苏教版高中数学必修1 第8章 培优课　函数零点的综合问题 学案（Word版含答案）

培优课　函数零点的综合问题
函数的零点从不同的角度将数与形、函数与方程有机地联系在一起．函数的零点概念的生成与函数零点存在定理的探究的学习过程中蕴含了从一般思维难度到特殊思维方式以及数形结合、等价转换的数学思想．
一、根据零点情况求参数范围
例1　已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵f(x)在R上单调递减，
∴y＝x2＋(4a－3)x＋3a在(－∞，0)上单调递减，y＝loga(x＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)在(－∞，0)上的最小值大于或等于f(0)．即解得≤a≤，
作出函数y＝|f(x)|和y＝2－的大致图象如图所示．
∵|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，
∴3a<2，即a<，故≤a<.
反思感悟　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
答案　C
解析　关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，即y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点，作函数y＝m与函数y＝f(x)的图象如图，
结合图象知，当y＝m与y＝f(x)有两个不同的交点时，二、一元二次方程的根的分布问题
例2　已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围；
(3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围．
解　设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，
(1)f(x)的大致图象如图所示，
∴f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，
得m<－1，
∴实数m的取值范围为(－∞，－1)．
(2)f(x)的大致图象如图所示，
∴
解得－∴实数m的取值范围为.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
①有两个正根，此时如图1，可得
即∴－3②有一个正根，一个负根，此时如图2，
可得f(0)<0，得m<－3.
③有一个正根，另一根为0，此时如图3，
可得
∴m＝－3.
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(－∞，－1]．
反思感悟　一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝(log2x)2＋4log2x＋m，x∈，m为常数．
(1)若函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求α·β的值．
解　(1)令log2x＝t，x∈，
则g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])．
由于函数f(x)存在大于1的零点，
所以关于t的方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根．
由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，
所以m∈[－12,0)，
所以实数m的取值范围是[－12,0)．
(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，
则函数g(t)在[－3,2]内有两个互异的零点t1，t2，
其中t1＝log2α，t2＝log2β，
所以解得3≤m<4，
所以实数m的取值范围是[3,4)．
根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，
即log2α＋log2β＝－4，
所以log2(α·β)＝－4，得α·β＝2－4＝.
1．知识清单：
(1)根据零点情况求参数的取值范围．
(2)一元二次方程根的分布．
2．方法归纳：判别式法、数形结合法．
3．常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化．
1．若函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(0,2) B．(0,1)
C．(1,2) D．(－∞，1)
答案　B
解析　函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，
可得即
解得0则a的取值范围为(0,1)．
2．已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D．(－∞，－1)∪
答案　B
解析　因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数，
所以f(1)·f(2)<0，即(m＋1)(2m＋1)<0，
解得－13．函数f(x)＝3x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,7) B．(－1,6)
C．(－1,7) D．(－2,6)
答案　C
解析　由题意可得f(1)f(2)＝(3－4－a)(9－2－a)<0，
即(a＋1)(a－7)<0，
解得－1故实数a的取值范围是(－1,7)．
4．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
答案　(－12,0)
解析　∵f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，
∴即
解得－12故a的取值范围为(－12,0)．
1．当|x|≤1时，函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－1]
C. D.
答案　C
解析　|x|≤1 －1≤x≤1.
当a＝0时，y＝1，函数值恒为正，不符合题意；
当a≠0时，要想函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，
只需f(1)·f(－1)<0，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)＝(3a＋1)(a＋1)<0 －1综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>6 B．4C．66或k<－2
答案　C
解析　∵关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，设两根分别为x1，x2，
∴
解得63．若函数f(x)＝(其中a>0，a≠1)存在零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪(1,3) B．(1,3]
C．(2,3) D．(2,3]
答案　C
解析　由函数的解析式可知a>2，
因为指数函数y＝ax单调递增，在区间(2，a]上无零点，
所以函数y＝loga(x－2)在区间(a，＋∞)上存在零点，
由于y＝loga(x－2)单调递增，
故当x＝a时，有loga(a－2)<0＝loga1，
从而a－2<1 a<3，
所以实数a的取值范围是(2,3)．
4．方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　设f(x)＝x＋log3x－3，
则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0，
f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0，
f(3)＝3＋log33－3＝1>0，
又易知f(x)为增函数，
所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，
因此n＝2.
