13.1.3 三角形中几条重要线段
考向题组训练
命题点 1 三角形中的三条重要线段
1.如图,AD是△ABC的高,则以AD为高的三角形共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是 ( )
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC
D.∠C的对边是DE
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°, 把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B'的位置,则在△ABB'中,线段AC ( )
A.是边BB'上的中线
B.是边BB'上的高
C.平分∠BAB'
D.以上三种说法都正确
4.(1)分别画出中△ABC的三条高AD,BE,CF;
(2)这三条高AD,BE,CF所在的直线有怎样的位置关系
命题点 2 利用三角形中的三条重要线段进行计算
5.如图,AD,CE是△ABC的两条高,已知AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是 ( )
A.10 B.10.8 C.12 D.15
6.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数为
( )
A.10° B.18° C.20° D.30°
7.如图所示,在△ABC中,已知D是边BC上任意一点,E,F分别为线段AD,CE 的中点, 且S△ABC=8 cm2,则阴影部分的面积为 .
8.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,腰AC上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和21 cm的两部分,求这个三角形的腰长.
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.
(1)若∠B=38°,∠C=70°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B>∠C,试探求∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系.
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10.如图①,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB.
(1)填写下面的表格;
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数
(2)试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系,并说明你的理由;
(3)如图图②,△ABC的高BE,CD交于点O,试说明图中∠A与∠BOD之间的数量关系.
答案
13.1.3 三角形中几条重要线段
1.D 以AD为高的三角形有△ABE,△ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC,共有6个.
2.D
3.D 由翻折可知BC=B'C,所以线段AC是边BB'上的中线;由翻折知∠ACB'=∠ACB=90°,所以线段AC是边BB'上的高;由翻折知∠BAC=∠B'AC,所以线段AC平分∠BAB'.
4.解:(1)略.
(2)三条高所在的直线交于一点.
5.B 因为S△ACB=BC·AD=AB·CE,所以BC×10=×12×9,
解得BC=10.8.故选B.
6.B 因为∠C=∠ABC=2∠A,
所以∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°,
解得∠A=36°,
所以∠C=2×36°=72°.
因为BD是AC边上的高,
所以∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°.
故选B.
7.2 cm2 因为E为线段AD 的中点,所以S△BED=S△ABD,S△CED=S△ACD,所以S△BCE=S△ABC=4(cm2).
因为F为线段CE 的中点,所以S阴影=S△BFE=S△BCE=2(cm2).
8.解:设腰AB=x cm,底边BC=y cm,D为AC边的中点.
根据题意,得或
解得或
显然当x=8,y=17时,8+8<17,不能构成三角形,应舍去;当x=14,y=5时,14+5>14,能构成三角形.故这个三角形的腰长是14 cm.
9.解:(1)因为∠B=38°,∠C=70°,
所以∠BAC=72°.
因为AE是∠BAC的平分线,
所以∠BAE=36°.
因为AD是BC边上的高,∠B=38°,
所以∠BAD=52°,
所以∠DAE=52°-36°=16°.
(2)若∠B>∠C,如图图所示.
因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AE是∠BAC的平分线,所以∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C).
因为AD是BC边上的高,
所以∠BAD=90°-∠B,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=(∠B-∠C).
10.解:(1)如图下表所示:
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数 115° 120° 125°
(2)猜想:∠BOC=90°+∠A.
理由:因为在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A,
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°-∠A=90°+∠A.
(3)因为△ABC的高BE,CD交于点O,
所以∠BDC=∠BEA=90°,
所以∠ABE+∠BOD=90°,∠ABE+∠A=90°,
所以∠A=∠BOD.13.1.2 三角形中角的关系
考向题组训练
命题点 1 依据三角形的内角和判断三角形的形状
1.已知在△ABC中,∠A=100°-∠B,则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.前三种都有可能
2.有下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=∠B=∠C;
④∠A=∠B=2∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C.其中能判定△ABC为直角三角形的条件有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 .5个
3.在△ABC中,∠A=∠C-∠B,∠B=2∠A.
(1)求∠A,∠B,∠C的度数;
(2)△ABC按角分类,属于什么三角形
命题点 2 利用三角形内角和求角的度数
4.(2021梧州)在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C等于 ( )
A.32° B.36° C.40° D.128°
5.如图,在△ABC中,∠A=50°,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,则∠BOC的度数是 ( )
A.115° B.110° C.105° D.130°
6.将两张三角形纸片按摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5= °.
7.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°,求这个“特征三角形”的最小内角的度数.
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形” 若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.
命题点 3 利用三角形内角和解决实际问题
8.如图,平面镜A与B之间的夹角为110°,光线经平面镜A反射到平面镜B上,再反射出去.若∠1=∠2,则∠1的度数为 .
9.如图,点A在点B的北偏东40°方向,点C在点B的北偏东85°方向,点A在点C的北偏西45°方向,求∠BAC及∠BCA的度数.
