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专题 专题04 一元二次方程根与系数的关系
1．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
2．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
3．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（ ）
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
6．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5
10．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
11．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
12．方程与的所有根的和为______．
13．已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为____．
14．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______．
15．若，是方程的两个根，则的值是______．
16．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______．
17．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________．
18．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．
19．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
20．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn＋2m＋2021＝___．
21．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
22．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
25．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
26．已知关于x的方程．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根，且，求k的值．
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专题 专题04 一元二次方程根与系数的关系
1．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
【详解】
解：∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴，，
因此可得2α2=5α+1，
代入2α2+3αβ+5β
=5α+1+3αβ+5β
=5（α+β）+3αβ+1
=5×+3×（-）+1
=12；
故选B．
2．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【详解】
∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,
∴原式=8×2+14=30,故选D.
3．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【详解】
A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A符合题意；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1 x2=﹣2，结论C错误，不符合题意；
D、∵x1 x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意．
故选A．
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（ ）
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
【详解】
解：①当a=b时，原式=2；
②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，∴a+b=8，ab=5．
则=
=，
把a+b=8，ab=5代入得：
=
=﹣20．
综上可得：的值为2或﹣20．
故选C．
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【详解】
解：根据题意得
所以
故选：D．
6．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【详解】
解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】
解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴
∵，
∴，
选D．
8．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
9．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5
【详解】
解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，
∴原式＝m2+3m+m+n
＝7﹣3
＝4，
故选B．
10．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【详解】
根据题意得，，
所以．
故选A．
11．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
【详解】
解：∵一元二次方程的两根是，，
∴，，
∴．
故答案是： ．
12．方程与的所有根的和为______．
【详解】
解：设方程的两根是x1、x2，方程的两根是x3、x4，
在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1+24＝25＞0，
∴此方程有实数根，
同理在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1-32＝-310，
∴此方程没有实数根，
又∵x1+x2＝﹣ ＝-1，
∴两个方程的实数根的和是-1．
故答案为-1．
13．已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为____．
【详解】
解：∵方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1 x2＝2，
∴x1+x2﹣x1 x2＝5﹣2＝3．
故答案为：3
14．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______．
【详解】
解：将一元二次方程化为，
一元二次方程的两个根是与，
，解得，
故答案为：．
15．若，是方程的两个根，则的值是______．
【详解】
解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
16．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______．
【详解】
解：由题意得，
故答案为：9．
17．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________．
【详解】
解：∵关于x的方程的两根之积为：，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：-1．
18．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．
【详解】
解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
19．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【详解】
解：根据题意，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴；
故答案为：10．
20．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn＋2m＋2021＝___．
【详解】
由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
所以m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，
所以2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032；
故答案为：2032．
21．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
【解析】
证明：
∵
∴方程总有两个实数根
(2)
令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
22．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
【解析】
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，解得；
(2)
∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝k＋1，，
∵x12＋x22＝6x1x2-15，
∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，
∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，
又∵，
∴k＝4．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
【解析】
解：∵，
∴，
∴
=
=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
(2)
解：由（1）及根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
代入得：，整理得：，
∴．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【解析】
解：，
该方程总有两个实数根；
(2)
解：方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
，
即，
．
25．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【解析】
(1)
，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
(2)
方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
26．已知关于x的方程．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根，且，求k的值．
【解析】
(1)
解：△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵当△≥0，方程有两个实数根，
∴2k-3≥0，解得∶k≥，
∴当k≥时，方程有两个实数根；
(2)
解∶由|x1|=x2，①当x1≥0时， x1=x2，
∴方程有两个相等实数根，
∴△=0，即2k-3=0，
∴k=．
又当k=时，有x1=x2=＞0，
∴k=符合条件；
②当x1＜0时，得x2=-x1，
∴x1+x2=0，
由根与系数关系得k+1=0，
∴k=-1，
由（1）知，与当k≥矛盾，
∴k=-1舍去，
综上可得，k=．
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