2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何
一、单选题
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
6．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江学考）已知圆M的方程为 ，则圆心M的坐标是（ ）
A．（ ，2） B．（1，2）
C．（1， ） D．（ ， ）
8．（2022·浙江学考）设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、多选题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
11．（2022·浙江）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 ．
12．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为 ．
13．（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆 存在公共点，则实数a的取值范围为 ．
14．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
15．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 ．
16．（2022·全国甲卷）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
17．（2022·全国乙卷）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
18．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
19．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是 ．
21．（2022·浙江学考）设椭圆 的左 右焦点分别为 .已知点 ，线段 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 ，则该椭圆的离心率为 .
22．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是
四、解答题
23．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
24．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
25．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
26．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
27．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
28．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
29．（2022·浙江学考）如图，已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2.
（1）求p的值；
（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 时，求直线l的方程.
30．（2022·上海）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得，再根据，将y1用x1表示，化简求得，再结合离心率公式即可得解.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
3．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】易知抛物线的焦点为 ，则 ，
即点A到准线 的距离为2，所以点A的横坐标为1，
不妨设点A在x轴上方，代入得， ，
所以
故选：B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
此外，除官方给出答案外，还存在另一种切线与双曲线交于同一支的情况(以下只给出解析过程，目前暂未发现官方给出说明，故单选题题型与答案暂不更改)
如图所示，当切线与双曲线交于同一侧时，过点F2作F2⊥MN，由(1)得，OG1=a，易得F2H=2a，
又∵，
∴，
解得NF2=，
由，
∴NF1=，
在△NF1F2中，由余弦定理得
，
整理得：，
∴，故A选项亦正确，
故选：C(A选项亦正确).
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
6．【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
7．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 的圆心坐标为 ；
的圆心坐标为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。
8．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】因为 ，
所以P点的轨迹是双曲线。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。
9．【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
11．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，
由于 且 ，则点B在渐近线上，不妨设，
设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即则
∴，
又，则，
又，则，则，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程化简可得
所以
故答案为：
【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而可求离心率．
12．【答案】
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：记 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
【分析】记 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，结合已知条件求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可求得直线方程.
13．【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 关于 对称点的坐标为 ， 在直线 上，所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；根据圆方程可得圆心 ，半径 ，
依题意知圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线为 ，即x±my=0，不妨取x+my=0，
圆，即x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径r=1，
依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离 ，
解得或（舍去）．
故答案为： ．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵点M在直线 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ， ，
则的方程为 .
故答案为：
【分析】设出点M的坐标，利用点 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
16．【答案】2（满足 皆可）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 ，
所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
所以，
又因为e>1，所以 ，
故答案为：2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
17．【答案】 或 或 或
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为 ，
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或 .
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，列方程组，求解即可.
18．【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
19．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
20．【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
21．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知 ，又 ， ，
由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，
，把点P代入椭圆方程中得 。
故答案为： 。
【分析】根据椭圆定义知 ，再利用 ，得出 ，由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，再利用椭圆标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点的位置，进而得出焦点坐标，从而结合中点坐标公式得出点P的坐标，将点P代入椭圆方程中得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
22．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
23．【答案】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则
等号在 时取到.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）设直线，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，再分别联立直线与直线，求得，，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．
24．【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
25．【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
26．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
27．【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
28．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
29．【答案】（1）抛物线C： 焦点为 ，准线为 ，∴焦点到准线间的距离为 ，由已知得抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，
∴ ；
（2）由（1）可得抛物线的方程为 ，焦点 ，
显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程整理得 ，
设 ，则
，
，
由 ，得 ，解得 ，
∴直线l的方程为 或 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。
（2） 由（1）得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标 ，显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 再利用三角形的面积公式得出 ，再结合抛物线的定义和两点距离公式，进而得出 ，由 ，得出m的值，进而得出直线l的方程。
30．【答案】（1）由题意知，∵ ∠AFB ，
∴在Rt△BOF中，BF=2OB，即a=2b=2
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意知A(-a，0)，B(0，-1)，C(a，2)，D(a，1)，
则直线BC：
直线AD：
则由得交点为，符合椭圆 ，故交点在椭圆上；
（3）设P为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)，
则，
则直线BP：，
∴点，
同理可得，设Q为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a，0)，
则，
则直线AQ：，
∴点，
∴
设，则
∵
∴
∴|CD|≥6
即|CD|的最小值为6
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；
(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；
(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何
一、单选题
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得，再根据，将y1用x1表示，化简求得，再结合离心率公式即可得解.
