤5
↓连续重复步骤4,5
步骤6
↓x0≈m
步骤7
注意点：
在上述操作过程中如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解．
例3 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确到0.1)．
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，
f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) 0.718 75 f(0.687 5)<0 f(0.75)>0 f(0.718 75)<0
(0.718 75,0.75) 0.734 375 f(0.718 75)<0 f(0.75)>0 f(0.734 375)<0
(0.734 375,0.75) 0.742 187 5 f(0.734 375)<0 f(0.75)>0 f(0.742 187 5)>0
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解在区间(0.734 375,0.742 187 5)内．
由于0.734 375与0.742 187 5精确到0.1的近似值都为0.7，故方程的近似解为0.7.
反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内满足要求的唯一近似值就是方程的解．
跟踪训练3 用二分法求方程x3－3x2－9x＋1＝0的一个负实数近似解(精确到0.1)．
解 令f(x)＝x3－3x2－9x＋1，
确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0 (－2，－1)
x0＝＝－1.5 f(x0)＝4.375>0 (－2，－1.5)
x1＝＝－1.75 f(x1)≈2.203>0 (－2，－1.75)
x2＝＝－1.875 f(x2)≈0.736>0 (－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875)
因为－1.937 5和－1.875精确到0.1的近似值都为－1.9，所以方程的一个近似解可取为－1.9.
1．知识清单：
(1)二分法的定义．
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．
2．方法归纳：化归、逼近．
3．常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案 A
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1, 0)
C．(0, 1) D．(1, 2)
答案 A
解析 f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始区间是(－2，－1)．
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )
A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75
答案 C
解析 x1＝＝0.25.
4．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
答案 －1.625
解析 由题意，x0＝1.5，
f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
答案 C
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．
2．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( )
A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
答案 C
解析 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)．
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，若精确到0.01，则下列有根区间正确的是( )
A．(0.835,0.846) B．(1.478,1.501)
C．(3.487 5,3.490 3) D．(10.325,10.436)
答案 C
解析 3.487 5与3.490 3精确到0.01的近似值都为3.49，故3.49是f(x)在(a，b)内的零点的近似值，其他选项均不对．
4．(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.01的正实数零点的近似值可能为( )
A．0.68 B．0.69 C．0.70 D．0.72
答案 BC
解析 由题意知f(x)的零点在区间(0.68，0.72)内，故精确到0.01的零点近似值可能为0.69，0.70.
5．求函数f(x)的零点时，用计算器得部分函数值如表所示．
f(2)＝－1.307 f(3)＝1.099 f(2.5)＝－0.84
f(2.75)＝0.512 f(2.625)＝0.215 f(2.562 5)＝－0.032
则方程f(x)＝0的近似解(精确到0.1)为( )
A．2.5 B．2.6
C．2.7 D．无法确定
答案 B
解析 由表中数据知，f(x)＝0的近似解在区间(2.562 5，2.625)内，2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6.
6．(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A. B．[－2,1]
C. D.
答案 ACD
解析 因为第一次所取的区间是[－2,4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
所以第三次所取的区间可能为，，，.
7．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间为________，第二次应计算的函数值为________．
答案 (0,0.5) f(0.25)
解析 因为f(0)·f(0.5)<0，
所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应该计算区间中点的函数值，即f(0.25)．
8．在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为________．
答案 0.7
解析 已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，
又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，
所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7. 因此，0.7就是所求函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值．
9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确到0.1)
解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，
f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.156 25<0，
∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，
f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0，
即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，
f(0.812 5)≈0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，
即x0∈(0.75,0.812 5)，
∵0.75与0.812 5精确到0.1的近似值都为0.8.
∴f(x)的零点的近似值可取为0.8.
10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确到0.1)．
解 由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增，
因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(0,1) 0.5 0.732
(0,0.5) 0.25 －0.084
(0.25,0.5) 0.375 0.328
(0.25,0.375) 0.312 5 0.124
因为0.25与0.312 5的近似值都为0.3，所以方程的根的近似值为0.3.即f(x)＝0的正根约为0.3.
11．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
答案 B
解析 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0，
可知f ·f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点．
12．下列函数中，在指定范围内存在零点的是( )
A．y＝x2－，x∈(－∞，0)
B．y＝|x－1|，x∈(－1,1)
C．y＝x5＋x－3，x∈[1,2]
D．y＝x3－1，x∈(2,3)
答案 C
解析 函数y＝x2－>0在区间(－∞，0)上恒成立，故排除A；y＝|x－1|>0在区间(－1,1)上恒成立，故排除B；函数y＝x3－1>0在区间(2,3)上恒成立，故排除D；y＝x5＋x－3在x＝1和x＝2两端点处的函数值异号，满足零点存在定理，所以选C.
13．(多选)若a
A．(－∞，a) B．(a，b)
C．(b，c) D．(c，＋∞)
答案 BC
解析 ∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．
14．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案 a2＝4b
解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象的顶点在x轴上，
∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
15．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
答案 B
解析 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法思想，函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，由于1.25与1.375精确到0.1的近似值不同，需要再取其中点1.312 5，可估算f(1.312 5)<0，∴f(x)的零点区间为(1.25，1.312 5)，其精确到0.1的近似值为1.3.
16．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m(m为正整数)．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测1次)，如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，将每组2m－1个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推．每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．
(1)写出n的值；
(2)若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值．
解 (1)由题意知，第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次，∴n＝1＋2＋2＋2＝7.
