高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的线性运算课后测试
一、单选题
1．（2020高三上·北京月考）如图，向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】如图：
设 ， ，则 ，
故答案为：C
【分析】由向量的加减的三角法则算即可得出答案。
2．（2020高二上·嘉定期中）已知 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（ ）.
① ；② ；
③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：① 可以推出 ，但 只能推出 的方向不一定相同，所以①中等价推出关系不成立.②设 的夹角为 的夹角为 ， ，
当 ， 时，则 ；反之，由 也推不出 .
所以②中等价推出关系不成立.③当 时，将向量 的起点确定在同一点，则以向量 为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即 .
反之，若 ，则以 为邻边的四边形为矩形，
即 .所以③中等价推出关系成立.④设 的夹角为 ， ，则 或 .
所以④中等价推出关系成立.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积公式 和向量加减法的几何意义即可判断.
3．（2020高二上·上海期中）若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知 ＝ - ，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由向量减法运算的“三角形”法则对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2020高三上·咸阳月考）设 是两个不共线的向量，且 与 共线，则实数λ＝（ ）
A．－1 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】由 共线，知： ， 为实数，
∴ ，即 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合共线定理的判断方法，进而结合两向量相等判断方法，从而解方程组求出的值。
5．（2020高三上·德州月考）如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， ， 为 的中点，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得答案。
6．（2020高三上·通榆期中）如图，在正方形 中， 是线段 上的一动点， 交 于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】取向量 ， 作为一组基底，则有 ， .因为向量 与 共线，所以 ，即 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，从而求出的值。
7．（2020高三上·广东月考）已知平行四边形 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图所示，
为 ， ，
所以 ，
又 ，
.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的结构特征，结合共线定理和三角形法则，利用平面向量基本定理即可表示出向量.
8．（2020高二上·重庆月考）如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】平行四边形 中， ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可得.
二、多选题
9．（2020高一下·南平期末）设 ， 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若存在实数 ，使得 ，则
【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：对于A，当 时， ，
得 ，
因为 ， 是两个非零向量，所以 ， 共线反向，所以A不符合题意，B符合题意；
对于C，当 时， ，
得 ，所以 ，所以C符合题意；
对于D，由A的判断可知，当 时成立，而 时，不成立，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可.
10．（2020高三上·海口月考）如图，在梯形 中， ， ， 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】A. ，所以A符合题意；
B. 正确，所以B符合题意；
C. ，所以 ，即 ，所以 ，所以C符合题意；
D. ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】由条件可知， ，所以 ，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.
11．（2020高三上·丹东月考）已知 是边长为2的等边三角形， 是 上的点， ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】向量的几何表示；向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，即选项 正确；
设 ，则点 ， ，
、 、 三点共线，
不妨设 ，即 ， ， ，
，解得 ， ，
， ，即点 为 的中点，故 正确；
为等边三角形，且 为 的中点， ，即 ，故 错误；
为 的中点， 为 的中点，
， ，
，即选项 正确．
故答案为：ACD．
【分析】首先建立平面直角坐标系求出各个点的坐标，结合向量的加减运算以及向量的坐标表示数量积、模长对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高二下·海安月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．
三、填空题
13．（2020高二上·泉州期中）化简 .
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】 ，
故答案为： 。
【分析】利用三角形法则化简求值。
14．（2020高二上·天津月考）设 ， 是空间两个不共线的向量，已知 ， ， ，且 ， ， 三点共线，实数 ．
【答案】1
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量 和 共线，故存在实数 ，使 ，
由题意可得 ，
即 ，
故可得 ，解得 ，
故 .
故答案为：1.
【分析】由题意可得向量 和 共线，存在实数 ，使 ，可得关于k， 的方程组，进行求解即可.
15．（2020高一下·天津期末）已知 ， 是两个不共线的向量， ， .若 与 是共线向量，则实数 的值为 .
【答案】-4
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】∵ 与 是共线向量，∴存在实数 ，使得 ，即 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：－4．
【分析】根据向量共线定理求解．
16．（2020高三上·红桥期中）如图，已知 是边长为 的等边三角形，点 、 分别是边 、 的中点，连结 并延长到点 ，使得 ，则 的值为
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，点 、 分别是边 、 的中点，
所以 ，
因此 ，
又 ， 是边长为 的等边三角形，
所以
.