10.如图,按规定:一块模板中AB,CD的延长线相交成85°角,因交点不在模板上,不便测量.如图果你是技术工人,利用你所学的知识,能否验证这个模板是否合格 若能验证,请写出你的验证过程.
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11.概念学习:
已知P为△ABC内部一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如图果存在一个三角形,其内角与△ABC的三个内角分别相等,那么就称P为△ABC的等角点.
理解应用:
(1)判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
①内角分别为30°,60°,90°的三角形存在等角点;( )
②任意的三角形都存在等角点.( )
(2)如图(a),若P为△ABC的等角点,△PBC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等,且∠BAC=∠PBC,探究∠BPC,∠ABC,∠ACP之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(3)如图图(b),在△ABC中,∠BAC<∠ABC<∠ACB.若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点.求该三角形三个内角的度数.
答案
13.1.2 三角形中角的关系
1.D 已知∠A=100°-∠B,则∠A+∠B=100°,∠C=180°-(∠A+∠B)=80°.
若∠A和∠B其中有一个角大于90°,则该三角形为钝角三角形;
若∠A和∠B两个角均小于90°,则该三角形为锐角三角形;
若∠A和∠B其中有一个角等于90°,则该三角形为直角三角形.
综上所述,△ABC是钝角三角形,直角三角形,锐角三角形均有可能.故选D.
2.B 对于①,因为∠A+∠B=∠C,
所以∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,解得∠C=90°,所以△ABC是直角三角形,故①正确;
对于②,因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,
易得∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形,故②正确;
对于③,设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,3x=90°,
所以△ABC是直角三角形,故③正确;
对于④,设∠C=x,则∠A=∠B=2x,
所以2x+2x+x=180°,解得x=36°,
所以2x=72°,故④错误;
对于⑤,∠A=2∠B=3∠C,所以∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+∠A=180°,
所以∠A=,故⑤错误.
综上所述,能判定△ABC为直角三角形的条件有①②③,共3个.故选B.
3.解:(1)根据题意,得∠A+∠B+∠C=180°.
因为∠A=∠C-∠B,即∠C=∠A+∠B,
所以2∠C=180°,
所以∠C=90°,
则∠A+∠B=90°.
因为∠B=2∠A,
所以3∠A=90°,
所以∠A=30°.
故∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
(2)△ABC按角分类,属于直角三角形.
4.A 因为∠A=20°,∠B=4∠C,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
所以20°+4∠C+∠C=180°,
解得∠C=32°.
故选A.
5.A 因为∠A=50°,
所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.
因为BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=65°,
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°.
故选A.
6.40 由三角形内角和定理,得180°-(∠1+∠2)+180°-(∠3+∠4)+∠5=180°,整理,得∠5=(∠1+∠2+∠3+∠4)-180°=220°-180°=40°.
7.解:设这个“特征三角形”的三个内角分别为α,β,γ,其中α=2β.
(1)因为α=2β,且α+β+γ=180°,
所以当α=100°时,β=50°,则γ=30°,所以这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.理由如图下:
因为α=2β,且α+β+γ=180°,
所以当α=120°时,β=60°,则γ=0°,
此时不能构成三角形,
所以不存在“特征角”为120°的“特征三角形”.
8.35° 如图图,由反射角等于入射角,得∠1=∠3,∠2=∠4.
因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.
因为∠AOB=110°,且∠AOB+∠3+∠4=180°,
所以∠3+∠4=70°,
所以∠3=35°,即∠1=35°.
9.解:如图图,由题意,得∠DBA=40°,∠DBC=85°,DB∥CE,
所以∠ECB=180°-85°=95°,∠ABC=85°-40°=45°.
因为∠ECA=45°,
所以∠BCA=95°-45°=50°,
所以∠BAC=180°-50°-45°=85°.
10.解:能验证.验证过程:连接AC,延长AB,CD交于点O.
在△AOC中,因为∠BAC+∠DCA+∠O=180°,
且当∠AOC=85°时符合规定,
所以∠BAC+∠DCA=180°-85°=95°,
所以只要测得∠BAC+∠DCA=95°,就能验证这个模板是合格的.
11.解:(1)①√ ②×
(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.
理由:因为∠BPC+∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB+∠BAC=∠ABP+∠PBC+∠BAC+∠ACP+∠PCB=180°,
所以∠BPC=∠BAC+∠ACP+∠ABP.
当∠BAC=∠PBC时,∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.
(3)因为P为△ABC的三个内角的平分线的交点,
所以∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.
因为P为△ABC的等角点,且∠BAC<∠ABC<∠ACB,
所以∠PBC=∠BAC,∠PCB=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC,∠ACB=2∠PCB=4∠BAC.
