登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 第1节空间向量及其运算测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·广东月考）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二下·嫩江月考）如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2021高二上·长春月考）下列说法错误的是（ ）
A．设 是两个空间向量，则 一定共面
B．设 是两个空间向量，则
C．设 是三个空间向量，则 一定不共面
D．设 是三个空间向量，则
6．（2021高二上·鸡东期中）已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且 ，则实数x的值为( )
A． B． C． D．
7．（2021高二上·肥城期中）已知 三点不共线， 为平面 外一点，若由 确定的点 与 共面，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2021高二上·山东月考）在下列四个命题中：
①若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；②向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；③直线的一个方向向量为；④若存在不全为0的实数使得，则共面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2021高二上·山东月考）已知不共线的两个向量 、 ，若 、 、 ，则（ ）
A． 、 共线 B． 、 、 共面
C． 、 、 共线 D． 、 共线
11．（2020高二上·溧阳期末）如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2021高二上·白云期末）下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
13．（2021高二上·重庆期中）已知正四棱锥 的侧棱长是底面边长的 倍， 为底面中心， 是 的中点， ，则（ ）
A．异面直线 ， 所成角的余弦值为
B．
C．异面直线 ， 所成角的余弦值为
D．
三、填空题
14．（2022高二下·金坛期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为 .
15．（2021高二上·湖北月考）直三棱柱 ， ，M N分别是 的中点， ，则 与 所成的角的正弦值为 .
16．（2021高二上·安徽月考）在正四棱柱 中， ，点 是线段 上一点，记 ，当 为钝角时，实数 的取值范围是 .
17．（2021高二上·砀山月考）如图，在正方体 中，点 为线段 上的动点， 分别为棱 的中点，若 平面 ，则 ．
四、解答题
18．（2022高二下·成都期中）已知空间三点，，.
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若A，B，C，D四点共面，求的值
19．（2021高二上·湖州期中）如图，在平行六面体 中， ， .
求：(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 的长.
20．（2021高二下·浙江期末）如图，菱形 与正三角形 所在平面互相垂直， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故答案为：C
【分析】如图，延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，结合已知条件可得，即可确定P为重心，从而得到，即可求解。
3．【答案】D
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
解：建立如图所示坐标系,
则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
故 （1，0，0）， （ 1， 1，1），
则 .
故答案为：B．
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得两向量的坐标，利用空间向量的数量积的坐标运算公式计算即得所求．
5．【答案】C
【知识点】空间向量的概念；共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 对于A， 设 是两个空间向量，因为向量可以平移，则 一定共面 ，正确；
对于B， 设 是两个空间向量，因为向量的数量积满足交换律，则 正确；
对于C，设 是三个空间向量，则 可能共面，可能不共面，故C错误；
对于D，设是三个空间向量，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律，则 ，D正确，
故答案为：C
【分析】由向量的平移可判断A，C ；由向量数量积满足交换律 分配律可判断B，D .
6．【答案】A
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：根据空间向量共面定理，因为空间A、B、C、D四点共面，且 ，则，解得.
故答案为：A
【分析】根据空间向量共面定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】由点 与 共面，且 ，
可得 ，解得： ，
故答案为：B.
【分析】 由空间向量的共面定理列式，求解即可求出 的值 .