故答案为：
【分析】先由题意，得到 ，推出 ，再由 ，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
四、解答题
17．（2020高一下·北京期中）如图所示，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 的中点，已知 ，试用 表示
【答案】解： ，
解得
所以 ，
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，用 ， 表示出 ， ，解方程组即可得到答案.
18．（2020高一下·海淀期中）如图所示，已知 ， ， ， ， ， ，试用 、 、 、 、 、 表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点 的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.
19．（2020高一下·温州期中）如图，在 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 ， .
（1）用 表示向量 ， ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：因为点A是BC的中点，所以 ，所以 ，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以 ，
所以 .
（2）解：因为C，E，D三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
又 ， ，所以 ，
又 不共线，则 ，解得 .
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则结合平面向量基本定理可得 表示 ；(2)根据向量关系的条件建立方程关系，可求出实数 的值.
20．（2020高一下·忻州期中）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 .
（1）用向量 与 表示向量 ；
（2）若 ，求证：C，D，E三点共线.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
.
（2）解：
，
∴ 与 平行，
又∵ 与 有共同点C，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出 ， ，即可用 、 表示；（2）由 ，只需找到 与 的关系，即可得证.
21．（2020高一下·陕西月考）设 ， 是两个不共线向量，知 ， ， ．
（1）证明： 、 、 三点共线
（2）若 ，且 、 、 三点共线，求 的值.
【答案】（1）证明：
，
与 有公共点，
、 、 三点共线
（2）解： 、 、 三点共线，
存在实数 ，使 ，
，
又 不共线， ，
解得 ， ．
【知识点】平面向量的共线定理；三点共线
【解析】【分析】（1）先求出 ，只要证明存在实数 ，使得 即可；（2）利用向量共线定理即可得出．
22．（2020高一上·黄山期末）如图，已知 ， 分别为边 上的点，且 ， 与 交于 ，设存在 和 使 .
（1）求 和 的值；
（2）用 表示 .
【答案】（1）解：由于 ，则 ， ， ，
， ，
①， ②
由①②得 ，
（2）解：
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的线性运算
【解析】【分析】（1）用 ， 作为基底表示出向量 ， ，根据向量相等得到方程组，即可解得；（2）根据向量加法运算法则，计算可得.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的线性运算课后测试
一、单选题
1．（2020高三上·北京月考）如图，向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·嘉定期中）已知 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（ ）.
① ；② ；
③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020高二上·上海期中）若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高三上·咸阳月考）设 是两个不共线的向量，且 与 共线，则实数λ＝（ ）
A．－1 B．3 C． D．
5．（2020高三上·德州月考）如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， ， 为 的中点，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020高三上·通榆期中）如图，在正方形 中， 是线段 上的一动点， 交 于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2020高三上·广东月考）已知平行四边形 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高二上·重庆月考）如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2020高一下·南平期末）设 ， 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若存在实数 ，使得 ，则
10．（2020高三上·海口月考）如图，在梯形 中， ， ， 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020高三上·丹东月考）已知 是边长为2的等边三角形， 是 上的点， ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高二下·海安月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2020高二上·泉州期中）化简 .
14．（2020高二上·天津月考）设 ， 是空间两个不共线的向量，已知 ， ， ，且 ， ， 三点共线，实数 ．
15．（2020高一下·天津期末）已知 ， 是两个不共线的向量， ， .若 与 是共线向量，则实数 的值为 .
16．（2020高三上·红桥期中）如图，已知 是边长为 的等边三角形，点 、 分别是边 、 的中点，连结 并延长到点 ，使得 ，则 的值为
四、解答题
17．（2020高一下·北京期中）如图所示，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 的中点，已知 ，试用 表示
18．（2020高一下·海淀期中）如图所示，已知 ， ， ， ， ， ，试用 、 、 、 、 、 表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
19．（2020高一下·温州期中）如图，在 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 ， .
（1）用 表示向量 ， ；
（2）若 ，求 的值.
20．（2020高一下·忻州期中）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 .
（1）用向量 与 表示向量 ；
（2）若 ，求证：C，D，E三点共线.
21．（2020高一下·陕西月考）设 ， 是两个不共线向量，知 ， ， ．
（1）证明： 、 、 三点共线
（2）若 ，且 、 、 三点共线，求 的值.
22．（2020高一上·黄山期末）如图，已知 ， 分别为边 上的点，且 ， 与 交于 ，设存在 和 使 .
