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专题01 一元二次方程的基础
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 一元二次方程的定义
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【详解】
A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
【详解】
由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A
3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
【详解】
由是关于x的一元二次方程，得
，且．
解得：，
故选：B．
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误；
故选：B．
5．关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解
【详解】
因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故选B.
考查题型二 一元二次方程的一般形式
6．把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：将方程化成一元二次方程的一般形式为，
则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，
故选：B．
7．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2
【详解】
解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得：
-3x2+4x-2=0，
∵a＞0，
∴3x2-4x+2=0，
∴一次项和常数项分别是：-4x，2，
故选B．
8．把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．5x2-4x-4=0 B．x2-5=0 C．5x2-2x+1=0 D．5x2-4x+6=0
【详解】
（x-）（x+）+（2x-1）2=0即x2-（）2+4x2-4x+1=0,移项合并同类项可得5x2-4x-4=0,故答案选A．
9．用换元法解方程：时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
把代入原方程得，去分母得，故选C.
考查题型三 一元二次方程的解
10．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
【详解】
解：根据题意，得：，
解得：m＝3．
故选B．
11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程x2 x 1=0的两个根，
∴x1+x2=1，x12 x1 1=0，
两式相加得：x12 x1 1+ x1+x2=1
移项得：x12 +x2=2
故选 B
12．若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．2
【详解】
解：将是代入方程
得
m2=9
m=±3
∵m+3≠0
∴m≠-3
∴m=3
故选：A．
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝1的一个根，则2a﹣2b+2021的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【详解】
解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝1的一个根，
∴，
∴2a﹣2b+2021=．
故选A．
14．已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，即，，
∴
，
故选：C．
15．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【详解】
由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
16．定义新运算：，若a、b是方程(k＜0)的两根，则的值为______.
【详解】
把a、b代入方程可得，，根据题目中的运算方法可得=b(1-b)-a(1-a)= .
17．等腰三角形三边长分别为m、n、2，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为______.
【详解】
已知三角形是等腰三角形，分①m=2，或n=2，②m=n两种情况：
①当a=2，或b=2时，由a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1=0的两根，所以x=2，把x=2代入x2﹣6x+k﹣1=0得，22﹣6×2+k﹣1=0，解得k=9，当k=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故k=9不合题意舍去；②当a=b时，方程x2﹣6x+k﹣1=0有两个相等的实数根，所以△=（﹣6）2﹣4（k﹣1）=0，解得k=10．
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专题01 一元二次方程的基础
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 一元二次方程的定义
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．若关于x的方程是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解
考查题型二 一元二次方程的一般形式
6．把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
7．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2
8．把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．5x2-4x-4=0 B．x2-5=0 C．5x2-2x+1=0 D．5x2-4x+6=0
9．用换元法解方程：时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ）
A． B． C． D．
考查题型三 一元二次方程的解
10．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
12．若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．2
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝1的一个根，则2a﹣2b+2021的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
14．已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
15．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
16．定义新运算：，若a、b是方程(k＜0)的两根，则的值为______.
17．等腰三角形三边长分别为m、n、2，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为______.
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