3-1-1同步检测
一、选择题
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
123.56
21.45
－7.82
11.57
－53.76
－126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且只有一个 D．一个也没有
6．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )
A．4 B．2
C．1 D．0
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
A．a<α
C．α8．(2010·福建理，4)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
二、填空题
10．已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有________个零点．
11．(上海大学附中2011～2012高一期末)方程10x＋x－2＝0解的个数为________．
12．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则m的取值范围是______________．
13．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．
三、解答题
14．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝；
(4)f9x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
17．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
详解答案
1[答案] B
2[答案] B
3[答案] D
4[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
5[答案] C
[解析] ∵f(1)>0，f(2)<0，
∴f(x)在(1,2)上至少有一个零点．
而f(x)是二次函数，再画其图象观察可知有且只有一个零点．
6[答案] D
7[答案] C
[解析] ∵α、β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0，
又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，
∴f(a)＝f(b)＝－2<0.
结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间．
8[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
9[答案] B
[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
10[答案] 3
11[答案] 1
[解析] 画函数y＝10x与y＝2－x的图象，只有一个交点，故方程只有一解．
12[答案] (－∞，－]
[解析] ∵f(x)在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，
∴(－6m－4)(－4)≤0，解得m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]．
13[答案] －3
[解析] 设另一个零点为x1，则x1＋1＝－2，∴x1＝－3.
14[解析] ∵方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，
∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.
故a的取值范围为(2，＋∞)．
15[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.
16[解析] 令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得或解得－∴m的取值范围是(－，0)．
17[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
3-1-2同步检测
一、选择题
1．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是( )
2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内
B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，d)内
D．等于
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有( )
①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
7．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过( )
A．ε B.ε C．2ε D.ε
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)
二、填空题
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.46025)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．
10．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．
12．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．
13．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 011，则x1＋x2＋…＋x2 011＝________.
三、解答题
14．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
15．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．
详解答案
1[答案] D
[解析] 选项A，B不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；选项C中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间，只有D中的零点满足图象连续不断 且符号相异，能用二分法．故选D.
2[答案] D
3[答案] C
4[答案] C
5[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6[答案] A
[解析] 由图象可知，当0()x1>log2x1，即f(x1)>0，故选A.
7[答案] B
[解析] 根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|<ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε.
8[答案] A
9[答案] 1.4375(或1.375)
[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．
10[答案] －2.25
[解析] 由(1,4)的中点为2.5，得f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
11[答案] (2,2.5)
[解析] ∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．
12[答案] 0.75(答案不唯一)
[解析] 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．
13[答案] 0
[解析] ∵f(x)是R上的奇函数，
∴0是函数y＝f(x)的零点．
其他非0的零点关于原点对称．
∴x1＋x2＋…＋x2011＝0.
14[解析] 设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数根．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有实数根．
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f()
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.6875
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.6875)<0
因为|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的近似解可取为0.75.
15[解析] 考查函数f(x)＝x5＋x－3，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝31>0，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.
∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，
∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．
取区间(1,2)的 中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．
同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125,1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，x0∈(1.125,1.1406 25)．
由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.
3-2-1同步检测
一、选择题
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
3．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(54．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20 g付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮0.80元(信的质量在100 g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费( )
A．3.20元 B．2.90元
C．2.80元 D．2.40元
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(单位：万元)．已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
6．已知某食品厂生产100 g饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：
型号
小包装
大包装
质量
100 g
300 g
包装费
0.5元
0.8元
售价
3.00元
8.40元
下列说法中，正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多 ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．
A．①④ B．①③
C．②③ D．②④
二、填空题
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
9．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
10．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________________．
三、解答题
11．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年 30个减少到第6个10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
12．试比较函数y＝x200，y＝ex，y＝lgx的增长差异．
13．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
14．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．
详解答案
1[答案] A
[解析] y＝2×2x＝2x＋1.
