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专题05 实际问题与一元二次方程
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 传播问题
1.我们知道,传销能扰乱一个地方正常的经济秩序,是国家法律明令禁止的.某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线,每个下线再发展同样数目的下线成员.经过两轮发展后,非法传销组织成员共有57人,间每个人计划发展下线多少人?
2.德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株,其传染性极强.某地有人感染了德尔塔,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有人感染了德尔塔病毒,设每轮传染中平均一个人传染了个人;
(1)用含的代数式表示:经过第一轮传染后,共有多少人感染了德尔塔病毒
(2)列方程求解:在每轮传染中,平均一个人传染了几个人
(3)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后,一共有多少人感染德尔塔病毒
3.第四届数字中国建设峰会于2021年4月25日在福州开幕,在其中一场数字产品的交易碰头会上,与会的每两家公司之间都签订了一份互助协议,所有公司共签订了210份协议,求共有多少家公司参加这场交易碰头会?
4.某象棋比赛,每名选手都要与其他选手比赛一局,每局胜者记2分,负者记0分,和棋各记1分.有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数,分别是2017,2070,2018,2078,经核实,只有一位观众统计准确,则这次比赛的选手共有多少名?
考查题型二 增长率问题
5.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求每次降价的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价1元,每天可多销售8件,那么每天要想获得510元的利润且尽快减少库存,每件应降价多少元?
6.草莓是大众喜爱的水果,含有多种氨基酸、微量元素、维生素等,能够调节机体免疫功能,增强机体免疫力.某草莓种植户草莓2月初开始上市,上市第1周单价60元/千克,此后由于草莓上市量逐渐增多,价格不断下降,第3周价格下降到48.6元/千克,求草莓这两周价格的平均下降率是多少?
7.广饶牛奶草莓远近闻名,果农小李将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售.为了优惠广大顾客,小李将对价格进行两次下调后,以每千克9.6元的单价对外批发销售.
(1)如果每次价格下调的百分率相同,求小李每次价格下调的百分率;
(2)王明准备到小李处购买3吨该草莓,因数量多,小李准备再给予两种优惠方案供选择:
方案一:打九折销售;
方案二:不打折,每吨优惠现金400元.试问王明选择哪种方案最优惠?请说明理由.
8.在全面奔小康的过程中,家庭轿车的拥有量逐年增加.已知我市某小区2018年底拥有家庭轿车256辆,2020年底拥有家庭轿车400辆.
(1)求从2018年底到2020年底家庭轿车拥有量的年平均增长率是多少?
(2)若该小区2018年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同,问该小区到2021年底家庭轿车将达到多少辆?
(3)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资400万元再建造若干个停车位.根据预算,一个停车位的建筑面积为40,建造室内停车位2000元/、露天停车位200元/.根据实际需求,建造露天停车位的数量不少于室内停车位的数量的2.5倍,求该小区最少要再建多少个露天停车位?
考查题型三 与图形有关的问题
9.我市在创建全国文明城市期间,对一个矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长为30m、宽为20m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4:3.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用606000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
10.如图,有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,用剩余(阴影)部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.
11.如图,游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD,AD=32米,AB=20米.为了便于养护与运输,养植园内留有四横四纵等宽道路,养植面积与道路面积比为7:3
(1)求道路的宽度.
(2)养植区域内月季盆裁要均匀摆放,即每平方米摆放的盆数一样.每平方米最多能摆放36盆,密度越大,花的品质会下降,每盆月季的出售价也会随之降低.大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆,每盆的出售价为5元.分析发现:每平方米每增加5盆,每盆的出售价会下降0.5元.老板准备增加养植数量,以获得最多的出售总额,那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多?
12.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形,(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;
(2)并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
考查题型四 与数字有关的问题
13.有一个两位数,它的个位数字比十位数字大3,个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18,求这个两位数.
14.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个两位数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来两位数的乘积为736,求原来的两位数.
15.读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
16.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可以卖出(350﹣10a)件;但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,如果商店计划要赚400元,那么每件商品售价是多少元?
