2022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数
一、单选题
1．（2022·浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到的图象.
故答案为：D
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
2．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
3．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： ，
即： ，
即： ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
4．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
5．（2022·全国甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
6．（2022·全国甲卷）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：因为，因为当，sinx所以 ，即， 所以c>b ；
设，
f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，
则， 所以 ，
所以b>a， 所以c>b>a ，
故选：A
【分析】由结合三角函数的性质可得c>b；构造函数，利用导数可得b>a，即可得解.
7．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
8．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
9．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
10．（2022·浙江学考）已知α∈R，则cos（π-α）=（）
A．sinα B．-sinα C．cosα D．-cosα
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
11．（2022·浙江学考）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 中的 替换为 ，可得到函数 ，
因此对应的图象向右平移移 个单位长度， 可以将函数y=cosx的图象变为函数 的图象。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
二、多选题
12．（2022·新高考Ⅱ卷）函数 的图象以 中心对称，则（ ）
A． 在 单调递减
B． 在 有2个极值点
C．直线 是一条对称轴
D．直线 是一条切线
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对于A：当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对于B：当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对于C：当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对于D：由 得： ，
解得 或 ，
从而得： 或 ，
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故答案为：AD
【分析】先根据已知条件求出 的值，从而求得函数得解析式 ，再根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可得解．
三、填空题
13．（2022·浙江）若 ，则 ， ．
【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】∵，利用诱导公式可得，
变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，
解得，，
．
故答案为：；
【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，最后根据余弦的二倍角公式即可求的值．
14．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
15．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
16．（2022·上海）已知 ，则
【答案】-2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：-2
【分析】根据和角的正切公式求解即可.
四、解答题
17．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
【答案】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，∴ ，
∴ 的最小正周期
【知识点】函数的值；三角函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数
一、单选题
1．（2022·浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国甲卷）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
9．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
10．（2022·浙江学考）已知α∈R，则cos（π-α）=（）
A．sinα B．-sinα C．cosα D．-cosα
11．（2022·浙江学考）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
二、多选题
12．（2022·新高考Ⅱ卷）函数 的图象以 中心对称，则（ ）
A． 在 单调递减
B． 在 有2个极值点
C．直线 是一条对称轴
D．直线 是一条切线
三、填空题
13．（2022·浙江）若 ，则 ， ．
14．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
15．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
16．（2022·上海）已知 ，则
四、解答题
17．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到的图象.
故答案为：D
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： ，
即： ，
即： ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：因为，因为当，sinx所以 ，即， 所以c>b ；
设，
f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，
则， 所以 ，
所以b>a， 所以c>b>a ，
故选：A
【分析】由结合三角函数的性质可得c>b；构造函数，利用导数可得b>a，即可得解.
7．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
9．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
10．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
11．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 中的 替换为 ，可得到函数 ，
因此对应的图象向右平移移 个单位长度， 可以将函数y=cosx的图象变为函数 的图象。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对于A：当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对于B：当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对于C：当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对于D：由 得： ，
解得 或 ，
从而得： 或 ，
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故答案为：AD
【分析】先根据已知条件求出 的值，从而求得函数得解析式 ，再根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可得解．
13．【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】∵，利用诱导公式可得，
变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，
解得，，
．
故答案为：；
【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，最后根据余弦的二倍角公式即可求的值．
14．【答案】3
【知识点】余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
15．【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
16．【答案】-2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：-2
【分析】根据和角的正切公式求解即可.
17．【答案】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，∴ ，
∴ 的最小正周期
【知识点】函数的值；三角函数的周期性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
1 / 1
