8.2.1 几个函数模型的比较
学习目标 1.了解指数爆炸、对数增长等含义.2.借助信息技术，作出函数图象，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.3.了解不同函数模型的“变化趋势”，加深对自然现象的理解．
导语
如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！
一、指数爆炸(求值)
知识梳理
指数变化
当a>1时，指数函数y＝ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．
当0
例1 四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
答案 y2
解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
反思感悟 指数函数增长的特点
指数函数y＝ax(a＞1)是增函数，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．
跟踪训练1 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是( )
x 3 4 5 6 7
y 3.38 5.06 7.59 11.39 67.09
A.一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 C
解析 画出图形，如图所示．
随着自变量x的增加，函数值y以“爆炸”式的速度增长，故为指数型函数模型．
二、函数模型增长差异的比较(图象)
问题 把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
提示
一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢．
知识梳理
指数函数与对数函数、幂函数的增长趋势比较
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同
增长速度 ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长
增长后果 当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1)
例2 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 023x
B．y＝x2 023
C．y＝log2 023x
D．y＝2 023x
答案 A
(2)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)之间的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与(p>0，k>0)可供选择．
试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式．
解 由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，
而函数(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为y＝·x(x∈N＋)．
反思感悟 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)，
所以1所以x1<6x2，
从图象上可以看出，
当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 022)>g(2 022)．
又因为g(2 022)>g(6)，
所以f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6)．
1．知识清单：
(1)指数增长．
(2)幂函数、指数函数、对数函数增长趋势的比较．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数值大小关系比较时没有注意所给区间．
1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A．y＝50x B．y＝1 000x
C．y＝0.4×2x－1 D．y＝ex
答案 D
解析 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快．
2．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．幂函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系．
3．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型为( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案 A
解析 由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切．
4．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是____________．
答案 ax＞xn＞logax
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
答案 D
2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知x2>2x>log2x.
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
4．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
答案 C
解析 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变．
5．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
答案 C
解析 将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
6．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，以下说法正确的是( )
A．当x>1时，乙走在最前面
B．当01时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 BCD
解析 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，f1(5)>f2(5)，A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当01时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确．
7．物价上涨是当前的热点话题，特别是肉价，我国某部门为尽快实现稳定肉价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是________．
答案 ②
解析 Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高，只有②吻合．
8.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话5分钟，需付电话费________元；
(2)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．
答案 (1)6 (2)y＝1.2t(t≥3)
解析 (1)由图象知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(2)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，
且经过(3,3.6)和(5,6)两点，
故设函数关系式为y＝kt＋b，
则解得
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
9.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0f(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
10．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.
(1)求y与x的关系式；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少小时(精确到0.1)
(参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
解 (1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效，而低于500 mg时，病人就有危险，
∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.
∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是减函数，
∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
11．下列对函数g(x)＝x与在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
答案 C
解析 观察函数
g(x)＝x与在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
12．某种纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需过滤的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 B
解析 设过滤次数为x，原有杂质为a，
则a(1－20%)x＜a·10%，
所以x＞＝≈10.31，
即x＞10.31，即至少需要过滤11次．
13．安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收．某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是( )
(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041)
A．y＝0.04x
B．y＝1.015x－1
C．y＝tan
D．y＝log11(3x－10)
答案 D
解析 对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4>3，不符合题意；
对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432>3，不符合题意；
对于函数y＝tan，不满足单调递增，不符合题意；
对于函数y＝log11(3x－10)，满足当x∈(6,100]时，函数为增函数，
且y≤log11(3×100－10)＝log1129014．如图，与函数y＝2x，y＝5x，，y＝log0.5x，y＝log0.3x相对应的图象依次为__________________．(只填序号)
答案 (2)(1)(3)(5)(4)
解析 (1)(2)分别为y＝5x和y＝2x的图象；
(3)为的图象；(4)(5)分别为y＝log0.3x和y＝log0.5x的图象．
15．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.
答案 (4) (1) (3) (2)
解析 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，
但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
16．假设有一套住房从2012年的20万元上涨到2022年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2012年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
解 (1)因为P1是按直线上升的房价，
设f(t)＝kt＋b(k≠0)，t≥0，
由f(0)＝k·0＋b＝20，
f(10)＝k·10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，
即P1＝2t＋20，t≥0.
(2)因为P2是按指数增长的房价，
设g(t)＝a0at(a＞0且a≠1)，t≥0，
由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，
可得a0＝20，
即P2＝20×，t≥0.