又因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°,
所以∠BAC=°,∠ABC=°,∠ACB=°.13.1.1 三角形中边的关系
考向题组训练
命题点 1 三角形的概念及分类
1.至少有两边相等的三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
2.如图,以AE为边的三角形有 个,它们分别是 .在△ADE中,AE的对角是 ,∠AED的对边是 .
3.如图,平面上有A,B,C,D,E五个点,其中点B,C,D及点A,E,C分别在同一条直线上,那么以这5个点中的3个点为顶点的三角形有 个.
4.如图果用a1,a2,a3,a4分别表示①②③④中三角形的个数,那么a1=3,a2=8,a3=15,a4= .如图果按照上述规律继续画图,那么a9与a8之间的关系是a9=a8+ .
命题点 2 判断三条线段能否构成三角形
5.(2021淮安)一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是 .
6.有4条线段,它们的长度分别为2,3,4,5,则以其中3条线段为边可以构成三角形的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图所示的3个三角形分别是用6根、7根、8根等长的火柴首尾顺次相接搭成的.
(1)4根等长的火柴首尾顺次相接 搭成三角形(填“能”或“不能”);
(2)9根、11根长度均为1的火柴首尾顺次相接能搭成几种不同的三角形 请分别写出它们的边长.
命题点 3 利用三角形的三边关系确定边的取值范围
8.如图,为了估计池塘岸边A,B两点间的距离,小玥同学在池塘一侧选取一点O,测得OA=12米,OB=7米,则A,B间的距离不可能是 ( )
A.5米 B.7米 C.10米 D.18米
9.三角形的三边长分别为3,2a-1,4,则a的取值范围是 .
10.如图果将长度分别为a-2,a+5和a+2的三条线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,那么a的取值范围是 .
命题点 4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用
11.已知a,b,c为等腰三角形ABC的三边长,并满足|a-4|+(c-8)2=0,则△ABC的周长为 ( )
A.16 B.20 C.18或20 D.16或20
12.已知一等腰三角形的周长为17 cm,一边长为7 cm,则其腰长为 .
命题点 5 利用三角形的三边关系进行说理
13.如图,O是△ABC内的一点,试说明:OA+OB+OC>(AB+BC+CA).
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14.观察并探求下列各问题.
(1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,试观察比较BP+PC与AB+AC的大小;
(2)将(1)中点P移至△ABC内,如图图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC周长的大小,并说明理由;
(3)将(2)中点P变为两个点P1,P2,如图图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由;
(4)若将(3)中的四边形BP1P2C的顶点B,C移至△ABC内,得四边形B1P1P2C1,如图图④,试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
答案
13.1.1 三角形中边的关系
1.B
2.3 △AEC,△AED,△AEB ∠ADE AD
3.8
4.24 19 第2个图形比第1个图形中三角形的个数增加5,第3个图形比第2个图形中三角形的个数增加7,第4个图形比第3个图形中三角形的个数增加9……所以a4=24,a9=a8+19.
5.4 设第三边的长为a.
根据三角形的三边关系,知4-1
即3又因为第三边的长为偶数,
所以a=4.
故答案为4.
6.C 4条线段任意取3条,可以为①2,3,4;②2,3,5;③2,4,5;④3,4,5.根据三角形的三边关系,①③④可以组成三角形,②不可以组成三角形.故选C.
7.解:(1)不能
(2)9根火柴首尾顺次相接能搭成3种不同的三角形,边长分别为1,4,4;2,3,4;3,3,3.
11根火柴首尾顺次相接能搭成4种不同的三角形,边长分别为1,5,5;2,4,5;3,3,5;3,4,4.
8.A 连接AB,根据三角形的三边关系可得12-79.1故答案为110.a>5 因为-2<2<5,所以a-25,则a的取值范围是a>5.
11.B
12.7 cm或5 cm 当7 cm为腰长时,底边长为3 cm,符合三角形的三边关系;当7 cm为底边长时,腰长为5 cm,符合三角形的三边关系.故腰长为7 cm或5 cm.
13.解:在△ABO中,OA+OB>AB.
同理,得OA+OC>CA,OB+OC>BC,
所以2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA,
所以OA+OB+OC>(AB+BC+CA).
14.解:(1)BP+PC(2)△BPC的周长<△ABC的周长.
理由:如图图①,延长BP交AC于点M.
在△ABM中,BP+PM在△PMC中,PC两式相加,整理得BP+PC所以BP+PC+BC即△BPC的周长<△ABC的周长.
(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长.
理由:如图图②,分别延长BP1,CP2交于点M.
由(2)知,BM+CM(4)四边形B1P1P2C1的周长<△ABC的周长.理由:分别延长C1P2,B1C1,交AB,AC于点H,K,双向延长B1P1,分别交AB,BC于点M,N,如图图③.
在△BNM中,NB1+B1P1+P1M又显然有B1C1+C1KC1P2+P2HP1P2将以上各式相加,整理得B1P1+P1P2+C1P2+B1C1即四边形B1P1P2C1的周长<△ABC的周长.