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1-1-1同步检测
一、选择题
1．(2011～2012曲阜一中高一期末检测题)下列关系中，表述正确的是( )
A．0∈{x2＝0} B．0∈{(0,0)}
C．0∈N* D．0∈N
2．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.14159}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
3．集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．无数个
4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x}x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
5．下列集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
6．方程组的解集是( )
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A．4 B．5
C．10 D．12
8．(2010·广东高考)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么d (a c)＝( )
A．a B．b
C．c D．d
9．(2011～2012学年广东惠城模拟)现定义一种运算 ，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m n＝m＋n；当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n＝mn.则集合M＝{(a，b)|a b＝16，a∈N*，b∈N*}中元素的个数为( )
A．22 B．20
C．17 D．15
10．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
二、填空题
11．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝________.
13．(2011～2012学年湖南郴州模拟)用列举法写出集合＝________.
14．(2011～2012学年辽宁本溪模拟)式子＋＋＋的所有可能取值组成的集合为________．
三、解答题
15．用列举法表示集合．
(1)平方等于16的实数全体；
(2)比2大3的实数全体；
(3)方程x2＝4的解集；
(4)大于0小于5的整数的全体．
16．用描述法表示下列集合：
(1){1,3,5,7,9}；
(2){3,9,27,81，…}；
(3)；
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
17．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[分析] 集合A是方程ax2－3x－4＝0的解集．A中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a≠0；A中至多有一个元素，则a≠0时，应有Δ≤0；a＝0时，恰有一个元素．
18．集合M的元素为自然数，且满足：如果x∈M，则8－x∈M，试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
[分析] 抓住“x∈M时，8－x∈M”这一条件，对元素进行逐一验证，然后找出满足题意的基本元素，最后写出满足各题意的解．
1[答案] D
[解析] 选项A的集合中元素是一个方程，B的集合中元素是点，而0是自然数，因此选D.
2[答案] D
[解析] 选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
3[答案] C
[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素，因此选C.
4[答案] D
[解析] 对选项A，由于7为正奇数，显然不对．对于选项B，由于k∈Z，应含有无数个元素，故不对，对于选项C，当t＝0时x＝－3，不正确，故选D.
5[答案] B
[解析] 选项A、C、D都等于集合{2}，故选B.
6[答案] D
[解析] 解方程组得
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
7[答案] D
[解析] 12能被x＋3整除．∴y＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.
8[答案] A
[解析] 由上表，知d (a c)＝d c＝a，故选A.
9[答案] C
[解析] 当m，n都是正偶数时，(a，b)可以是(2,14)，(4,12)，(6,10)，(8,8)，(10,6)，(12,4)，(14,2)，共7个．
当m，n都是正奇数时，(a，b)可以是(1,15)，(3,13)，(5,11)，(7,9)，(9,7)，(11,5)，(13,3)，(15,1)，共8个．
当m，n中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1,16)，(16,1)，共2个．
所以满足题意的元素个数为17.
10[答案] C
[解析] 方程组的解是
11[答案] a≤－2
[解析] ∵1 A，∴2×1＋a≤0，∴a≤－2.
12[答案] {(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
13[答案] {－3，－1,1,3}
[解析] ∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
14[答案] {0,2}
[解析] 当a>0时，原式＝1－1＋1＋1＝2，
当a<0时，原式＝－1－1＋1＋1＝0，
所以集合为{0,2}．
15[解析] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．
16[解析] (1){x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}．
(2){x|x＝3n，n∈N*}．
(3){x|x＝，n∈N*}．
(4){x|x＝5n＋2，n∈Z}．
17[解析] (1)∵A中有两个元素，∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴，即a>－且a≠0.
(2)当a＝0时，A＝{－}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
18[解析] (1)M中只有一个元素，
根据已知必须满足x＝8－x，∴x＝4.
故含有一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①由以上1个集合组成的有{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}共5种．
②由2个集合组成的有{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}共10种．
③由3个集合组成的有{4,0,8,1,7}，{4,0,8,2,6}，{4,0,8,3,5}，{4,1,7,2,6}，{4,1,7,3,5}，{4,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6}，{0,8,1,7,3,5}，{1,7,2,6,3,5}，{0,8,2,6,3,5}共10种．
④由4个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}共5种．
⑤由5个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},1种．
综上可知，满足题设条件的集合M共有31种．
【点评】 解决本题可从集合中元素的互异性及两元素之和为8的特点出发，在第(3)问中，从M中元素的特点入手，满足条件的集合可含{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的1个，2个，3个，4个，5个，分别“数”之，最后求和．
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1-3-2-1同步检测
一、选择题
1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③偶函数的图象与y轴一定相交；
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
2．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上( )
A．减函数
B．增函数
C．既可能是减函数也可能是增函数
D．不一定具有单调性
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既非奇函数又非偶函数
4．(2011～2012沧一中月考试题)函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0)
5．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )
A．为减函数，最大值为3
B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3
D．为增函数，最小值为3
6．若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
7．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．－15 B．15
C．10 D．－10
8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
二、填空题
9．(2012·全国高考数学安徽卷)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
10．(2012·连云港高一检测)函数f(x)＝的奇偶性是________．
11．函数f(x)在R上为奇函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(x－1)，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.
12．偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．
三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋.
(2)f(x)＝.
(3)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|.
(4)f(x)＝.
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
15．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
16．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．
详解答案
1[答案] D
[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝
2[答案] B
3[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝－g(x)．
4[答案] B
[解析] ∵f(－2)＝f(2)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2>1>0，∴f(2)>f(1)>f(0)．∴f(－2)>f(1)>f(0)．
5[答案] D
[解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.
6[答案] B
[解析] 解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，
∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，
∴f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1.