(3)由(1)和(2)知，当t＝5时，
P1＝30，P2＝20；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40；
当t＝20时，P1＝60，P2＝80，
则表格如下：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
则图象为
根据表格和图象可知，房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．8.2.2 函数的实际应用
学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．
导语
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，当面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
一、实际问题中的函数模型建立
问题1 你能写出几种函数模型？
提示
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
问题2 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
例1 某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？
解 (1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得
(2)设从今年开始，还需治理n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n，
令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤，
≥，解得n≥15，
故至少还需治理15年．
反思感悟 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答．
跟踪训练1 某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(x∈N*)此时溶液杂质含量为y，
(1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值；
(2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)；
(3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301)
解 (1)1次过滤后，溶液杂质含量y1＝×＝0.01＝1%，
2次过滤后，溶液杂质含量y2＝××＝0.005＝0.5%.
(2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，
所以过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量y＝2%×x＝×x，x∈N*.
(3)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则×x≤0.02%，
即x≤，所以x≥＝≈6.6，
又x∈N*，所以x≥7，
即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求．
二、实际问题中的函数模型选择
例2 近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2019 2020 2021
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2022年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2022年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
(1)将2019,2020,2021,2022年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
(2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2023年度的农产品销售量？
解 (1)若选择二次函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得即
解得
所以f(x)＝7x2－7x＋41.
将x＝4代入f(x)，得f(4)＝7×42－7×4＋41＝125，
所以此与2022年实际销售量误差为125－123＝2(万斤)．
若选择幂函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)，
得即
解得所以g(x)＝x3＋x＋34.
将x＝4代入g(x)，
得g(4)＝×43＋×4＋34＝132，
所以此与2022年销售量的实际误差为132－123＝9(万斤)．
显然2<9，
因此，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系．
(2)依据(1)，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41进行预测，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(万斤).
即预测该创业团队在2023年的农产品销售量为181万斤．
反思感悟 建立拟合函数与预测的基本步骤
跟踪训练2 人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB(1 TB＝1024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别．国际数据公司(IDC)的研究结果表明，全球产生的数据量为：
年份 2008 2009 2010 2011 …
x(单位：年) 0 1 2 3 …
数据量(单位：ZB) 0.49 0.8 1.2 1.82 …
为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据上述数据信息，选择函数f(x)＝kx＋b和g(x)＝max(a>0，且a≠1)进行拟合研究．
(1)国际数据公司(IDC)预测2022年全球数据量将达到80.0 ZB，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；
(2)设我国2022年的数据量为c ZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100c ZB约需要多少年？
(参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5313≈251.76)
解 (1)设2008,2009,2010,2011，…，2020年分别对应第1年，第2年，第3年，第4年，…，第13年，设数据量为y，由已知列表如下：
x 1 2 3 4 … 13
y 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80.0
画出散点图如下：
由散点图知，5个点在一条曲线上，应选择函数g(x)＝max(a>0，且a≠1)．
(2)将数据(1,0.49)，(13,80.0)代入g(x)＝max中得，
解得
所以g(x)＝0.32×1.53x，
由题意得c＝0.32×1.5313，
则100c＝0.32×1.53x，
解得x≈24，
所以我国的数据量达到100c ZB约需要11年．
1．知识清单：
(1)建立函数模型解决实际问题．
(2)实际问题中的函数模型选择问题．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择．
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 D
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A. B．y＝0.957 6100x
C．y＝x D．
答案 A
解析 设镭的衰变率为p，
则x，y的函数关系是y＝(1－p)x，
当x＝100时，y＝0.957 6，
即0.957 6＝(1－p)100，
解得
即
3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
答案 C
解析 由已知，得a＝a·e－50k，
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝
∴＝，即t1＝75.
4．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________．
答案 －1
解析 设每月的产量增长率为x，
1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，
所以1＋x＝，即x＝－1.
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
答案 D
解析 今年产量为a，经过1年后产量为y＝a(1＋5%)，经过2年后产量为y＝a(1＋5%)2，依此类推，经过x年后产量为y＝a(1＋5%)x.
2．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝mx＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
答案 C
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型．
3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )
A．a12－1 B．(1＋a)12－1
C．a D．a－1
答案 B
解析 不妨设第一年1月份的产值为b，则2月份的产值为b(1＋a)，3月份的产值为b(1＋a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1＋a)12.由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a)12－1.
