如何控制法向量的方向来求二面角

控制法向量的方向求解二面角

向量法求证空间位置关系及其求解距离和角为大家所知，但很多人在求解二面角时，法向量求出来后再利用夹角公式求出余弦值，但有时不能确定究竟是钝角还是锐角二面角，事实上，我们在设置法向量时是可以控制法向量的夹角就是二面角的大小的。
首先我们认识一下法向量夹角和二面角的关系：

如上图所示，当我们把法向量控制成“一进一出”是不难得出的夹角就是二面角的大小，反之就不是。
其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”？
我们知道在空间直角坐标系中，任何平面都会有法向量，仅且存在两个方向相反的方向，所以在空间直角坐标系中，你总是可以控制任何半平面的法向量的方向在二面角中的“进”与“出”的。
如图所示：平面ABC的法向量

若以“向上”可设＝（x,y,1）
若以“向前”可设＝（1,y,z）
若以“向右”可设＝（x,1,z）
若将1变成－1，那么将会变成与方向相反的法向量。
一般来说，总有一个明显的方向，因此我们了解了这点，那么控制法向量的“进与出”可以做到随心所欲。
例如2005年高考题：
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

（Ⅰ）（Ⅱ）此处略。（Ⅲ）其他方法从略，下面就法向量法求解说明。
解（Ⅲ）：A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,M(0,1,) ,
,
设＝,=,分别为平面AMC,平面BMC的法向量，则有：
＝
＝
解得＝；
＝＝0
＝＝0
解得＝，
设为二面角得大小，则＝＝，
所以A-MC-B的二面角的大小为
可见设置好法向量的方向，就可以省去讨论二面角的锐或钝的情况。
另外,在高考试卷中象＂求面AMC与面BMC所成二面角的大小。＂
应改为＂ 求面AMC与面BMC所在的半平面所在的所成二面角的大小。＂会更准确些.