7[答案] A
[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
8[答案] A
[解析] 由题意得|2x－1|< －<2x－1<
<2x< 9[答案] 4
[解析] 由函数f(x)为偶函数得f(a)＝f(－a)即(a＋a)(a－4)＝(－a＋a)(－a－4)所以a＝4或a＝0，而a＝0时f(x)＝x2－4x不是偶函数，因此a＝4.
[考点定位] 本题考查函数奇偶性的应用．若已知一个函数为偶函数，则应有其定义域关于原点对称
10[答案] 非奇非偶
11[答案] －x(x＋1)
12[答案] 0
[解析] 由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.
13[解析] (1)偶函数．∵f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)为偶函数．∵x∈Q时，－x∈Q，
∴f(－x)＝1＝f(x)．
同理，x为无理数时，－x也为无理数．
∴f(－x)＝－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)奇函数．∵f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|
＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数．
14[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，
所以f(0)＝0，即b＝0.
又f＝，所以＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
16[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.
即f(x)＝－2(x－1)2＋2.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
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1-2-1同步检测
一、选择题
1．(2011～2012曲阜二中月考试题)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( )
A．f?x→y＝x B．f?x→y＝x
C．f?x→y＝x D．f?x→y＝
2．某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60(t的单位：h)，温度单位为℃，t＝0表示12:00，其后t的取值为正，则上午8时的温度为( )
A．8℃ B．112℃
C．58℃ D．18℃
3．下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝
D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
4．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x>0} B．{x|x>0，或x≤－1}
C．{x|x>0，或x<－1} D．{x|05．有下列等式：
①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.
其中，能表示y是x的函数的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①④
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
7．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2) D．[1，＋∞)
8．已知f(x)＝，则f(2)－f()＝( )
A．1 B.
C. D．－
9．(2012·安徽铜陵县一中高一期中)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于( )
A．15 B．1
C．3 D．30
10．函数f(x)＝，x∈{1,2,3}，则f(x)的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．{1，，} D．R
二、填空题
11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y＝________，其定义域为________．
12．(2012·全国高考数学广东卷)函数y＝的定义域为________．
13．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
14．下列说法正确的是________．
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；
④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．
三、解答题
15．求下列函数的定义域，并用区间表示
(1)y＝－；
(2)y＝.
[分析]
16．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
17．已知f(x)＝，
(1)求f(x)＋f()的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＋f(1)＋f()＋…＋f()的值．
18．(1)已知f(x)＝2x－3，x∈{0,1,2,3}，求f(x)的值域．
(2)已知f(x)＝3x＋4的值域为{y|－2≤y≤4}，求此函数的定义域．
详解答案
1[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
2[答案] A
[解析] 12:00时，t＝0,12:00以后的t为正，则12:00以前的时间负，上午8时对应的t＝－4，故
T(－4)＝(－4)3－3(－4)＋60＝8.
3[答案] D
[解析] 对于A：f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同，故不是相等函数；
对于B：f(x)＝|x|·与g(x)的对应关系不同，故不是相等函数；
对于C：f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，故不是相等函数；
对于D：f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相等函数，故选D.
4[答案] C
[解析] 由1＋>0，得>0.
若x>0，得x>－1，所以x>0；
若x<0，得x<－1，所以x<－1.
综上，x>0，或x<－1，故选C.
5[答案] A
[解析] ①可化为y＝x－1，表示y是x的一次函数；
②可化为y＝x2－，表示y是x的二次函数；
③当x＝5时，y＝2，或y＝－2，不符合函数的唯一性，故y不是x的函数；
④当x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数．故选A.
6[答案] C
[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
7[答案] A
[解析] ，∴x≥1且x≠2，故选A.
8[答案] C
[解析] f(2)＝＝，f()＝＝，
∴f(2)－f(1)＝－＝，故选C.
9[答案] A
[解析] 令g(x)＝1－2x＝得，x＝，
∴f＝f＝＝15，故选A.
10[答案] C
11[答案] y＝2.5x，x∈N*，N*
12[答案] [－1,0)∪(0，＋∞)
[解析] y＝中的x满足： －1≤x<0或x>0
13[答案] －
[解析] f(t)＝＝6.∴t＝－
14[答案] ①③⑤
[解析] ①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．
②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集．如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．
③是正确的；根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．
④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同．如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.
⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．
15[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
[规律方法] 定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
16[解析] (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f()＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
17[解析] (1)f(x)＋f()＝＋＝＝1.
(2)由(1)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＋f(1)＋f()＋…＋f()＝7.
18[解析] (1)当x分别取0,1,2,3时，y值依次为－3，－1,1,3，
∴f(x)的值域为{－3，－1,1,3}．
(2)∵－2≤y≤4，∴－2≤3x＋4≤4，
即，∴，
∴－2≤x≤0，即函数的定义域为{x|－2≤x≤0}．
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1-1-3-2同步检测
一、选择题
1．(2012·吉林市质检)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{5,3,4}，则 U(A∩B)＝( )
A．{1} B．{4,5}
C．{2,4} D．{1,2,4,5}
2．(2011·浙江理)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩ UB＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
3．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为( )
A．( UA)∩B B．( UA)∪( UB)
C．A∩( UB) D．A∪( UB)
4．设全集U，M、N是U的非空子集，且 UM N，则有( )
A．M UN B．M? UN
C． UM＝ UN D．M＝N
5．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则( UA)∩( UB)等于( )
A．{1,6} B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}
6．设全集为R，A＝{x|－5A．{x|0≤x<5} B．{x|x≤－5或x≥5}
C．{x|x≤－5或x≥7} D．{x|x<0或x≥5}
7．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩( UB)等于( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}
8．(2011·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
9．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，( US)∩T＝{4}，( US)∩( UT)＝{1,5}则有( )
A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈ UT
C．3∈ US,3∈T D．3∈ US,3∈ UT
10.设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}
二、填空题
11．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，则 UX与 UY的包含关系是 UX________ UY.