8．【答案】B
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
9．【答案】C
【知识点】异面直线的判定；共线向量与共面向量；平面的法向量；直线的向量方程
【解析】【解答】对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
对于②，当与的夹角为钝角时，可得，且与不共线，若，则，得，若与共线，则，得，所以当与的夹角为钝角时，且，所以②错误，
对于③，直线可化为，所以直线的一个方向向量为，所以③正确，
对于④，由于实数不全为零，所以不妨设，则由，可得，所以由共面向量定理可知共面，所以④共面，
故答案为：C
【分析】由异面直线的定义结合向量共面的定义，即可判断出①错误；由数量积的坐标运算性质，结合题意即可判断出②错误；利用直线的方向向量的定义，即可得出答案，由此判断出③正确；利用共面向量定理，结合题意即可判断出④共面；由此即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：结合向量共线定理可知 、 不共线；A不符合题意；B：设 ，因为 、 、 ，故 ，即 ，解得 ，故 、 、 共面，B符合题意；
C：结合向量共线定理可知 、 不共线， 、 不共线， 、 不共线；C不符合题意；
D：结合向量共线定理可知 、 不共线；D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、共面向量的判断方法，从而找出正确的选项。
11．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】在正方体 中以 分别为 轴建立空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2,
则 , ,
所以 , ,
设平面 的一个法向量为
则 即 ，取 ，则
设 与平面 所成角为 ，则
故答案为：D
【分析】根据题意由正方体的几何性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角的关系把数值代入到夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。
12．【答案】A,C
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，A符合题意；
对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，B不符合题意；
对于C：因为是两个空间向量，则，C符合题意；
对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】根据题意由空间向量共线的性质定理以及数量积的运算性质，对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】B,C,D
【知识点】数量积的坐标表达式；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】 正四棱锥 四边形 为正方形
正四棱锥 的侧棱长是底面边长的 倍 ,B符合题意；
正四棱锥 平面
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
在 中， ， ， ，D符合题意；
由题意 ， ， ， ， ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ,C符合题意；
故答案为：BCD
【分析】首先由正四棱锥的几何性质，结合三角形中的几何计算关系以及勾股定理计算出线线垂直，从而得出边之间的关系，由此即可判断出选项B、D正确；根据题意即可空间直角坐标系，由此求出点和向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出异面直线所成角的余弦值，由此即可求出异面直线所成的角，由此即可判断出选项A错误，C正确；由此即可得出答案。
14．【答案】0
【知识点】向量的共线定理；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为，则，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案为：0.
【分析】根据题意由向量的线性运算整理化简已知条件，由此计算出x、y、z的取值从而得出答案。
15．【答案】1
【知识点】数量积的坐标表达式；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 与 所成的角的正弦值为1。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而推出，再利用异面直线所成的角的求解方法结合正弦函数的定义，从而求出 与 所成的角的正弦值。
16．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ，
由 得点： ， ， ， 为钝角且 和 不共线， ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值整理化简得到的取值范围即可。
17．【答案】
【知识点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】解：建立恰当的空间直角坐标系，如图所示，
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，M(1,2,0)，N(2,1,0)，
设 ，可得
可得
可得
设平面B1MN法向量为，
可得得 x=-2z，y=-2z，
令x=-2，可得
由于DP//平面B1MN，
则
可得-4λ-4λ+2-2λ=0，
解得λ=
故答案为：
【分析】根据平行向量的充要条件，结合利用向量法判定直线与平面平行求解即可.
18．【答案】（1）解：由已知，得：
，，
∴，
∴
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
（2）解：由，得：
∵A，B，C，D四点共面
∴存在实数，，使得
∴，即得：
解得：，，∴
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；数量积表示两个向量的夹角；共线向量与共面向量
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求向量夹角公式，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦值，再利用平行四边形的面积公式，进而得出以AB，AC为邻边的平行四边形的面积。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示和四点共面的判断方法，进而得出存在实数，，使得，再利用向量的坐标运算和向量相等的等价关系，进而得出实数x的值。
19．【答案】解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
，所以
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据空间向量数量积的定义求解即可；
(2) 由 ，利用空间向量数量积的运算法则求解即可.
20．【答案】（1）证明：取线段 中点 ，连 ， ，
因为G、H分别为FC、DF中点，
所以 ，且 ，
又E为AB中点， ，
所以 ， ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为E为AB中点，所以 ，所以 ，
过 作平面 的垂线为 轴，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设菱形边长为2，则 ，取DE中点O，连接FO，
所以 ，即正三角形 高为 ，
由已知平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形，进而得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即为线面角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 第1节空间向量及其运算测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．（2022高二下·广东月考）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故答案为：C
【分析】如图，延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，结合已知条件可得，即可确定P为重心，从而得到，即可求解。
3．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
4．（2022高二下·嫩江月考）如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
解：建立如图所示坐标系,
则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
故 （1，0，0）， （ 1， 1，1），
则 .