考查题型五 营销问题
17.冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物,冰墩墩造型的玩偶非常畅销.某超市经销一种冰墩墩的玩偶,每件成本为60元.经市场调研,当该玩偶每件的销售价为70元时,每个月可销售300件,若每件的销售价增加1元,则每个月的销售量将减少10件.
(1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件,求这个月每件玩偶的销售价.
(2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元,求这个月每件玩偶的销售价.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行,北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售,平均每天销售30件,每件盈利20元.经调研发现:在成本不变的情况下,若每个挂件降价1元,则每天可多售出5件.
(1)设每个挂件降价元,则每天将销售________件.(用含的代数式表示)
(2)如果商家每天要盈利840元,且让顾客得到更大实惠,每个挂件应降价多少元?
19.某校九年级二班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“双十一”期间的销售情况,下面是调查后甲、乙、丙三名同学交流的情况:
甲:据调查,该商品的进价为12元/件.
乙:该商品定价为20元时,每天可售出240件.
丙:在定价为20元的基础上,每涨价1元,每天少售出20件.
根据他们的对话,在必须涨价的前提下,请问在定价20元的基础上涨价多少才能使得销售的商品每天能获利720元?
20.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:
(1)每千克茶叶应降价多少元?
(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?
考查题型六 行程问题
21.从甲站到乙站有150千米,一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车到达乙站比慢车早25分钟,快车和慢车每小时各行驶多少千米?
22.“铁路建设助推经济发展”,近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后,从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米,列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时,全程设计运行时间只需8小时,比原铁路设计运行时间少用16小时.
(1)渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米
(2)专家建议:从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%,以便于有充分时间应对突发事件,这样,从重庆到上海的实际运行时间将增加小时,求m的值.
23.一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动,并且均匀减速,滚动20m后小球停下来.
(1)小球滚动了多少时间
(2)平均每秒小球的运动速度减少多少
(3)小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)
24.某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点、,以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程与时间满足关系,乙以的速度匀速运动,半圆的长度为.
(1)甲运动后的路程是多少
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间
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专题05 实际问题与一元二次方程
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 传播问题
1.我们知道,传销能扰乱一个地方正常的经济秩序,是国家法律明令禁止的.某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线,每个下线再发展同样数目的下线成员.经过两轮发展后,非法传销组织成员共有57人,间每个人计划发展下线多少人?
【详解】
设每个人计划发展下线x人,
根据题意,得:
∴
∴
解得:或(舍去)
∴在每轮发展中平均一个成员发展下线7人.
2.德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株,其传染性极强.某地有人感染了德尔塔,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有人感染了德尔塔病毒,设每轮传染中平均一个人传染了个人;
(1)用含的代数式表示:经过第一轮传染后,共有多少人感染了德尔塔病毒
(2)列方程求解:在每轮传染中,平均一个人传染了几个人
(3)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后,一共有多少人感染德尔塔病毒
【详解】
;
根据题意:,解得(舍去),
答:每轮传染中平均一人传染了人;
(人),
答:经过三轮传染后共有人感染德尔塔病毒.
3.第四届数字中国建设峰会于2021年4月25日在福州开幕,在其中一场数字产品的交易碰头会上,与会的每两家公司之间都签订了一份互助协议,所有公司共签订了210份协议,求共有多少家公司参加这场交易碰头会?
【详解】
解:设有x家公司参加,根据题意得,
x(x﹣1)=210
整理得:x2﹣x﹣420=0
解得:x1=21,x2=﹣20(舍去)
答:共有21家公司参加这场交易碰头会.
4.某象棋比赛,每名选手都要与其他选手比赛一局,每局胜者记2分,负者记0分,和棋各记1分.有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数,分别是2017,2070,2018,2078,经核实,只有一位观众统计准确,则这次比赛的选手共有多少名?
【详解】
解:设这次比赛共有x名选手.
由题意可知,无论胜负,每局两名选手得分总和均为2分,x名选手比赛的总局数为,
所以得分总数为.
