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专题03 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
8．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
考查题型三 公式法解一元二次方程
9．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
10．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
11．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（ ）
A． B．
C． D．
12．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A． B． C． D．
13．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（ ）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
15．方程的两个根为（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
17．方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．13或15 D．15或19
19．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x＋m）（x＋n） ＝x2－5x＋4，则m＋n的值为（ ）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
20．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
考查题型五 换元法解一元二次方程
21．若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2= 5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
23．若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
24．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
巩固练习
1．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求方程的两个根．
2．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
3．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
4．解方程：
(1)
(2)
5．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为解得，当时，即，解得：；当时，即解得：，所以原方程的解：
请利用这种方法求方程的解
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专题03 解一元二次方程（公式法、因式分解法、换元法）
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【详解】
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
2．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【详解】
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
4．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【详解】
A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
考查题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，一次函数的图象过一三四象限，
当时，一次函数的图象过一二四象限，
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【详解】
根据题意得：k-1≠0且△=2 -4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
8．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【详解】
解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
考查题型三 公式法解一元二次方程
9．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
【详解】
解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴,,
∴则，，
故选：D．
10．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【详解】
解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴（第三步），
∴（第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故选C．
11．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：一元二次方程的求根公式是，
故选D．
12．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A． B． C． D．
【详解】
设雕像的下部高为xm，则上部长为，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故选B．
13．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：根据得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，
∴这个一元二次方程是，
故选：D．
14．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（ ）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
考查题型四 因式分解法解一元二次方程
15．方程的两个根为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【详解】
解：∵，
∴或，
∴，；
故选：A
16．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【详解】
解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
17．方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】
解：，
或
解得：
故选B
18．已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．13或15 D．15或19
【详解】
解：∵，
∴，
解得
∵第三边的长为二次方程的一根，2+4=6<7，7-2<6<7+2，
∴边长2，4，7不能构成三角形，2，6，7能构成三角形，
∴三角形的周长=2+6+7=15．
故选B．
19．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x＋m）（x＋n） ＝x2－5x＋4，则m＋n的值为（ ）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
【详解】
解：根据题意得，m+n=-5，mn=4
故选：A．
20．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
【详解】
解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，，
当边长为4时，，不能构成三角形，舍去；
当边长为5时，，此时菱形的周长为，
则该菱形的周长为20．
故选：D．
考查题型五 换元法解一元二次方程
21．若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2= 5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】
解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故选：B．
22．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
【详解】
解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，
故选：C．
23．若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
【详解】
解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
24．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
【详解】
解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，
整理得：z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，
∴x2+y2＝4．
故选：B．
巩固练习
1．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求方程的两个根．
【解析】
解：由方程可知：
Δ=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=即：，
∴
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
(2)
解：∵，
∴k的最大整数值为0，
把，代入方程可得方程，
解这个方程得，．
2．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
解：直接开平方得，
解得，；
(2)
解：由已知得，
则，
解得，；
(3)
解：由已知得，
，
∴，
解得，；
(4)
解：由已知得，
利用因式分解法可得，
解得，．
3．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
【详解】
解：设x-2013 = t，则x-2014=t-1，
∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0，
∴（t-2016）（t+2015）=0
解得：t1=2016，t2=-2015，
∴x－2013 =2016或x－2013 =-2015，
解得：x1＝4029或-2，
∴原方程的解为x1＝4029，x2＝-2．
4．解方程：
(1)
(2)
【解析】
解：由原方程得，，
解得，，
所以，原方程的解为，；
(2)
解：由原方程得，，
得，
，
解得，，
所以，原方程的解为，．
5．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为解得，当时，即，解得：；当时，即解得：，所以原方程的解：
请利用这种方法求方程的解
【详解】
解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2 7y＋12＝0，
所以 （y 3）（y 4）＝0
解得y1＝3，y2＝4．
当y＝3时，即2x＋5＝3，
解得x＝ 1；
当y＝4时，即2x＋5＝4，
解得x＝ ，
所以原方程的解为：x1＝ 1，x2＝ ．
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