故答案为：B．
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得两向量的坐标，利用空间向量的数量积的坐标运算公式计算即得所求．
5．（2021高二上·长春月考）下列说法错误的是（ ）
A．设 是两个空间向量，则 一定共面
B．设 是两个空间向量，则
C．设 是三个空间向量，则 一定不共面
D．设 是三个空间向量，则
【答案】C
【知识点】空间向量的概念；共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 对于A， 设 是两个空间向量，因为向量可以平移，则 一定共面 ，正确；
对于B， 设 是两个空间向量，因为向量的数量积满足交换律，则 正确；
对于C，设 是三个空间向量，则 可能共面，可能不共面，故C错误；
对于D，设是三个空间向量，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律，则 ，D正确，
故答案为：C
【分析】由向量的平移可判断A，C ；由向量数量积满足交换律 分配律可判断B，D .
6．（2021高二上·鸡东期中）已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且 ，则实数x的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：根据空间向量共面定理，因为空间A、B、C、D四点共面，且 ，则，解得.
故答案为：A
【分析】根据空间向量共面定理求解即可.
7．（2021高二上·肥城期中）已知 三点不共线， 为平面 外一点，若由 确定的点 与 共面，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】由点 与 共面，且 ，
可得 ，解得： ，
故答案为：B.
【分析】 由空间向量的共面定理列式，求解即可求出 的值 .
8．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
9．（2021高二上·山东月考）在下列四个命题中：
①若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；②向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；③直线的一个方向向量为；④若存在不全为0的实数使得，则共面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】异面直线的判定；共线向量与共面向量；平面的法向量；直线的向量方程
【解析】【解答】对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
对于②，当与的夹角为钝角时，可得，且与不共线，若，则，得，若与共线，则，得，所以当与的夹角为钝角时，且，所以②错误，
对于③，直线可化为，所以直线的一个方向向量为，所以③正确，
对于④，由于实数不全为零，所以不妨设，则由，可得，所以由共面向量定理可知共面，所以④共面，
故答案为：C
【分析】由异面直线的定义结合向量共面的定义，即可判断出①错误；由数量积的坐标运算性质，结合题意即可判断出②错误；利用直线的方向向量的定义，即可得出答案，由此判断出③正确；利用共面向量定理，结合题意即可判断出④共面；由此即可得出答案。
10．（2021高二上·山东月考）已知不共线的两个向量 、 ，若 、 、 ，则（ ）
A． 、 共线 B． 、 、 共面
C． 、 、 共线 D． 、 共线
【答案】B
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：结合向量共线定理可知 、 不共线；A不符合题意；B：设 ，因为 、 、 ，故 ，即 ，解得 ，故 、 、 共面，B符合题意；
C：结合向量共线定理可知 、 不共线， 、 不共线， 、 不共线；C不符合题意；
D：结合向量共线定理可知 、 不共线；D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、共面向量的判断方法，从而找出正确的选项。
11．（2020高二上·溧阳期末）如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】在正方体 中以 分别为 轴建立空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2,
则 , ,
所以 , ,
设平面 的一个法向量为
则 即 ，取 ，则
设 与平面 所成角为 ，则
故答案为：D
【分析】根据题意由正方体的几何性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角的关系把数值代入到夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。
二、多选题
12．（2021高二上·白云期末）下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
【答案】A,C
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，A符合题意；
对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，B不符合题意；
对于C：因为是两个空间向量，则，C符合题意；
对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】根据题意由空间向量共线的性质定理以及数量积的运算性质，对选项逐一判断即可得出答案。
13．（2021高二上·重庆期中）已知正四棱锥 的侧棱长是底面边长的 倍， 为底面中心， 是 的中点， ，则（ ）
A．异面直线 ， 所成角的余弦值为
B．
C．异面直线 ， 所成角的余弦值为
D．
【答案】B,C,D
【知识点】数量积的坐标表达式；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】 正四棱锥 四边形 为正方形
正四棱锥 的侧棱长是底面边长的 倍 ,B符合题意；
正四棱锥 平面
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
在 中， ， ， ，D符合题意；
由题意 ， ， ， ， ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ,C符合题意；
故答案为：BCD
【分析】首先由正四棱锥的几何性质，结合三角形中的几何计算关系以及勾股定理计算出线线垂直，从而得出边之间的关系，由此即可判断出选项B、D正确；根据题意即可空间直角坐标系，由此求出点和向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出异面直线所成角的余弦值，由此即可求出异面直线所成的角，由此即可判断出选项A错误，C正确；由此即可得出答案。
三、填空题
14．（2022高二下·金坛期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为 .