5．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案　A
解析　因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1，
所以函数 f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
由二次函数的图象可知
即
解得06．(多选)关于x的方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是(　　)
A. B. C. D.
答案　BCD
解析　对于方程ax2－|x|＋a＝0，当a＝0时，
只有一个解x＝0，
因此要使方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的解，
则a≠0，x≠0，
此时方程可变为＝＝|x|＋.
作出函数y＝|x|＋的图象，如图所示，
则>2，即07．已知函数f(x)＝若正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a·b·c的取值范围为________．
答案　(e，e2)
解析　画出f(x)的图象如图所示，
∵正实数a，b，c互不相等，
且f(a)＝f(b)＝f(c)，
不妨设a且－ln a＝ln b，则可得ab＝1，
∴a·b·c＝c∈(e，e2)．
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，则k的取值范围是________．
答案　(－1,1)
解析　令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k，
作出y＝f(x)的图象，如图，
由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－1所以k的取值范围是(－1,1)．
9．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解　由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0所以实数a的取值范围是110．已知函数f(x)＝4x－2x＋1－m.
(1)当m＝0时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝0时，f(x)＝4x－2x＋1＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2)．
令f(x)＝0，可得2x＝2，即x＝1.
∴函数f(x)的零点是1.
(2)令2x＝t，显然t>0，则y＝t2－2t－m.
∵函数f(x)有两个零点，且t＝2x为单调函数，
∴方程t2－2t－m＝0在(0，＋∞)上有两解，
∴解得－1∴m的取值范围是(－1,0)．
11．设x1，x2，x3均为实数，且＝log2(x1＋1)，＝log3x2，＝log2x3，则(　　)
A．x1C．x3答案　A
解析　如图所示，由图象可知，x112．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2 021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案　D
解析　由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2 021－g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两根是c，d，也就是g(x)＝2 021的两根，画出g(x)(开口向上)以及y＝2 021的大致图象(图略)，则与g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点就是a，b.又a>b，c>d，则c，d在a，b外，由图得c>a>b>d.
13．对实数a，b，定义运算“*”：a*b＝设函数f(x)＝(x2＋1)*(x＋2)，若函数y＝f(x)－c有两个零点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(2,4)∪(5，＋∞) B．(1,2]∪(4,5]
C．(－∞，1)∪(4,5] D．[1,2]
答案　B
解析　由题意知，
当(x2＋1)－(x＋2)≤1，即－1≤x≤2时，
f(x)＝x2＋1；
当(x2＋1)－(x＋2)>1，即x>2或x<－1时，f(x)＝x＋2.
∴f(x)＝
∵函数y＝f(x)－c有两个零点，
∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点．
画出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
由图可知，当c∈(1,2]∪(4,5]时，函数y＝f(x)－c有两个零点．
14．已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，故函数不是单调函数，又y＝x＋1与y＝2x交于(0,1)和(1,2)点，画出图象如图所示，
由图可知，当0即实数a的取值范围是(0,1)．
15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f2(x)＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为(　　)
A．m< B．m≤－28
C．－28≤m< D．m>28
答案　B
解析　画出函数f(x)的大致图象如图所示．
设t＝f(x)，则由图象知，
当t≥4时，t＝f(x)有两个根，
当t<4时，t＝f(x)只有一个根．
函数g(x)＝f2(x)＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点，等价为函数g(x)＝h(t)＝t2＋3t＋m有两个零点，
其中t1<4，t2≥4，
则满足
解得即m≤－28.
16．张同学在函数章节学习中遇到过许多形形色色的函数，其中有很多函数的形态是具有共性的，于是张同学提出了下面2个猜想，请同学们选择下面的任意一个问题回答或反驳张同学的猜想．
(1)已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点是x1，g(x)＝ln x＋x－2的零点是x2，证明：.
(2)已知函数f(x)＝ex－的零点是x1，证明：.
证明　选择(1)令f(x)＝ex＋x－2＝0，
得ex＝2－x，
令g(x)＝ln x＋x－2＝0，得ln x＝2－x，
则x1，x2可转化为y＝ex，y＝ln x的图象与y＝2－x图象交点的横坐标，
∵y＝ln x与y＝ex是一对反函数，
∴y＝ln x与y＝ex关于y＝x对称，
∵，解得x＝1，
∴x1＋x2＝2，
又∵x1≠x2，
选择(2)易知f(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，
又∵f <0，f(1)>0，
∴f(x)＝ex－存在一个零点x1∈，
此时
当且仅当x1＝1时等号成立，
由于x1∈，