（1）求 和 的值；
（2）用 表示 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】如图：
设 ， ，则 ，
故答案为：C
【分析】由向量的加减的三角法则算即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：① 可以推出 ，但 只能推出 的方向不一定相同，所以①中等价推出关系不成立.②设 的夹角为 的夹角为 ， ，
当 ， 时，则 ；反之，由 也推不出 .
所以②中等价推出关系不成立.③当 时，将向量 的起点确定在同一点，则以向量 为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即 .
反之，若 ，则以 为邻边的四边形为矩形，
即 .所以③中等价推出关系成立.④设 的夹角为 ， ，则 或 .
所以④中等价推出关系成立.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积公式 和向量加减法的几何意义即可判断.
3．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知 ＝ - ，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由向量减法运算的“三角形”法则对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】由 共线，知： ， 为实数，
∴ ，即 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合共线定理的判断方法，进而结合两向量相等判断方法，从而解方程组求出的值。
5．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得答案。
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】取向量 ， 作为一组基底，则有 ， .因为向量 与 共线，所以 ，即 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，从而求出的值。
7．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图所示，
为 ， ，
所以 ，
又 ，
.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的结构特征，结合共线定理和三角形法则，利用平面向量基本定理即可表示出向量.
8．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】平行四边形 中， ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可得.
9．【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：对于A，当 时， ，
得 ，
因为 ， 是两个非零向量，所以 ， 共线反向，所以A不符合题意，B符合题意；
对于C，当 时， ，
得 ，所以 ，所以C符合题意；
对于D，由A的判断可知，当 时成立，而 时，不成立，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】A. ，所以A符合题意；
B. 正确，所以B符合题意；
C. ，所以 ，即 ，所以 ，所以C符合题意；
D. ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】由条件可知， ，所以 ，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】向量的几何表示；向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，即选项 正确；
设 ，则点 ， ，
、 、 三点共线，
不妨设 ，即 ， ， ，
，解得 ， ，
， ，即点 为 的中点，故 正确；
为等边三角形，且 为 的中点， ，即 ，故 错误；
为 的中点， 为 的中点，
， ，
，即选项 正确．
故答案为：ACD．
【分析】首先建立平面直角坐标系求出各个点的坐标，结合向量的加减运算以及向量的坐标表示数量积、模长对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,B,C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．
13．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】 ，
故答案为： 。
【分析】利用三角形法则化简求值。
14．【答案】1
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量 和 共线，故存在实数 ，使 ，
由题意可得 ，
即 ，
故可得 ，解得 ，
故 .
故答案为：1.
【分析】由题意可得向量 和 共线，存在实数 ，使 ，可得关于k， 的方程组，进行求解即可.
15．【答案】-4
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】∵ 与 是共线向量，∴存在实数 ，使得 ，即 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：－4．
【分析】根据向量共线定理求解．
16．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，点 、 分别是边 、 的中点，
所以 ，
因此 ，
又 ， 是边长为 的等边三角形，
所以
.
故答案为：
【分析】先由题意，得到 ，推出 ，再由 ，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
17．【答案】解： ，
解得
所以 ，
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，用 ， 表示出 ， ，解方程组即可得到答案.
18．【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点 的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.
19．【答案】（1）解：因为点A是BC的中点，所以 ，所以 ，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以 ，
所以 .
（2）解：因为C，E，D三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
又 ， ，所以 ，
又 不共线，则 ，解得 .
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则结合平面向量基本定理可得 表示 ；(2)根据向量关系的条件建立方程关系，可求出实数 的值.
20．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
.
（2）解：
，
∴ 与 平行，
又∵ 与 有共同点C，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出 ， ，即可用 、 表示；（2）由 ，只需找到 与 的关系，即可得证.
21．【答案】（1）证明：
，
与 有公共点，
、 、 三点共线
（2）解： 、 、 三点共线，
存在实数 ，使 ，
，
又 不共线， ，
解得 ， ．
【知识点】平面向量的共线定理；三点共线
【解析】【分析】（1）先求出 ，只要证明存在实数 ，使得 即可；（2）利用向量共线定理即可得出．
22．【答案】（1）解：由于 ，则 ， ， ，
， ，
①， ②
由①②得 ，
（2）解：
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的线性运算
【解析】【分析】（1）用 ， 作为基底表示出向量 ， ，根据向量相等得到方程组，即可解得；（2）根据向量加法运算法则，计算可得.
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