2022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲
一、单选题
1．（2022·浙江）已知 ，若对任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2022·全国甲卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
3．（2022·全国乙卷）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
4．（2022·全国甲卷）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
5．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣3≥0，显然a≠0，且b≠4，
观察选项可知，只有选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】绝对值不等式的解法：取特值，结合选项直接得出答案．
2．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 ．
（2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 为 ， ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
3．【答案】（1）解：因 l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
（2）解：联立l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以
m的取值范围为 .
【知识点】二次函数的性质；简单曲线的极坐标方程；参数的意义
【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新元a的取值范围求解m的范围即可.
4．【答案】（1）证明：由柯西不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
所以
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
【知识点】一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证.
5．【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲
一、单选题
1．（2022·浙江）已知 ，若对任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣3≥0，显然a≠0，且b≠4，
观察选项可知，只有选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】绝对值不等式的解法：取特值，结合选项直接得出答案．
二、解答题
2．（2022·全国甲卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 ．
（2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 为 ， ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
3．（2022·全国乙卷）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：因 l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
（2）解：联立l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以
m的取值范围为 .
【知识点】二次函数的性质；简单曲线的极坐标方程；参数的意义
【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新元a的取值范围求解m的范围即可.
4．（2022·全国甲卷）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
【答案】（1）证明：由柯西不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
所以
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
【知识点】一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证.
5．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
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