12．设U＝R，则A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3或x>4}，则a＝________，b＝________.
13．已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则 U(A∩B)＝________， UA∪ UB＝________， U(A∪B)＝________.
14．如果U＝{x|x是自然数}，A＝{x|x是正奇数}，B＝{x|x是5的倍数}，则B∩ UA＝________.
15．用A、B、U表示图中阴影部分．
_______________________________________________________
三、解答题
16．设全集S表示某班全体学生的集合，若A＝{男生}，B＝{团员}，C＝{近视眼的学生}，说明下列集合的含义．
(1)A∩B∩C；
(2)C∩[ S(A∪B)]．
17．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}， UA＝{5}，求a的值．
18．(2011～2012唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[分析] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出 UA及 UB，然后求解．
19．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[分析] 本题从条件B RA分析可先求出 RA，再结合B RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
详解答案
1[答案] D
[解析] ∵A∩B＝{3}，
∴ U(A∩B)＝{1,2,4,5}．
2[答案] B
[解析] ∵B＝{x|x>1}，∴ UB＝{x|x≤1}，
∴A∩ UB＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0故选B.
3[答案] C
[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在 UB中，因此是A与 UB的公共部分．
4[答案] A
[解析] 如下图，否定C、D.
当 UM＝N时，M＝ UN否定B，故选A.
5[答案] A
[解析] UA＝{1,3,6}， UB＝{1,2,6,7}，( UA)∩( UB)＝{1,6}，故选A.
6[答案] D
[解析] RA＝{x|x≥5或x≤－5}， RB＝{x|x<0或x≥7}，( RA)∪( RB)＝{x|x<0或x≥5}，故选D.
7[答案] D
[解析] UB＝{x|－1≤x≤4}，A∩ UB＝{x|－1≤x≤3}，故选D.
8[答案] D
[解析] 由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则 UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.
9[答案] B
[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；
若3∈ US，3∈T，则3∈( US)∩T，排除C；
若3∈ US,3∈ UT，则3∈( US)∩( UT)，排除D，
∴选B，也可画图表示．
10[答案] A
[解析] 由图可知所求阴影部分为集合 U(M∪N)，又∵M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，∴ U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}，故选A.
11[答案] ?
12[答案] 3 4
13[答案] U，U，{x|x是直角}
14[答案] {x∈N|x是10的倍数}
[解析] UA＝{x|x是非负偶数}＝{0,2,4,6,8,10，…}，B＝{0,5,10,15，…}，
B∩ UA＝{0,10,20，…}．
15[答案] (A∪B)∩ U(A∩B)或( UA∩B)∪(A∩ UB)
[解析] 解法1：阴影部分在A中或B中，故在A∪B中；阴影部分不在A∩B中，故阴影部分表示为(A∪B)∩ U(A∩B)．
解法2：阴影部分是A中阴影部分与B中阴影部分的并集，B中阴影部分在B中，不在A中，故在B∩ UA中，A中阴影部分在A中，不在B中，故在A∩ UB中，故阴影部分可表示为(B∩ UA)∪(A∩ UB)．
16[解析] (1)A∩B∩C＝{是团员又是近视眼的男生}
(2)A∪B＝{男生或是团员的女生}
S(A∪B)＝{不是团员的女生}
C∩[ S(A∪B)]＝{不是团员但是近视眼的女生}．
17[解析] 解法1：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10
当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77 U，∴a＝4.
解法2：由A∪ UA＝U知，∴a＝4.
18[解析] 如图所示，
∵A＝{x|－2∴ UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3或2∴A∩B＝{x|－2( UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2[点评] (1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
19[解析] 由题意得 RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝ ，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B RA.
(2)若B≠ ，则由B RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.
综上可得a≥－.
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1-2-2-2同步检测
一、选择题
1．给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．(2011～2012瓮安一中周测试题)下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2
3．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看做从M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
4．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A．5 B．6
C．8 D．9
5．已知f(x)＝
则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4
C．3 D．－3
6．(2012·山东临沂)设函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－
C. D．18
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f(m)＝其中[m]表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )
A．3.71 B．4.24
C．4.77 D．7.95
8．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( )
二、填空题
9．(2010·陕西文，13)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
10．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是________．
当－111.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．
三、解答题
12．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20 g重付邮资80分，超过20 g重而不超过40 g重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(g)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
13．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
14．已知函数f(x)＝
(1)试比较f[f(－3)]与f[f(3)]的大小；
(2)求使f(x)＝3的x的值．
15．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝求f[g(x)]和g[f(x)]．
详解答案
1[答案] B
[解析] 对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
2[答案] A
[解析] 对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0 N*，
∴不是映射，故选A.
3[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝6时，y＝6，当6 P，故选C.
4[答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
a→d a→e共8个．
5[答案] B
[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，
∴f(f(－4))＝f(0)＝1，
f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.
6[答案] A
[解析] f(2)＝4，＝，故f()＝f()＝1－()2＝.
7[答案] C
[解析] f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.
8[答案] B
[解析] 由已知得y＝＝.故选B.
9[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
10[答案]
[解析] 当x≤－1时，x－2＝3，∴x＝5(舍)，
11[答案] 2
[解析] f(3)＝1，f(1)＝2，∴f()＝2.
12[解析] y＝定义域为[0,40]，图象如下
13[解析] f(x)＝
如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
14[解析] (1)∵－3<1，∴f(－3)＝7，
又∵7>1，∴f[f(－3)]＝f(7)＝49－14＝35.
∵3>1，∴f(3)＝32－2×3＝3，∴f[f(3)]＝f(3)＝3.