因为x是正整数,且大于1,所以x,是两个连续的正整数.
不难验证:两个连续的整数之积的末位数字只能是0,2,6,故得分总数只能是2070,
则,
解得(舍去).
答:这次比赛的选手共有46名.
考查题型二 增长率问题
5.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求每次降价的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价1元,每天可多销售8件,那么每天要想获得510元的利润且尽快减少库存,每件应降价多少元?
【解析】
(1)
解:设每次降价的百分率为,
依题意得:,
解方程得:,(不合题意舍去),
答:每次降价的百分率为10%.
(2)
解:设每件应降价元,
依题意得:,
整理得:,
解方程得:,,
要尽快减少库存,取,
答:每天要想获得510元的利润且尽快减少库存,每件应降价2.5元.
6.草莓是大众喜爱的水果,含有多种氨基酸、微量元素、维生素等,能够调节机体免疫功能,增强机体免疫力.某草莓种植户草莓2月初开始上市,上市第1周单价60元/千克,此后由于草莓上市量逐渐增多,价格不断下降,第3周价格下降到48.6元/千克,求草莓这两周价格的平均下降率是多少?
【详解】
解:设平均下降率为,
则
解得:或(不合题意,舍去)
∴价格的平均下降率为0.1.
7.广饶牛奶草莓远近闻名,果农小李将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售.为了优惠广大顾客,小李将对价格进行两次下调后,以每千克9.6元的单价对外批发销售.
(1)如果每次价格下调的百分率相同,求小李每次价格下调的百分率;
(2)王明准备到小李处购买3吨该草莓,因数量多,小李准备再给予两种优惠方案供选择:
方案一:打九折销售;
方案二:不打折,每吨优惠现金400元.试问王明选择哪种方案最优惠?请说明理由.
【解析】
(1)
设小李每次价格下调的百分率为x,
依题意得:15(1﹣x)2=9.6,
解得:x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).
答:小李每次价格下调的百分率为20%.
(2)
王明选择方案一购买更优惠,理由如下:
选择方案一所需费用为9.6×0.9×3000=25920(元);
选择方案二所需费用为9.6×3000﹣400×3=27600(元).
∵25920<27600,
∴王明选择方案一购买更优惠.
8.在全面奔小康的过程中,家庭轿车的拥有量逐年增加.已知我市某小区2018年底拥有家庭轿车256辆,2020年底拥有家庭轿车400辆.
(1)求从2018年底到2020年底家庭轿车拥有量的年平均增长率是多少?
(2)若该小区2018年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同,问该小区到2021年底家庭轿车将达到多少辆?
(3)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资400万元再建造若干个停车位.根据预算,一个停车位的建筑面积为40,建造室内停车位2000元/、露天停车位200元/.根据实际需求,建造露天停车位的数量不少于室内停车位的数量的2.5倍,求该小区最少要再建多少个露天停车位?
【解析】
(1)
解:设家庭轿车拥有量的年平均增长率为.
依题意得:256(1+)2=400.
解得:=0.25=25%,=-2.25(不合题意,舍去).
答:从2018年底到2020年底家庭轿车拥有量的年平均增长率是25%.
(2)
解:由题意得
400(1+25%)=500(辆).
答:该小区到2021年底家庭轿车将达到500辆.
(3)
解:由题意知:修建一个室内停车位需2000×40=80000(元)=8(万元).
修建一个露天停车位需200×40=8000(元)=0.8(万元).
设修建露天停车位个,则修建室内停车位个,
根据题意列不等式得:
解得:≥100.
∵为整数,
∴的最小整数值为100.
答:该小区最少要再建露天停车位100个.
考查题型三 与图形有关的问题
9.我市在创建全国文明城市期间,对一个矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长为30m、宽为20m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4:3.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用606000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
【详解】
解:设扩充后广场的长为4xm,宽为3xm,
依题意得:4x 3x 100+30(4x 3x﹣30×20)=606000.
解得x1=20,x2=﹣20(舍去).