【答案】0
【知识点】向量的共线定理；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为，则，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案为：0.
【分析】根据题意由向量的线性运算整理化简已知条件，由此计算出x、y、z的取值从而得出答案。
15．（2021高二上·湖北月考）直三棱柱 ， ，M N分别是 的中点， ，则 与 所成的角的正弦值为 .
【答案】1
【知识点】数量积的坐标表达式；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 与 所成的角的正弦值为1。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而推出，再利用异面直线所成的角的求解方法结合正弦函数的定义，从而求出 与 所成的角的正弦值。
16．（2021高二上·安徽月考）在正四棱柱 中， ，点 是线段 上一点，记 ，当 为钝角时，实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ，
由 得点： ， ， ， 为钝角且 和 不共线， ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值整理化简得到的取值范围即可。
17．（2021高二上·砀山月考）如图，在正方体 中，点 为线段 上的动点， 分别为棱 的中点，若 平面 ，则 ．
【答案】
【知识点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】解：建立恰当的空间直角坐标系，如图所示，
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，M(1,2,0)，N(2,1,0)，
设 ，可得
可得
可得
设平面B1MN法向量为，
可得得 x=-2z，y=-2z，
令x=-2，可得
由于DP//平面B1MN，
则
可得-4λ-4λ+2-2λ=0，
解得λ=
故答案为：
【分析】根据平行向量的充要条件，结合利用向量法判定直线与平面平行求解即可.
四、解答题
18．（2022高二下·成都期中）已知空间三点，，.
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若A，B，C，D四点共面，求的值
【答案】（1）解：由已知，得：
，，
∴，
∴
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
（2）解：由，得：
∵A，B，C，D四点共面
∴存在实数，，使得
∴，即得：
解得：，，∴
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；数量积表示两个向量的夹角；共线向量与共面向量
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求向量夹角公式，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦值，再利用平行四边形的面积公式，进而得出以AB，AC为邻边的平行四边形的面积。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示和四点共面的判断方法，进而得出存在实数，，使得，再利用向量的坐标运算和向量相等的等价关系，进而得出实数x的值。
19．（2021高二上·湖州期中）如图，在平行六面体 中， ， .
求：(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 的长.
【答案】解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
，所以
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)根据空间向量数量积的定义求解即可；
(2) 由 ，利用空间向量数量积的运算法则求解即可.
20．（2021高二下·浙江期末）如图，菱形 与正三角形 所在平面互相垂直， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取线段 中点 ，连 ， ，
因为G、H分别为FC、DF中点，
所以 ，且 ，
又E为AB中点， ，
所以 ， ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为E为AB中点，所以 ，所以 ，
过 作平面 的垂线为 轴，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设菱形边长为2，则 ，取DE中点O，连接FO，
所以 ，即正三角形 高为 ，
由已知平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形，进而得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即为线面角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
