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专题02 矩形的性质与判定
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 矩形的性质求角度
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（ ）
A．54° B．60° C．65° D．72°
2．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
3．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
A．162° B．152° C．142° D．128°
5．两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 矩形的性质求线段长
6．如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A．8cm B．cm C．5.5cm D．1cm
7．如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则长为（ ）
A． B． C． D．
8．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A．3.6 B．7.2 C．1.8 D．14.4
9．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A．4 B．5 C．6 D．
考查题型三 矩形的性质求面积
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图：矩形花园ABCD中，，，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK.若，则花园中可绿化部分的面积为( )
A． B．
C． D．
13．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．6
14．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
15．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．
A．30cm B．30cm C．60cm D．60
考查题型四 求矩形在坐标系中的坐标
16．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
17．如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
18．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（）
19．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）
20．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为( ).
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）
考查题型五 矩形的折叠问题
21．将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是( )
A．60° B．50° C．75° D．55°
22．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10
C．8 D．6
23．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
24．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
25．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
考查题型六 与直角三角形斜边的中线有关的计算
26．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
27．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
28．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ）
A． B． C． D．
29．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
30．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
考查题型七 矩形的判定
31．如图，菱形的对角线相交于点且．求证：四边形是矩形．
32．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
33．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．
34．如图，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
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专题02 矩形的性质与判定
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 矩形的性质求角度
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（ ）
A．54° B．60° C．65° D．72°
【详解】
解：设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，
∴3α+2α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠CDE＝2α＝36°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣36°＝54°，
∵OD＝OC，
∴∠DCE＝∠ODC＝54°，
∴∠COD＝180°﹣2×54°＝72°，
故选：D．
2．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【详解】
设C′D′与BC交于点E,如图所示：
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90° ∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360° 70° 90° 90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选：A.
3．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．
∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．
故选A．
4．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
A．162° B．152° C．142° D．128°
【详解】
解：∵l1∥l2，∠1=38°，∴∠ADP=∠1=38°，∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP=180°，∴∠BPD=180°﹣38°=142°，故选C．
5．两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故选：C．
考查题型二 矩形的性质求线段长
6．如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A．8cm B．cm C．5.5cm D．1cm
【详解】
折痕的最小值为矩形的宽，最大为矩形的对角线，则折痕x的长度的取值范围为5cm≤x≤cm，则本题中折痕的长不可能为8cm．
故选：A．
7．如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：延长AB,DC交于点F
∵四边形AFDE是矩形
∴
故选：A
8．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A．3.6 B．7.2 C．1.8 D．14.4
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=3.6cm，
∴BD=AC=2AO=7.2cm，
故选B．
9．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，
在中，，
，
即的最小值为．
故选A．
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A．4 B．5 C．6 D．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形
，，
,
，且，
，
在中，
点O是斜边AC上的中点，
故选B．
考查题型三 矩形的性质求面积
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【详解】
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
12．如图：矩形花园ABCD中，，，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK.若，则花园中可绿化部分的面积为( )
A． B．
C． D．
【详解】
解：由题意得可绿化部分的面积为，故选C .
13．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．6
【详解】
由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，故选B．
14．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
【详解】
∵如图，AB=4，AC=BC+2，
∴根据勾股定理得到： 即
∴BC=3，
∴它的面积为4×3=12.
故选D.
15．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．
A．30cm B．30cm C．60cm D．60
【详解】
解：设矩形的对角线长为x，
∵矩形的两条对角线互相垂直，
∴S矩形=x2=450cm2，
解得x=30cm，
∴2x=60cm．
故选C．
考查题型四 求矩形在坐标系中的坐标
16．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【详解】
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN，
∴CM，
∴，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
17．如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴，，
∴点C的对应点的坐标为．
故选：A．
18．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（）
【详解】
∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，
∴∠A'OB=∠AOB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠A'OB，
∴OP=BP，
∵点B的坐标为（6，3），
∴AB=OC=3，OA=BC=6，
设OP=BP=x，则PC=6﹣x，
在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴PC=6﹣=，
∴P（，3），
故选：A．
19．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（ ）
A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）
【详解】
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB= 3，BC=AD= 4，
∵点A（﹣，﹣1），
∴点C的坐标为（﹣+3，﹣1+4），
即点C的坐标为（，3），
故选D．
20．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为( ).
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=90°，
∵BD=BE=1，
∴∠BED=∠BDE=45°，
∵沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处，
∴∠B′ED=∠BED=45°，∠B′DE=′BDE=45°，B′E=BE=1，B′D=BD=1，
∴∠BEB′=∠BDB′=90°，
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（2，1）．
故选：B.
考查题型五 矩形的折叠问题
21．将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是( )
A．60° B．50° C．75° D．55°
【详解】
根据折叠的性质，∠CED'=70°，得
∠DEA=∠D′EA=
∵∠ADE=∠AD′E=90°
∴∠DAE=∠EAD′=90°-55°=35°
∴∠D′AB=90°-∠DAE-∠EAD′=90°-35°-35°=20°
∴∠EAB=∠EAD′+∠D′AB=35°+20°=55°
故答案为D.
22．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10
C．8 D．6
【详解】
解：由翻折变换的性质可知，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
．
故选：．
23．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
24．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【详解】
解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
25．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD=1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=，
由第二次折叠可知，
∴
故选：A．
考查题型六 与直角三角形斜边的中线有关的计算
26．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选A．
27．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
28．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为．
29．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
【详解】
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．
故选D．
30．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
【详解】
∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
考查题型七 矩形的判定
31．如图，菱形的对角线相交于点且．求证：四边形是矩形．
【详解】
证明：四边形为菱形
四边形为平行四边形，
平行四边形是矩形．
32．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【详解】
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
33．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵E为BC的中点
∴
∴
∴
∵
∴四边形ABFC是平行四边形
∴平行四边形ABFC是矩形．
34．如图，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
【详解】
（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．
∵ ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．
∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．
∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．
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