人教版八年级上册12.3角的平分线的性质 课件 (共31张PPT)

(共31张PPT)
12.3角平分线的性质（一）
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角
O
B
A
C
平分线。
复习提问
O
B
A
C
∠AOC =∠BOC
∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
角平分线
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
线段的长度
如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线. 你能说明它的道理吗
经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！
探究1---想一想
证明：∵AB＝AD，BC＝DC
又∵AC是公共边
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC
即AE是平分线
E
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
0
温馨提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第
一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成
的三条折痕，你能得出什么结论？
A
O
B
A
O
B
C
D
E
P
探究
可以看出，第一条折痕OC是∠AOB _________
第二次形成了____条折痕，分别为__________,
它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______
这两个距离_______
平分线
2
PD、PE
距离
相等
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E
求证: PD=PE
A
O
B
E
D
P
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
　
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
　
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
∴ PD＝PE
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD 为什么
O
A
E
D
C
P
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
　　　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则
PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为
A
C
D
B
E
例题讲解
E
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
O
A
B
E
C
D
例题讲解
例3： 已知:如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证:EB＝FC.
B
A
E
D
C
F
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF
在Rt△BED和Rt△CFD中
BD＝CD
DE＝DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴BE＝CF
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
D
F
E
M
N
例题讲解
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
∴PD=PE
同理:PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA
的距离相等
A
0
B
M
N
P
C
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
2
练习
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
A
C
D
B
E
F
练习
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
A
B
C
D
E
练习
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
知识拓展
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD
B
A
C
D
E
再见
在△ADC和 △ABC中，
AD= AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC ≌ △ABC
（SSS）
∴ ∠DAE=∠DAE
=
=
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
A
B
O
C
则射线OC就是∠AOB的平分线.
E
D
例2：如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
A
B
C
P
M
N
D
E
F
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∴PD=PE
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
结论：
C
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
几何语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
E
D
O
A
B
P
C