∴f[f(－3)]>f[f(3)]．
(2)当f(x)＝3时，有 x＝－1.
或
∴使f(x)＝3的x的值为－1或3.
15[解析] f[g(x)]＝
∴f[g(x)]＝
g[f(x)]＝
∴g[f(x)]＝
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1-1-3-3同步检测
一、选择题
1．设A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．A C B．C A
C．A≠C D．A＝
2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩( UM)( )
A．{1,3} B．{1,5}
C．{3,5} D．{4,5}
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则 U(M∪N)＝( )
A．{5,7} B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
4．(胶州三中2012年高一期末测试)设全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x<3}，N＝{x|－1≤x≤4}，则N∩ UM＝( )
A．{x|－4≤x≤－2} B．{x|－1≤x≤3}
C．{x|3≤x≤4} D．{x|35．集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩ RM≠ (R为实数集)，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤3} B．{a|a>－2}
C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}
6．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．(2012·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．M∩[( IN)∩P]
B．M∩(N∪P)
C．[( IM)∩( IN)]∩P
D．M∩N∪(N∩P)
二、填空题
9．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}， UA＝{1}，则p＋q＝________.
10．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，则m为________．
11．已知A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋4x＋p＝0}，若B A，则实数p的取值范围是________．
12．定义集合运算：A⊙B＝{x|x＝nm(n＋m)，n∈A，m∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
三、解答题
13．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：
(1)( RA)∩( RB) (2) R(A∪B)
(3)( RA)∪( RB) (4) R(A∩B)
[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B， RA， RB，最后可逐一写出各小题的结果．
14．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a2＋1,2a－1}，若A∩B＝{－3}，求实数a的值．
15．设全集U＝R，集合A＝{x∈R|－1＜x≤5，或x＝6}，B＝{x∈R|2≤x＜5}；求 UA、 UB及A∩( UB)．
16．已知集合U＝{x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且满足：A∩( UB)＝{5,13,23}，( UA)∩B＝{11,19,29}，( UA)∩( UB)＝{3,7}，求集合A与B.
[分析] U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，利用Venn图，如图所示，在图中标出各元素的相应位置，可以直接写出A和B来．
17．设全集U＝R，集合A＝{x|－51}，C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其分别满足下列两个条件：①C (A∩B)；②C ( UA)∩( UB)．
18．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x B}．
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6详解答案
1[答案] A
[解析] ∵A∪B＝B∩C B，
又B A∪B，∴A∪B＝B，∴A B，
又B A∪B＝B∩C，且B∩C B，
∴B∩C＝B，∴B C，∴A C.
2[答案] C
[解析] UM＝{2,3,5}，∴N∩( UM)＝{3,5}，∴选C.
3[答案] C
[解析] ∵M∪N＝{1,3,5,6,7}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴ U(M∪N)＝{2,4,8}．
4[答案] C
[解析] UM＝{x|x<－2或x≥3}，N∩ UM＝{x|3≤x≤4}．
5[答案] C
[解析] RM＝{x|－2≤x<3}．结合数轴可知．
a≥－2时，N∩ RM≠ .
6[答案] D
[解析] S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.
7[答案] B
[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以 U(A∪B)＝{3,5}．
8[答案] A
9[答案] 0
[解析] 由 UA＝{1}，知A＝{2}即方程
x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，
∴p＋q＝0.
10[答案] (4,7)
[解析] 由m∈A，m∈B知m∈A∩B
由得∴A∩B＝{(4,7)}．
11[答案] p>4
[解析] A＝{－1,2}，若B＝A，则2＋(－1)＝－4矛盾；若B是单元素集，则Δ＝16－4p＝0∴p＝4
∴B＝{－2}?A.∴B＝ ，∴p>4.
12[答案] 18
[解析] 由题意，n可取值为0、1，m可取值为2、3.当n＝0时，x＝0；当n＝1，m＝2时，x＝6；当n＝1，m＝3时，x＝12.综上所述，A⊙B＝{0,6,12}．故所有元素之和为18.
13[解析] 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．
RA＝{x|x<2或x≥5}，
RB＝{x|x<2或x≥7}．
由此求得
(1)( RA)∩( RB)＝{x|x<2或x≥7}．
(2) R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．
(3)( RA)∪( RB)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．
(4) R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．
[评注] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．
14[解析] ∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B，
∴当a－3＝－3，即a＝0时，A∩B＝{－3,1}，与题设条件A∩B＝{－3}矛盾，舍去；
当2a－1＝－3，即a＝－1时，
A＝{1,0，－3}，B＝{－4,2，－3}，
满足A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.
15[解析] UA＝{x|x≤－1，或5＜x＜6，或x＞6}，
UB＝{x|x＜2，或x≥5}，
A∩( UB)＝{x|－1＜x＜2，或x＝5，或x＝6}．
16[解析] A＝{2,5,13,17,23}，
B＝{2,11,17,19,29}．
17[解析] ∵A＝{x|－51}，
∴A∩B＝{x|1 UB＝{x|－6≤x≤1}，
∴( UA)∩( UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x当C ( UA)∩( UB)时，m>－5，∴m≥4.
18[解析] (1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，
故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
A－B＝ ，B－A＝ ，此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|421世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1-1-3-1同步检测
一、选择题
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．A、B是两个集合，则集合{x|x∈A且x∈B}用阴影表示为( )
3．(2011－2012学年浙江省期中)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
4．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
5．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞－2
C．a＞－1 D．－1＜a≤2
6．已知集合A＝{1,2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{2}
C．{(1,2)} D．
7．(2012·南安高一检测)方程x2－px＋6＝0的解集为M，方程x2＋6x－q＝0的解集为N，且M∩N＝{2}，那么p＋q等于( )
A．21 B．8
C．6 D．7
8．满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B＝( )
A．{(0,1)，(1,2)}
B．{(0,1)}
C．{(1,2)}
D．{y∈R|y≥1}
10．当x∈A时，若x－1 A，且x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝( )
A．{0,1,3,4} B．{1,4}
C．{1,3} D．{0,3}
二、填空题
11．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
12．(2011高考广东卷，2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B元素的个数为________．
13．已知A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
14．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
15．(胶州三中2011～2012高一期末)设A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，则p＝______；q＝______；r＝______.
