21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
重点：掌握根与系数的关系.
难点：利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
新知导入
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
想一想：方程的两根 x1和 x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
新知讲解
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根为x1，x2 ，将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
左边展开，化成一般式
发现：方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足两个关系式
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
新知讲解
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2， 两根之和x1+x2、两根之积x1x2 与系数有怎样的关系呢？
根据求根公式可知：
由此可知：
新知讲解
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
新知讲解
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根
x1，x2 的和与积:
(1) x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2
解：(1) a=1,b= -6,c= -15
x1+x2= -(-6)=6，x1x2= -15
(2) a=3,b=7,c= -9
x1+x2= ，x1x2=
(3) 方程可化为 4x2-5x+1=0
a=4,b= -5,c=1
x1+x2= ，x1x2=
针对训练
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
新知讲解
常见的求值式子如下：
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
课堂练习
1.根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2 的和与积：
(1)x2-6x-15=0
(2)3x2-9+7x=0
(3)5x-1=4x2
x1+x2=6
x1x2=-15
x1+x2=
x1x2=-3
x1+x2=
x1x2=
课堂练习
2．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8
C
3.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
D
课堂练习
5. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
6. 已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
1
-2
-3
4．若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为(　　)
A．10 B．9 C．7 D．5
A
课堂练习
7. 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.
课堂练习
8. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：由根与系数的关系，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =
（2）
课堂总结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
常见变形
谢谢
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