所以4x=80,3x=60,
答:扩充后广场的长为80m,宽为60m.
10.如图,有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,用剩余(阴影)部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.
【详解】
设剪去的正方形的边长为xcm,则底面的长为(5﹣2x)cm,宽为﹣x=(3﹣x)cm,
依题意得:(5﹣2x)(3﹣x)=6,
整理得:2x2﹣11x+9=0,
解得:x1=1,x2=,
当x=1时,5﹣2x=3,3﹣x=2,符合题意;
当x=时,5﹣2x=﹣4<0,不合题意,舍去.
答:剪去的正方形的边长为1.
11.如图,游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD,AD=32米,AB=20米.为了便于养护与运输,养植园内留有四横四纵等宽道路,养植面积与道路面积比为7:3
(1)求道路的宽度.
(2)养植区域内月季盆裁要均匀摆放,即每平方米摆放的盆数一样.每平方米最多能摆放36盆,密度越大,花的品质会下降,每盆月季的出售价也会随之降低.大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆,每盆的出售价为5元.分析发现:每平方米每增加5盆,每盆的出售价会下降0.5元.老板准备增加养植数量,以获得最多的出售总额,那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多?
【解析】
(1)
解:设道路宽x米,则
(32﹣4x)(20﹣4x)=32×20×,
解得:x1=1,x2=12
若 x=12,则四条道路总宽为48米,明显不合题意,舍去,
故x=1,
答:道路宽为1米;
(2)
解:∵5:0.5=10:1,
故设每平方米增加10z盆,则每盆售价降低z元,出售总额为w元/m2,则:
w=(10+10z)(5﹣z)=﹣10(z﹣2)2+90,
∵10z≤36﹣10,
∴z≤2.6,
∴0≤z≤2.6,
又∵a=﹣10<0,且z=2在0≤z≤2.6内,
∴z=2时,函数w=﹣10(z﹣2)2+90取最大值,
此时每平米养植月季盆数为:(盆)
∴每平米应该养植30盆月季小盆栽才能使出售总额最多.
12.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形,(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;
(2)并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
【解析】
(1)
如图所示:
(2)
设裁掉的正方形的边长为xdm,
由题意可得,
即,解得或(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2
考查题型四 与数字有关的问题
13.有一个两位数,它的个位数字比十位数字大3,个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18,求这个两位数.
【详解】
解:设个位上的数字为x,则十位上的数字为(x-3).可列方程为:
x2+(x-3)2=10(x-3)+x+18
解得x1=7,x2=(舍),
∴x-3=4,
∴10(x-3)+x=47.
答:这个两位数为47.
14.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个两位数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来两位数的乘积为736,求原来的两位数.
【详解】
解:设原来两位数的十位数字为x,则个位数字为5-x
根据题意,得[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736
解得x1=2,x2=3
当x=2时,5-x=3,符合题意,原来的两位数是23.
当x=3时,5-x=2,符合题意,原来的两位数是32
答:原来的两位数是23或32
15.读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
【详解】
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x﹣3.由题意得;
10(x﹣3)+x=x2,
解得:x1=5,x2=6
当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;
当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
答:周瑜去世的年龄为36岁.
16.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可以卖出(350﹣10a)件;但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,如果商店计划要赚400元,那么每件商品售价是多少元?
【详解】
解:设每件商品售价是x元,
由题意,得(x﹣21)(350﹣10x)=400;
化简,得x2﹣56x+775=0;
解得 x1=25,x2=31;
又21×(1+0.2)=25.2,
∴x=31不合题意,舍去.
答:每件商品售价是25元.
考查题型五 营销问题
17.冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物,冰墩墩造型的玩偶非常畅销.某超市经销一种冰墩墩的玩偶,每件成本为60元.经市场调研,当该玩偶每件的销售价为70元时,每个月可销售300件,若每件的销售价增加1元,则每个月的销售量将减少10件.
(1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件,求这个月每件玩偶的销售价.
(2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元,求这个月每件玩偶的销售价.