由(2)(3)得q＝－5，r＝6.经检验符合题意．
三、解答题
16．已知A＝{1，x，－1}，B＝{－1,1－x}．
(1)若A∩B＝{1，－1}，求x.
(2)若A∪B＝{1，－1，}，求A∩B.
(3)若B A，求A∪B.
17．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围．
(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？
18．(2011－2012学年望江中学高一期中)已知集合A＝{x|3x－7>0}，B＝{x|x是不大于8的自然数}，C＝{x|x≤a，a为常数}，D＝{x|x≥a，a为常数}．
(1)求A∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值集合；
(3)若A∩C＝{x|(4)若A∪D＝{x|x≥－2}，求a的取值集合；
(5)若B∩C＝ ，求a的取值集合；
(6)若B∩D中含有元素2，求a的取值集合．
详解答案
1[答案] C
[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.
2[答案] B
3[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.
4[答案] A
[解析] 在数轴上分别表示出集合A、B，观察得出答案．
5[答案] A
[解析] 由A∩B≠ 知a<2，故选C.
6[答案] D
[解析] A∩B＝
7[答案] A
[解析] 将x＝2分别代入两个方程求得p＝5，q＝16，∴p＋q＝21，故选A.
8[答案] B
[解析] ∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴a1∈M，a2∈M，a3 M.
又∵M {a1，a2，a3，a4}，∴M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
9[答案] D
[错解] 由解得，或，因而直线与抛物线交点为(0,1)、(1,2)，故选A.
[辨析] 以上解法不对．集合A，B应该结合代表元素从整体意
义上把握，它们是当x取一切实数时所得的y的值的集合，在审题时必须首先弄清集合的本质含义．
[正解] A＝{y∈R|y≥1}，B＝R，故A∩B＝{y∈R|y≥1}，正确答案为D.
10[答案] D
[解析] 由条件及孤星集的定义知，M′＝{3}，N′＝{0}，则M′∪N′＝{0,3}．
11[答案] 0,1或－2
[解析] 由已知得B A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.
12[答案] 2
[解析] 由题得∴或，故A∩B元素个数为2.
13[答案] A∩B＝ A∪B＝{x|x是斜三角形}
14[答案] A∩B＝{x|2≤x≤3} A∪B＝{x|x<0或x≥1}
15[答案] 8 －5 6
[分析] 抓住集合中元素的特征性质，A、B都是一元二次方程的解集．从A∩B入手知3是两个方程的公共根，可确定A中方程的系数p进而得A，也就弄清了B中的元素获解．
[解析] ∵A∩B＝{3}，∴3∈A,3∈B
∴，由(1)得p＝8 ，
∴A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}
又A∪B＝{2,3,5}，∴2∈B，∴4＋2q＋r＝0 (3)
16[解析] (1)由条件知1∈B，∴1－x＝1，
∴x＝0.
(2)由条件知x＝，
∴A＝{1，，－1}，B＝{－1，}，
∴A∩B＝{－1，}．
(3)∵B A，∴1－x＝1或1－x＝x，
∴x＝0或，当x＝0时，A∪B＝{1,0，－1}，
当x＝时，A∪B＝{1，，－1}．
17[解析] (1)－1≤a≤2
(2)∵A∪B＝B，∴A B，∴a＋3<－1，或a>5，∴a＞5或a＜－4
18[解析] A＝{x|x>}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}．
(1)A∩B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)∵A∩C≠ ，∴a>，
∴a的取值集合为.
(3)由条件知，A∩C不是空集，
∴A∩C＝{x|又A∩C＝{x|∴a＝3，∴a的取值集合为{3}．
(4)∵A∪D＝{x|x≥－2}，∴A∪D＝D，
∴a＝－2，即a的取值集合为{－2}．
(5)∵B∩C＝ ，∴a<0，
∴a的取值集合为{a|a<0}．
(6)∵2∈B∩D，∴2∈D，∴a≤2，
∴a的取值集合为{a|a≤2}．
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1-3-1-2同步检测
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4，则f(x)的最小值是( )
A．4 B．f(4)
C．4.001 D．不能确定
2．(2012·石家庄高一检测)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
3．若f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10、6 B．10、8
C．8、6 D．8、8
4．函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．3 D．－2
5．函数f(x)＝＋x的值域是( )
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
6．若0A．－2 B.
C．2 D．0
7．f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
8．函数y＝f(x)的图象关于原点对称且函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上( )
A．为增函数，且最小值为－5
B．为增函数，且最大值为－5
C．为减函数，且最小值为－5
D．为减函数，且最大值为－5
二、填空题
9．函数f(x)＝，则f(x)的最大值及最小值分别是________．
10．函数y＝的最大值为________．
11．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围是________．
12．给出一个函数y＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质，甲：对于x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)；乙：在(－∞，0]上函数递减；丙：在(0，＋∞)上函数递增；丁：f(0)不是函数的最小值，如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数________．
三、解答题
13．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值．
14．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
15．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)证明函数f(x)为增函数．
(2)求f(x)的最小值．
详解答案
1[答案] D
2[答案] C
3[答案] A
4[答案] C
5[答案] A
[解析] ∵y＝和y＝x在[，＋∞)上都是增函数，∴f(x)在[，＋∞)上是单调增函数．
∴f(x)≥f(x)min＝f()＝.