4．“道高一尺，魔高一丈”出自《西游记》第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈＝10尺)( )
A．y＝10x，x>0 B．y＝x，x>0
C．y＝x＋10，x>0 D．y＝x＋9，x>0
答案 A
解析 因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y＝10x，x>0来表示．
5．某公司2022一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放)．
方案1：奖金10万元；
方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍；
方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5 000元；
方案4：第n个月的奖金＝基本奖金7 000元＋200n元．
如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是( )
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案4
答案 C
解析 方案2：所得奖金为
4．5＋4.5×1.2＝9.9(万元)，
方案3：所得奖金为2＋(2＋0.5)＋(2＋1)＋(2＋1.5)＝11(万元)，
方案4：所得奖金为(7 000＋200)＋(7 000＋200×2)＋…＋(7 000＋200×12)＝99 600(元)＝9.96(万元)．
所以应选方案3.
6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9 C．8 D．7
答案 BC
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则×n≤，即n≤，
由nlg ≤－lg 20，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7.4.
7．通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是________(只需写出序号即可)．
答案 ②
解析 根据表格提供数据可知，y随着x的增大先变小，后变大，即至少有减和增两个过程，而①，③对应的函数为单调函数，不符合题意；②为二次函数，有减和增两个区间，当a>0时，能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系．
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2017年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2023年的垃圾量应为________吨．
答案 a(1＋b)6
解析 2018年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2017年开始经过6年到2023年时该区的垃圾量应为a(1＋b)6吨．
9．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得
解得a＝，b＝－，c＝.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)由(1)可得，函数Q为开口向上，对称轴为t＝－＝150的抛物线，
所以当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
10．某网店从2018年起参与“双十一”促销活动，已知2018－2020年“双十一”期间该网店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网店的销售额y(万元)与年份数x的关系(为计算方便，2018年用x＝1代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，若已知2021年“双十一”期间该网店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2022年“双十一”期间该网店的销售额．
解 若选用二次函数y＝ax2＋bx＋c，
则解得
即y＝－x2＋x＋7，
当x＝4时，y＝－×16＋×4＋7＝13；
若选用函数y＝a·bx＋c，
则解得
即y＝－8×x＋14，
当x＝4时，y＝－8×4＋14＝13.5，
则可以判断y＝－8×x＋14作为模拟函数比较好，
当x＝5时，y＝－8×5＋14＝13.75，
则预测2022年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元．
11．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克( )
A．5 730 B．11 460
C．17 190 D．22 920
答案 B
解析 由题意可得，碳14的半衰期为5 730年，则再过5 730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11 460年后，质量可消耗到0.125克．
12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.
将c＝60代入＝15，得A＝16.
13．物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度(声强)随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象．一般地，声衰减遵从指数规律，即声强I(单位：瓦/平方米)与传播距离x(单位：米)之间有如下的函数关系：I＝I0eαx，其中I0为初始声强，α为常数．若某声波传播2米时，声强减小了30%，则声强减小80%时，传播距离大约为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5，lg 7≈0.8)( )
A．6米 B．7米
C．8米 D．9米
答案 B
解析 由题意得，I0e2α＝(1－30%)I0，
即e2α＝0.7.
设当声波传播x米时，声强减小80%，
则I0eαx＝(1－80%)I0，即eαx＝0.2，
∴(eαx)2＝(0.2)2
∵(eαx)2＝(e2α)x，
∴0.22＝0.7x，
即lg 0.22＝lg 0.7x，
∴x·lg 0.7＝2lg 0.2，
即x·(lg 7－1)＝2(lg 2－1)，
∴x＝≈7.
14．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．则a的值等于________．(参考数据：lg 2≈0.3)
答案
解析 由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.
则
由②－①得0.2＝alg ，
即0.2＝alg 2.
所以a＝≈＝.
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元及以上时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋log7x；④y＝x2.
答案 ③
解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10,1 000]时，
(1)函数为增函数；
(2)函数的最大值不超过5；
(3)y≤x·25%＝x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(1)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(1)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(1)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝x2，易知满足(1)，
但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x(0≤x≤4，m>0)．
(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？
(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解 (1)由题意，得m＝2，
令y＝2·2x＋21－x＝2·2x＋＝5，
解得x＝1(负值舍去)，
因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度．
(2)由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，
则由m·2x＋21－x≥2，
得m≥－，
令t＝2－x，
则≤t≤1，且m≥2t－2t2，
构造函数f(t)＝2t－2t2＝－22＋，
所以当t＝时，函数y＝f(t)取得最大值，
则m≥.
因此，实数m的取值范围是.