2．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
3．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】易知抛物线的焦点为 ，则 ，
即点A到准线 的距离为2，所以点A的横坐标为1，
不妨设点A在x轴上方，代入得， ，
所以
故选：B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
4．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
此外，除官方给出答案外，还存在另一种切线与双曲线交于同一支的情况(以下只给出解析过程，目前暂未发现官方给出说明，故单选题题型与答案暂不更改)
如图所示，当切线与双曲线交于同一侧时，过点F2作F2⊥MN，由(1)得，OG1=a，易得F2H=2a，
又∵，
∴，
解得NF2=，
由，
∴NF1=，
在△NF1F2中，由余弦定理得
，
整理得：，
∴，故A选项亦正确，
故选：C(A选项亦正确).
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
5．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
6．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
7．（2022·浙江学考）已知圆M的方程为 ，则圆心M的坐标是（ ）
A．（ ，2） B．（1，2）
C．（1， ） D．（ ， ）
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 的圆心坐标为 ；
的圆心坐标为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。
8．（2022·浙江学考）设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】因为 ，
所以P点的轨迹是双曲线。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。
二、多选题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
三、填空题
11．（2022·浙江）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，
由于 且 ，则点B在渐近线上，不妨设，
设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即则
∴，
又，则，
又，则，则，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程化简可得
所以
故答案为：
【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而可求离心率．
12．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：记 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
【分析】记 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，结合已知条件求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可求得直线方程.
13．（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆 存在公共点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 关于 对称点的坐标为 ， 在直线 上，所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；根据圆方程可得圆心 ，半径 ，
依题意知圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.
14．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线为 ，即x±my=0，不妨取x+my=0，
圆，即x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径r=1，
依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离 ，
解得或（舍去）．
故答案为： ．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
15．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵点M在直线 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ， ，
则的方程为 .
故答案为：
【分析】设出点M的坐标，利用点 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
16．（2022·全国甲卷）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 ，
所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
所以，
又因为e>1，所以 ，
故答案为：2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
17．（2022·全国乙卷）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为 ，
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或 .
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，列方程组，求解即可.
18．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
19．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是 ．
【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
21．（2022·浙江学考）设椭圆 的左 右焦点分别为 .已知点 ，线段 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 ，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知 ，又 ， ，
由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，
，把点P代入椭圆方程中得 。
故答案为： 。
【分析】根据椭圆定义知 ，再利用 ，得出 ，由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，再利用椭圆标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点的位置，进而得出焦点坐标，从而结合中点坐标公式得出点P的坐标，将点P代入椭圆方程中得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
22．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
四、解答题
23．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则
等号在 时取到.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）设直线，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，再分别联立直线与直线，求得，，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．
24．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
25．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
26．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
27．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
28．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
29．（2022·浙江学考）如图，已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2.
（1）求p的值；
（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 时，求直线l的方程.
【答案】（1）抛物线C： 焦点为 ，准线为 ，∴焦点到准线间的距离为 ，由已知得抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，
∴ ；
（2）由（1）可得抛物线的方程为 ，焦点 ，
显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程整理得 ，
设 ，则
，
，
由 ，得 ，解得 ，
∴直线l的方程为 或 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。
（2） 由（1）得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标 ，显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 再利用三角形的面积公式得出 ，再结合抛物线的定义和两点距离公式，进而得出 ，由 ，得出m的值，进而得出直线l的方程。
30．（2022·上海）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
【答案】（1）由题意知，∵ ∠AFB ，
∴在Rt△BOF中，BF=2OB，即a=2b=2
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意知A(-a，0)，B(0，-1)，C(a，2)，D(a，1)，
则直线BC：
直线AD：
则由得交点为，符合椭圆 ，故交点在椭圆上；
（3）设P为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)，
则，
则直线BP：，
∴点，
同理可得，设Q为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a，0)，
则，
则直线AQ：，
∴点，
∴
设，则
∵
∴
∴|CD|≥6
即|CD|的最小值为6
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；
(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；
(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.
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