6[答案] B
7[答案] D
[解析] 当0≤x≤1时，0≤y≤2；当18[答案] B
[解析] 由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.
9[答案] 2,0
10[答案] 8
11[答案] a≤－4
[解析] 对称轴方程为x＝1－a，∵f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
12[答案] f(x)＝(x－1)2
[解析] 给出的函数为f(x)＝(x－1)2，有甲、乙、丁三人说的正确．
13[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
①∵f(x)＝－x2＋|x|＝
即f(x)＝
作出其在[－1,2]上的图象如下图所示
由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)．
②由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2.
14[解析] (1)设月产量为x台，则总成本为u(x)＝20 000＋100x，从而f(x)＝R(x)－u(x)，
即f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
15[解析] 将函数式化为：f(x)＝x＋＋2
(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．
∵x1＜x2， ∴x1－x2＜0，
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
(2)当x＝2时，f(x)有最小值.
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1-3-2-2同步检测
一、选择题
1．若函数f(x)＝x(x∈R)，则函数y＝－f(x)在其定义域内是( )
A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x2－
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
4．(2012·泉州高一检测)f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f(0)
5．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)A．(－∞，) B．[，)
C．(，) D．[，＋∞)
6．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为( )
A．－5 B．－1
C．－3 D．5
7．(曲师大附中2011～2012高一上期末)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
D．(－3,3)
8．(胶州三中2011～2012高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
二、填空题
9.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
10．(2012·大连高一检测)函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m＝________.
11．(上海大学附中2011～2012高一期末考试)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
12．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
三、解答题
13．设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
14．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
15．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
16．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f()≥2的x的取值范围．
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．
详解答案
1[答案] D
2[答案] D
[解析] ∵对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
3[答案] D
[解析] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
∴f(x)＝x(|x|－2)．故选D.
4[答案] C
5[答案] A
[解析] 由图象得2x－1<，∴x<，选A.
6[答案] B
[解析] 解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，
∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3 －F(x)≤3
F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.
7[答案] D
[解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．
[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．
8[答案] D
[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
9[答案] (－∞，1)、(1，＋∞)
10[答案] －8
11[答案] －1
[解析] f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数
g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
12[答案] f(x1)>f(x2)
[解析] ∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
13[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0.
14[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
15[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
16[解析] (1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()．
由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得
f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
又－f()＝f(x－2)，故所给不等式可化为
f(x)＋f(x－2)≥f(9)，即f [x(x－2)]≥f(9)．
∴解得x≥1＋.
∴x的取值范围是[1＋，＋∞)．
[总结评述] 本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f()＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．
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1-3-1-1同步检测
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1、x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)2．给出下列命题：①y＝在定义域内是减函数；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上是增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＜f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
4．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
5．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，b∈A，当aA．有且只有一个
B．一个都没有
C．至多有一个
D．可能会有两个或两个以上
6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈(－∞，1))是单调函数时，b的取值范围( )
A．b≥－2 B．b≤－2
C．b>－2 D．b<－2
7．(2011～2012黄中月考题)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)C．f(2)二、填空题
9．若f(x)＝，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
10．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.
11．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________．
12．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________．
三、解答题
13．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
14．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性
(1)y＝f(x)＋a；
(2)y＝a－f(x)；
(3)y＝[f(x)]2.
15．求下列函数的单调区间．
(1)y＝|x2－x－6|；(2)y＝－x2＋3|x|＋1.
[分析] →→→
详解答案
1[答案] D
2[答案] D
[解析] ①y＝在定义域内不具有单调性；②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k＝0时，y＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．
3[答案] B
[解析] 由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.
4[答案] D
[解析] 函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
5[答案] C
[解析] 由条件知f(x)在A上单调增，故f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故选C.
6[答案] B
7[答案] C
[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
8[答案] B
[解析] 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)9[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1]
[解析] 画出f(x)＝的图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.
10[答案] 21
[解析] 由已知得－＝－2，解得m＝－16
∴f(x)＝4x2＋16x＋1，则f(1)＝21.
11[答案] f(a2－a＋1)≤f()
[解析] ∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f()．
12[答案] ①②④
13[证明] 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1因为x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
14[解析] (1)y＝f(x)＋a是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．
(3)设x2＞x1，f 2(x2)－f 2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f 2(x)是减函数．
15[解析] (1)函数解析式变形为
y＝
画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[，3]．
(2)y＝，
即y＝，
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－]，[0，]，单调减区间为[－，0]，[，＋∞)．
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1-2-2-3同步检测
一、选择题
1．下列所给的四个图象中，可以作为函数y＝f(x)的图象的有( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)
C．(1)(3)(4) D．(3)(4)
2．(江苏盐城中学2011～2012学年度第一学期高一数学期末考试)f(x)＝2x－3，g(2x＋3)＝f(x)则g(x)＝( )
A．2x－3 B．2x＋3
C．x＋6 D．x－6
3．已知函数f(x)＝x[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，[2.1]＝2，则f(－)的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
4．设集合M＝{(x，y)|x，y∈R}，建立集合M到R的映射f：M→R，且f(x，y)＝|x2－y2|，则实数1在平面直角坐标系下所对应的点满足的关系是( )
A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝－1
C．|x2－y2|＝1 D．无法确定
5．设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立A到B的映射的是( )
A．对A中的数开平方
B．对A中的数取倒数
C．对A中的数取算术平方根
D．对A中的数开立方
6．从甲城市到乙城市的电话费由函数g(t)＝1.06(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5min的电话费为( )
A．5.04元 B．5.56元
C．5.83元 D．5.38元
7．(2011～2012晋江季延中学月考题)图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1| (0≤x≤2)
B．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
C．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1| (0≤x≤2)
8．设a，b为实数，集合M＝{－1，，1}，N＝{a，b，b－a}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．＋1
9．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
10．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图，则不等式≥0的解集是( )
A．(－1,1]∪(2,3]
B．(－1,1)∪(2,3)
C．(2,3]∪(4，＋∞)
D．(－1,1]∪(2,3]∪(4，＋∞)
二、填空题
11．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
12．定义运算a*b＝则对x∈R，函数f(x)＝1] .