【解析】
(1)
解:设这个月每件玩偶的销售价为x元,
根据题意300-(x-70)×10=200,
解得x=80元,
答:这个月每件玩偶的销售价80元;
(2)
解:设这个月每件玩偶的销售价y元,
根据题意,得:(y-60)[300-10(y-70)]=4000,
整理得:y=80,
答:这个月每件玩偶的销售价80元.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行,北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售,平均每天销售30件,每件盈利20元.经调研发现:在成本不变的情况下,若每个挂件降价1元,则每天可多售出5件.
(1)设每个挂件降价元,则每天将销售________件.(用含的代数式表示)
(2)如果商家每天要盈利840元,且让顾客得到更大实惠,每个挂件应降价多少元?
【解析】
(1)
解:设每个挂件降价x元,则每天可以多售出5x件,故每天将销售件.
故答案为:.
(2)
根据题意得:,
解得:或,
∴为了让顾客得到更大实惠,每个挂件应降价8元.
19.某校九年级二班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“双十一”期间的销售情况,下面是调查后甲、乙、丙三名同学交流的情况:
甲:据调查,该商品的进价为12元/件.
乙:该商品定价为20元时,每天可售出240件.
丙:在定价为20元的基础上,每涨价1元,每天少售出20件.
根据他们的对话,在必须涨价的前提下,请问在定价20元的基础上涨价多少才能使得销售的商品每天能获利720元?
【详解】
解:设涨价x元,由题意得
整理得,
解得(不合题意,舍去)
答:在定价20元的基础上涨价10元才能使得销售的商品每天能获利720元.
20.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:
(1)每千克茶叶应降价多少元?
(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?
【详解】
(1)设每千克茶叶应降价x元.根据题意,得:
(400﹣x﹣240)(200+×40)=41600.
化简,得:x2﹣10x+2400=0.
解得:x1=30,x2=80.
答:每千克茶叶应降价30元或80元.
(2)由(1)可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克茶叶某应降价80元.
此时,售价为:400﹣80=320(元),.
答:该店应按原售价的8折出售.
考查题型六 行程问题
21.从甲站到乙站有150千米,一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车到达乙站比慢车早25分钟,快车和慢车每小时各行驶多少千米?
【详解】
设慢车每小时行驶x千米,则快车每小时行驶(x+12)千米,
依题意得-=.
解得x1=-72,x2=60.
经检验,x1=-72,x2=60都是原方程的解.
但x1=-72不合题意,应舍去.
故x=60.
所以x+12=72.
答:快车每小时行驶72千米,慢车每小时行驶60千米.
22.“铁路建设助推经济发展”,近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后,从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米,列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时,全程设计运行时间只需8小时,比原铁路设计运行时间少用16小时.
(1)渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米
(2)专家建议:从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%,以便于有充分时间应对突发事件,这样,从重庆到上海的实际运行时间将增加小时,求m的值.
【详解】
试题解析:(1)设原时速为xkm/h,通车后里程为ykm,则有:,
解得:,
答:渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米;
(2)由题意可得出:,
解得:,(不合题意舍去),
答:m的值为20.
23.一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动,并且均匀减速,滚动20m后小球停下来.
(1)小球滚动了多少时间
(2)平均每秒小球的运动速度减少多少
(3)小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)
【详解】
(1)小球滚动的平均速度==5(m/s)
小球滚动的时间:=4(s)
(2)=2.5(m/s)
(3)小球滚动到5m时约用了xs
平均速度==
依题意,得:x·=5,
整理得:
x2-8x+4=0
解得:x=4±2,所以x=4-2.
24.某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点、,以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程与时间满足关系,乙以的速度匀速运动,半圆的长度为.
(1)甲运动后的路程是多少
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间
【详解】
解:(1)当 t=4s 时,cm.
答:甲运动 4s 后的路程是 .
(2) 由图可知,甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ,甲走过的路程为 ,
乙走过的路程为 ,则.
解得 或 (不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了 3s.
(3) 由图可知,甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ,
则
解得 或 (不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了 7s.
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