2[答案] D
[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案．
3[答案] D
[解析] 注意三角形中两边之和大于第三边．
4[答案] A
[解析] 由题意，得20×3<72.5<20×4，则他应付邮费为0.80×4＝3.20(元)．
5[答案] B
[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
6[答案] D
[解析] 小包装平均每元可买饼干克，大包装平均每元可买饼干>克，因此买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．
7[答案] 甲
8[答案] (1＋p)12－1
9[答案] y1
[解析] 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
10[答案] ax>xn>logax
11[解析] (1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，所以当m＝2时，n有最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
12[解析] 增长最慢的是y＝lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝ex增长得快；当x较大(如x>1 000)时，y＝ex要比y＝x200增长得快．
13[解析] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5，
100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
14[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
3-2-2同步检测
一、选择题
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是( )
A．不亏不盈 B．赚23.68元
C．赚47.32元 D．亏23.68元
3．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
4．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－800元，税率见下表：
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过10 000元部分
45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于( )
A．800～900元 B．900～1 200元
C．1 200～1 500元 D．1 500～2 600元
5．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为( )
A．180 B．160
C．140 D．120
6．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中正确的是( )
7．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2006年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2007年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2011年该地区农民人均收入介于( )
A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元
C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元
(注：当0二、填空题
8．长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝________，最大面积S＝________.
9．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．
10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝()t－a(a为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．
三、解答题
11．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
12．某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这些原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元．生产一件B种产品，需用甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来．
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
[分析] 设生产A种产品x件，则生产B种产品(50－x)件，据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg即可．
13．某个体经营者把开始6个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.4
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第7个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
详解答案
1[答案] C
[解析] 当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.
2[答案] D
[解析] 设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x＝64，y＝144,64＋144－92.16×2＝23.68.
3[答案] D
[解析] 从A地到B地的来回时间分别为：
＝2.5，＝3，
x＝ 故选D.
4[答案] C
[解析] 解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.
解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A，B，D，故选C.
5[答案] D
[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则，解得，故这两筐椰子原来共有120个．
6[答案] C
[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A、D；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A、D)，故选C.
7[答案] B
[解析] 根据题意可得，2011年该地区农民收入为
1800(1＋6%)5＋1350＋5×160
≈1800×(1＋5×6%)＋2150＝4490.
故选B.
8[答案] 1，
[解析] S＝(4＋x)＝－＋x＋12
＝－(x－1)2，当x＝1时，Smax＝.
9[答案]
[解析] 设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝a，＝.
10[答案] (1)y＝ (2)0.6
[解析] (1)设0≤t≤时，y＝kt，
将(0.1,1)代入得k＝10，
又将(0.1,1)代入y＝()t－a中，得a＝，
∴y＝.
(2)令()≤0.25得t≥0.6，∴t的最小值为0.6.
11[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，解得
所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．
12[解析] (1)设生产A种产品x件，则生产B种产品为(50－x)件，
依题意得解得30≤x≤32.
∵x是整数，∴只能取30,31,32.
∴生产方案有三种，分别为A种产品30件B种产品20件；A种产品31件B种产品19件；A种产品32件B种产品18件．
(2)设生产A种产品x件，则B种产品(50－x)件．
y＝700x＋1 200(50－x)＝－500x＋600 00，
∵k＝－500<0，∴y随x增大而减小，
∴当x＝30时，y最大＝－500×30＋600 00＝45 000.
∴安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获利润最大，最大利润为45 000元．
[方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系．即根据实际问题建立好函数关系式后，特别要注意函数的定义域．
13[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．由于(4,2)为最高点，则可设y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，
解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是纯性的，可以用一次函数模型进行模拟．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得
解得
所以y＝0.25x.
设第7个月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元，xB万元，总利润为ω万元，那么
所以ω＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25(12－xA)
＝－0.15x＋0.95xA＋2.6
＝－0.15(xA－)2＋0.15()2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，ω取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
[规律方法] (1)根据已知数据建立数学模型的方法：
①画出散点图．
②根据点的分布特征选择适当的函数模型．
③用待定系数法求函数模型．
(2)根据散点图选择恰当的数学模型的方法(如下图)：
①相邻散点之间的距离变化越来越大时，如上图①，常选y＝bax＋c模型．
②相邻散点之间的距离越来越近似相等，如上图②，常选y＝blogax＋c模型．
③散点先升后降或先降后升，如上图③，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c模型．
④相邻散点之间等距，如上图④，常选一次函数y＝kx＋b模型．