13．已知函数f(x)满足2f(x)－f()＝，则f(x)的解析式为________．
14．设函数f(n)＝k(其中n∈N*)k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则{f…f[f(10)]}＝________.
三、解答题
15．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h的速度返回A地，写出该汽车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式，并画出图象．
16．(教材改编题)《国务院关于修改〈中华人民共和国个人所得税法实施条例〉的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税税率表如下：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元的部分 5%
2 超过500至2 000元的部分 10%
3 超过2 000元至5 000无的部分 15%
… … …
9 超过100 000元的部分 45%
注：本表所称全月应纳税所得额为每月收入额减去2 000元后的余额．
(1)若某人2008年4月份的收入额为4 200元，求该人本月应纳税所得额和应纳的税费；
(2)设个人的月收入额为x元，应纳的税费为y元．当017．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系.
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
(1)在所给的坐标系中，如图，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
详解答案
1[答案] D
[解析] 利用函数定义判断．
2[答案] D
[解析] ∵g(2x＋3)＝f(x)＝2x－3＝(2x＋3)－6，∴g(x)＝x－6.故选D.
3[答案] B
[解析] ∵[－]＝－2，∴f(－)＝－×(－2)＝2.
4[答案] C
5[答案] D
6[答案] C
[解析] [5.5]＝6，∴g(5.5)＝1.06(0.75×6＋1)＝5.83(元)．
7[答案] B
[解析] 0≤x≤1，y＝x,18[答案] D
[解析] 由题知，b＝0，a＝±1，则a＋b＝±1.
9[答案] A
[解析] 开始加速时路程增加快图象向上弯曲，匀速行驶时路程增加相同，图形呈直线型，减速行驶时，路程增加慢，向下弯曲．
10[答案] D
[解析] 由y＝f(x)图象知x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时f(x)>0，x∈(1,3)时f(x)<0；由y＝g(x)图象知x∈(－∞，－1)∪(2,4)时，g(x)<0，x∈(－1,2)∪(4，＋∞)时，g(x)>0.故x∈(－1,1]时f(x)≥0，且g(x)>0，x∈(4，＋∞)时f(x)>0，g(x)>0，x∈(2,3]时f(x)≤0且g(x)<0，因此不等式≥0的解集为(－1,1]∪(2,3]∪(4，＋∞)．
11[答案]
[解析] 依题意得，当x≤1时，3x＋1＝2，∴x＝，
当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)，故x＝.
12[答案]
13[答案] f(x)＝(|x|＋)
[解析] ∵2f(x)－f()＝，
由x代替，∴2f()－f(x)＝|x|，
由以上两个式子消去f()，
则f(x)＝(|x|＋)．
14[答案] 1
[解析] f(10)＝5，f[f(10)]＝f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…，原式的值为1.
15[解析] 由50t1＝150得t1＝3，由60t2＝150得t2＝.
∴当0≤t≤3时，s＝50t，当3当5故函数关系式为s＝
图象如图所示：
16[解析] (1)本月应纳税所得额为4 200－2 000＝2 200元；应纳税费由表格得500×5%＋1 500×10%＋200×15%＝205元．
(2)y＝
17[解析] (1)由表作出点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)．它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150，(x∈N)．
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N)；
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．
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1-1-2同步检测
一、选择题
1．对于集合A，B，“A B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
2．(2011～2012福建省晋江市季延中学月考试题)若集合A＝{x||x－a|＝1}，B＝{x|3x＋1＝0}，若B?A，则a的值为( )
A．－ B．－
C．± D．－或
3．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
4．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A C，B C，则集合C中元素最少有( )
A．2个 B．4个
C．5个 D．6个
5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}且B A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A．M?P B．P?M
C．M＝P D．M、P互不包含
7．(2011～2012瓮安一中高一期末试题)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M与N的关系不确定
8．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
9．如果集合A满足{0,2}?A {－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
10．(2012·辽宁沈阳模拟)已知集合A {0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
二、填空题
11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．
12．用适当的符号填空．(∈， ， ， ，?，?，＝)
a________{b，a}；a________{(a，b)}；
{a，b，c}________{a，b}；{2,4}________{2,3,4}；
________{a}．
13．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________，集合A*B所有子集的个数是________．
14．已知集合A＝，
B＝{x|x＝－，b∈Z}，
C＝{x|x＝＋，c∈Z}．
则集合A，B，C满足的关系是________(用 ，?，＝，∈， ， 中的符号连接A，B，C)．
三、解答题
15．判断下列表示是否正确：
(1)a {a}；
(2){a}∈{a，b}；
(3) ?{－1,1}；
(4){0,1}＝{(0,1)}；
(5){x|x＝3n，n∈Z}＝{x|x＝6n，n∈Z}．
16．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B A时，求实数a的取值范围．
17．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
详解答案
1[答案] C
[解析] “A B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2[答案] D
[解析] A＝{a＋1，a－1}，B＝{－}，
∵B?A，∴a＋1＝－或a－1＝－，
∴a＝－或.
3[答案] D
[解析] 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1，－1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M，且S?M.故选D.
4[答案] C
[解析] A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，
∵A C，B C，
∴集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素．
5[答案] C
[解析] ∵B A，∴x2∈A，又x2≠1
∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±或x＝0.故选C.
6[答案] D
[解析] 由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.
7[答案] B
[解析] 解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得
M＝{…－，－，，，…}，
N＝{…0，，，，1…}，
∴M?N，故选B.