(2)由(1)可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如图所示：
∴感染者人数可能的取值为2,3,4.8.1.1 函数的零点
学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
导语
我们已经学习了二次函数的零点概念，知道二次函数的图象与x轴的交点有几个，对应的二次方程的实数解就有几个．随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解．我们就会不禁思考，二次函数与二次方程的关系能否套用到一般函数与方程．例如ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？
一、函数零点的概念及求法
问题1 类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)，你能说说什么是函数y＝f(x)的零点吗？
提示 与二次函数类似，我们称使f(x)＝0的实数x为函数y＝f(x)的零点．
问题2 类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)的零点，与对应方程的根、函数图象与x轴的交点有联系吗？
提示 有．函数y＝f(x)有零点，方程f(x)＝0有实数根，函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，三者是等价的．
知识梳理
函数的零点
(1)概念：我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点的横坐标、对应方程的根的关系
注意点：
(1)与二次函数类似，零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；
(2)求零点可转化为求对应方程的解；
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．
例1 (1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
解 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
反思感悟 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
解 (1)令(lg x)2－lg x＝0，
则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，
得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)
＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)的零点是－1,1,2.
二、函数的零点的存在问题
问题3 探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
提示 利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，f(－6)·f(－4)<0，f(0)·f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的．再比如：函数f(x)＝2x－1的零点为，∈(0,1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)＝log2(x－1)的零点为2,2∈，且有f f(3)<0，以上函数在零点附近的图象也都是连续的．
知识梳理
函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
注意点：
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件．
例2 (1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 方法一 ∵f(0)＝－1<0，
f(1)＝e－1>0，
f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
方法二 ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，
∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．
在同一坐标系内画出y＝ex和y＝2－x的图象，如图，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
(2)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是( )
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
3x＋2 2 5 8 11 14
A.(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3)．
反思感悟 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练2 若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．0
答案 C
解析 由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，
所以k＝－2或k＝1.
三、函数零点的个数问题
问题4 通过上面的学习，你能总结如何判断零点的个数吗？
提示 可以直接求解f(x)＝0来判断个数，也可以利用函数图象与x轴的交点个数判断，或者转化为两个函数图象交点的问题．
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数．
解 方法一 函数对应的方程为
ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有一个零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个．
反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
答案 3
解析 作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．
1．知识清单：
(1)函数的零点定义．
(2)函数零点存在定理及其应用．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)忽视函数零点存在定理的应用条件．
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化．
1．函数f(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
答案 B
解析 易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
由f(x)＝2x－，得f ＝－2<0，
f(1)＝2－1＝1>0，∴f ·f(1)<0.
∴零点所在区间为.
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有一实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案 3
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
1．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)·f(b)>0
D．若存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则f(a)·f(b)<0
答案 AC
解析 由定理可知，A正确；如图，满足f(a)f(b)>0，且存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故B错误；因为对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，故y＝f(x)在[a，b]上的图象与x轴没有交点，故y＝f(x)在[a，b]上的图象在x轴上方或在x轴下方，故f(a)f(b)>0，C正确；如图，存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，而f(a)f(b)>0，故D错误．
2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
答案 B
解析 f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
3．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
答案 A
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
答案 D
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝(舍)．
综上所述，函数f(x)的零点为0.
5．(多选)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零点在区间(0,1]内，则m可能的取值为( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
答案 AB
解析 因为f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在区间(0,1]上是增函数，且零点在(0,1]内，
所以即
所以－4≤m<0.
6．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈(a，b)，且b－a＝1，a，b∈N*，则a与b的值分别为( )
A．1,2 B．2,3
C．3,4 D．4,5
答案 A
解析 因为函数f(x)＝3x＋x－5，
所以f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0.
所以f(1)·f(2)<0，
且函数f(x)在R上是增函数，
所以f(x)的零点x0在(1,2)内，
所以a＝1，b＝2.
7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
答案 3
解析 函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．
8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数是________．
答案 0
解析 ∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解 (1)令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x4－x2
＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令f(x)＝4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，
所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令f(x)＝log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－(舍去)．
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
于是2a＝＝x＋x，
令x＝t，则g(t)＝t＋t2＝2－.
∵t>0，
∴g(t)在(0，＋∞)上是增函数，其值域为(0，＋∞)，
∴2a>0，∴a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)．
11．若函数y＝|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝|x－1|＋m有零点，
所以方程|x－1|＋m＝0有解，
即方程|x－1|＝－m有解，
因为|x－1|≥0，
所以0<|x－1|≤1，即0<－m≤1，
因此－1≤m<0.
12．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，
若f(x)在(1,2)上有两个零点，
则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．
若f(x)在(1,2)上没有零点，
则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(0,4) D．[0,4)
答案 C
解析 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，
作出函数y＝|x2－4x|的图象，如图所示，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则014．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是______．
答案 a解析 画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a15．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A. B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D.
答案 A
解析 由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，
所以函数的最小值为－－m.
当x＝0时，y＝4－m，
当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
所以－－m<0≤－2－m，
解得－16．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围．
解 (1)函数有两个零点，
则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，
易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m<.
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ<0，可解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点．
(2)由题意知0是对应方程的根，
故有1－m＝0，可解得m＝1.
(3)由题意可得f(2)>0，
即－7－m>0，则m<－7.
故实数m的取值范围为(－∞，－7)．