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专题02 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 直接开平方法
1．方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
【详解】
(x+1)2＝0,
解: x+1=0,
所以x1＝x2＝﹣1,
故选B.
2．方程的解是（ ）
A．， B． C． D．
【详解】
∵(x＋1)2=4，
∴x+1=±2，
解得x1=1，x2=﹣3.
故选C.
3．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
【详解】
解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，
∴a2+b2﹣3＝±5，
∴a2+b2＝3±5，
∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2
∵a2+b2≥0
∴a2+b2＝8．
故选：C．
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
【详解】
解：x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
当第三边的长为2时，2+4=6，不能构成三角形，故此种情况不成立，
当第三边的长为4时，6-4＜4＜6+4，符合三角形三边关系，此时三角形的周长为：4+4+6=14．
故选C．
5．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
【详解】
解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．
考查题型二 配方法
6．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：，
移项得：x2-4x=6，
配方得：x2-4x+4=6+4，
，
故选D．
7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【详解】
解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
8．用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）
A．可化为
B．可化为
C．可化为
D．可化为
【详解】
解：A、可化为；故配方错误，不符合题意；
B、可化为，原配方正确，故符合题意；
C、可化为，原配方错误，故不符合题意；
D、可化为，原配方错误，故不符合题意；
故选B．
9．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解： ，
移项得：，
配方得：，即．
故选：B．
10．用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（ ）
A．4 B．9 C．25 D．36
【详解】
解：，
方程两边同时除以2得：，
方程两边同时加上9得：．
故选：B
考查题型三 配方法的应用
11．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
【详解】
设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故选：C．
12．已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【详解】
解：
∵，当时，
∴，当时，
，为有理数，的最小值为
故选A
13．已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
【详解】
解：M N＝（a2 a） （a 1）＝a2 2a＋1＝（a 1）2，
∵（a 1）2≥0，
∴M≥N，
故选：B．
14．已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
解：∵=，
又∵关于x的多项式的最大值为5，
∴=5，解得：m=±2，
∴m的值可能为2．
故选B．
15．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（ ）
A．总大于7 B．总不小于9
C．总不小于﹣9 D．为任意有理数
【详解】
解：4x2+3y2+8x﹣12y+7
＝4x2＋8x＋4＋3y2 12y＋3
＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2 4y＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y2 4y＋4 4＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y 2）2 9，
∵（x＋1）2≥0，（y 2）2≥0，
∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥ 9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于 9．
故选：C．
16．若代数式，，则的值（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数
【详解】
解：由于，，
则
所以一定是正数．
故选：．
17．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
【详解】
解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0
解得a＝1，b＝4
∵3＜c＜5
∵△ABC是等腰三角形
∴c＝4
故△ABC的周长为：1+4+4＝9
故选：B．
巩固练习
1．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
【详解】
解：（1）
故答案为：4；2；
（2）x2-8x+16=(x-4)2
故答案为：8；4；
（3）(x＋)2
故答案为：；
（4）=(x-)2
故答案为：；．
2．用配方法求的最大值．
【详解】
解：
=
=
=
∵，
∴，
∴的最大值为4．
3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【详解】
解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
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专题02 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 直接开平方法
1．方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
2．方程的解是（ ）
A．， B． C． D．
3．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
5．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
考查题型二 配方法
6．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
8．用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）
A．可化为
B．可化为
C．可化为
D．可化为
9．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（ ）
A．4 B．9 C．25 D．36
考查题型三 配方法的应用
11．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
12．已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
13．已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
14．已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（ ）
A．总大于7 B．总不小于9
C．总不小于﹣9 D．为任意有理数
16．若代数式，，则的值（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数
17．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
巩固练习
1．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
2．用配方法求的最大值．
3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
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