解法2：集合M的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，集合N的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M?N，故选B.
[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．
8[答案] B
[解析] 由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N?M，选B.
9[答案] C
[解析] 集合A里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．
10[答案] A
[解析] 集合{0,1,2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.
11[答案] A?D?B?C?E
[解析] 由各种图形的定义可得．
12[答案] ∈， ，?，?，?
13[答案] 5,16
[解析] 由已知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大元素是5.∵A*B中共有4个元素，∴其子集共有24＝16.
14[答案] A?B＝C
[解析] 方法1：列举法：A＝{…，－，，，…}
B＝{…，－，－，，，，…}
C＝{…，－，－，，，，…}
∴A?B＝C
方法2：统一形式：A＝{x|x＝，a∈Z}
B＝{x|x＝＝，b∈Z}
C＝{x|x＝，c∈Z}
方法3：由－＝＋得b＝c＋1，
∴对任意c∈Z有b＝c＋1∈Z.
对任意b∈Z，有c＝b－1∈Z，
∴B＝C，又当c＝2a时，有＋＝a＋，a∈Z.
∴A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系．
15[解析] (1)错误．a是集合{a}的元素，应表示为a∈{a}．
(2)错误．集合{a}与{a，b}之间的关系应用“?( )”表示．
(3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．
(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}≠{(0,1)}．
(5)错误．集合{x|x＝3n，n∈Z}中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x|x＝6n，n∈Z}中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x|x＝6n，n∈Z}?{x|x＝3n，n∈Z}．
16[解析] ∵A＝{x|x<－1或x>2}，
B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－}，
∵A B，∴－≤－1，即a≥4，
所以a的取值范围是a≥4.
17[解析] (1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝ ，满足B A.
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B A成立，
只需即2≤m≤3.
综上，当B A时，m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，
∴当B＝ ，即m＋1>2m－1，得m<2时，符合题意；
当B≠Q，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，
或解得m>4.
综上，所求m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
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1-2-2-1同步检测
一、选择题
1．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是( )
2．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值为( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
3．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是( )
4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
5．(2011～2012武安中学周测题)若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D.
6．已知f(x)是一次函数，若2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
7．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )
8.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数图象如图，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是( )
A．②与③ B．②与④
C．①与③ D．①与④
二、填空题
9．(沧州市2011～2012学年高一期末质量监测)已知集合M＝{－1,1,2,3}，N＝{0,1,2,3,4}，下面给出四个对应法则，①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝；④y＝(x－1)2，其中能构成从M到N的函数的序号是________．
10．已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为________．
11．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
三、解答题
12．求解析式：
(1)已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，求f(x)．
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
(3)如果函数f(x)满足方程f(x)＋2f(－x)＝x，x∈R，求f(x)．
[分析] (1)待定系数法．
(2)这是含未知数f(x)的等式，比较抽象，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响．
(3)因为当x∈R时，都有f(x)＋2f(－x)＝x，所以利用方程思想解得f(x)．
13．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝；
(2)y＝－x2＋2x，x∈[－2,2]；
(3)y＝|x＋1|.
[分析] →→→
14．(2011～2012孟村回中月考题)某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间适合关系式：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数．
[分析] →→→
15．(2011－2012学年山海关一中测试)若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下面图中画出此函数的图象．
详解答案
1[答案] B
2[答案] C
[解析] 由f(1)＝f(2)＝0得，p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.
3[答案] B
4[答案] B
[解析] g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1，选B.
5[答案] B
[解析]
①－②×2得－3f(2)＝3
∴f(2)＝－1，选B.
6[答案] B
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由已知得
即解得，故选B.
7[答案] D
[解析] t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.
8[答案] A
[解析] 由于纵坐标表示八年来前t年产品总产量，故②③正确，其余错误．
9[答案] ②④
[解析] 对于①当x＝3时，y＝9，集合N中不存在，对于③当x＝－1时y＝集合N中不存在，而②④符合函数定义．
10[答案] f(x)＝x2＋2
[解析] f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
11[答案] F(x)＝3x＋
[解析] 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则F(x)＝kx＋.由F()＝16，F(1)＝8，得，解得，所以F(x)＝3x＋.
12[解析] (1)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c
f(2x－1)＝a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝8ax2＋4bx＋2a＋2c＝16x2－4x＋6
∴，∴
∴f(x)＝2x2－x＋1.
(2)方法一：配凑法
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二：换元法
令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x，当x∈R时成立，
用－x替换x得，f(－x)＋2f(x)＝－x.
得到方程组
②×2－①，得3f(x)＝－3x，∴f(x)＝－x.
[方法点拨] (2)配凑法简便易行，但对变形能力、观察能力要求较高，换元法易掌握，但利用这种方法时要注意自变量取值范围的变化情况，否则得不到正确的解析式．
(3)本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．
13[解析] (1)y＝，
列表：
x … 1 2 3 …
y … 4 2 1 2 3 …
当0当x≥1时，函数图象为直线y＝x的一部分，所以函数图象如图(1)所示，
由图(1)，可得函数的值域是[1，＋∞)．
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．
列表：
x －2 －1 0 1 2
y －8 －3 0 1 0
画图象，图象是抛物线y＝－x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分如图(2)所示．
由图(2)，可得函数的值域是[－8,1]．
(3)当x＋1≥0，
即x≥－1时，y＝x＋1；
当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1.
∴y＝
作该分段函数图象如图(3)．
由图(2)，可得函数的值域是[0，＋∞)．
14[解析] (1)将，代入y＝ax＋，得 .
∴所求函数解析式为y＝x＋(x∈N*,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
[点评] 在表示函数时，要根据函数的具体特点，在解析法、列表法、图象法中选择恰当的表现形式．
15[解析] 本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．
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