第6课时 一次函数的应用——方案决策
考向题组训练
命题点 1 利用图象进行决策
1.是某电信公司提供的A,B两种方案的移动通信费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系,则下列结论中正确的有 ( )
(1)若通话时间少于120分钟,则A方案比B方案便宜;(2)若通话时间超过200分钟,则B方案比A方案便宜;(3)若通信费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多;(4)当通话时间为170分钟时,A方案与B方案的费用相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,某企业急需汽车,但因资金问题无力购买,想租一辆汽车.一国有出租车公司的收费方式是每百千米收租车费110元,一个体出租车公司的收费方式是每月收租车费1000元,油钱600元,另外每百千米收费10元,若该企业每月有30百千米左右的业务,你建议租 出租车公司的车.
3.如图是某电信公司甲、乙两种业务每月通话费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系图象.某企业的周经理想从两种业务中选择一种,如图果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上,那么他选择 种业务合算.
4.(2021云南)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一:没有底薪,只付销售提成;
方案二:底薪加销售提成.
如图中的l1,l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一,方案二付给销售人员的工资y1(单位:元)和y2(单位:元)与其当月鲜花销售量x(x≥0)(单位:千克)的函数关系.
(1)分别求出y1,y2与x之间的函数解析式;
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克,但其3月份的工资超过2000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资
命题点 2 利用函数性质及不等式进行决策
5.某服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元;做一套N型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利润45元.当生产M型号的时装多少套时,能使该厂所获利润最大 ( )
A.40套 B.44套 C.66套 D.80套
6.春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.
(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并求出最大利润.
7.(2021西宁)城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片.“五四”期间,西宁市某集团校计划组织乡村学校八年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”.现需租用A,B两种型号的客车共10辆,两种型号客车的载客量(不包括司机)和租金信息如图下表:
型号 载客量(人/辆) 租金单价(元/辆)
A 16 900
B 22 1200
若设租用A型客车x辆,租车总费用为y元.
(1)请写出y与x之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围);
(2)据资金预算,本次租车总费用不超过11800元,则A型客车至少需租几辆
(3)在(2)的条件下,要保证全体师生都有座位,有哪几种租车方案 请选出最省钱的租车方案.
8.(2021青岛)某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液,进货时发现,甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元,用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的.销售时,甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶,乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶.
(1)求两种品牌洗衣液每瓶的进价分别是多少;
(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶,且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元,超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶,才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大 最大利润是多少元
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9.某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元.
(2)该手机店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.
①求y关于n的函数表达式;
②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大 并求出最大利润.
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30答案
第6课时 一次函数的应用——方案决策
1.D 当0≤x≤120时,yA=30.当x>120时,yA=0.4x-18.当0≤x≤200时,yB=50.当x>200时,yB=0.4x-30.当x≤120时,A方案比B方案便宜20元,故(1)正确;当x>200时,B方案比A方案便宜12元,故(2)正确;当y=60时,A方案:60=0.4x-18,所以x=195,B方案:60=0.4x-30,所以x=225,故(3)正确;当A方案与B方案的费用相等时,通话时间为170分钟,故(4)正确.故选D.
2.个体 从图象上可以看出:当x<16时,y国有16时,y国有>y个体.因为该企业每月有30百千米左右的业务,所以应选个体出租车公司.
3.甲 设乙种业务对应的函数表达式为y=kx,则50k=10,解得k=0.2,即乙种业务对应的函数表达式为y=0.2x.设甲种业务对应的函数表达式为y=ax+b,得解得即甲种业务对应的函数表达式为y=0.1x+10.令0.2x=0.1x+10,得x=100,即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多.由图象可知,当通话时间在100分钟以上时,选择甲种业务比较合算.故答案为甲.
4.解:(1)设y1=k1x,
根据题意,得40k1=1200,
解得k1=30,
所以y1=30x(x≥0).
设y2=k2x+b,
根据题意,得
解得
所以y2=10x+800(x≥0).
(2)当x=70时,
y1=30×70=2100>2000,
y2=10×70+800=1500<2000.
所以这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资.
5.B 设生产M型号的时装x套,所获利润为y元,则y=50x+45(80-x)=5x+3600.由题意得1.1x+0.6(80-x)≤70且0.4x+0.9(80-x)≤52,解得40≤x≤44.因为x为整数,所以x的值为40,41,42,43,44,所以y与x的函数表达式是y=5x+3600(x的值为40,41,42,43,44).因为k=5>0,所以y随x的增大而增大,所以当x=44时,y最大=3820,即生产M型号的时装44套时,该厂所获利润最大,是3820元.故选B.
6.解:(1)设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元,y元.根据题意,得
解得
答:甲、乙两种商品每件的进价分别是30元,70元.
(2)设购进甲种商品a件,获利为w元,则
w=(40-30)a+(90-70)(100-a)=-10a+2000.
因为a≥4(100-a),解得a≥80.
因为-10<0,所以w随a的减小而增大,
所以当a=80时,w取得最大值,
此时w=-800+2000=1200,
即获利最大的进货方案是购进甲种商品80件,乙种商品20件,最大利润是1200元.
7.解:(1)y=900x+1200(10-x)=-300x+12000.
(2)根据题意,得-300x+12000≤11800,
解得x≥.
因为x应为正整数,
所以x≥1,
所以A型客车至少需租1辆.
(3)根据题意,得16x+22(10-x)≥200,
解得x≤,
所以≤x≤.
因为x应为正整数,所以x取1,2,3,
所以租车方案有3种.
方案一:A型客车租1辆,B型客车租9辆;
方案二:A型客车租2辆,B型客车租8辆;
方案三:A型客车租3辆,B型客车租7辆.
因为y=-300x+12000,k=-300<0,
所以y随x的增大而减小,
所以当x=3时,函数值y最小,
所以最省钱的租车方案是A型客车租3辆,B型客车租7辆.
8.解:(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元,则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x-6)元.
依题意得=×,
解得x=30,
经检验,x=30是原方程的解,且符合题意,
所以x-6=24(元).
答:甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元,乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元.
(2)设可以购进甲品牌洗衣液m瓶,则可以购进(120-m)瓶乙品牌洗衣液,两种洗衣液完全售出后所获利润为y元.
依题意得30m+24(120-m)≤3120,
解得m≤40.
依题意得y=(36-30)m+(28-24)(120-m)=2m+480.
因为k=2>0,所以y随m的增大而增大,
所以当m=40时,y取最大值,y最大值=2×40+480=560.
120-40=80(瓶).
答:超市应购进甲品牌洗衣液40瓶,乙品牌洗衣液80瓶,才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大,最大利润是560元.
9.解:(1)设每部A型手机的销售利润为x元,每部B型手机的销售利润为y元.
根据题意,得解得
答:每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元.
(2)①购进B型手机n部,则购进A型手机(110-n)部,
所以y=150(110-n)+100n=-50n+16500,
其中,110-n≤2n,
即n≥36.
所以y关于n的函数表达式为y=-50n+16500.
②因为-50<0,
所以y随n的增大而减小.
因为n≥36,且n为整数,
所以当n=37时,y取得最大值,最大值为-50×37+16500=14650(元).
答:购进A型手机73部,B型手机37部时,才能使销售总利润最大,最大利润为14650元.
(3)根据题意,得y=150(110-n)+(100+m)n=(m-50)n+16500,其中,36≤n≤80.
当30所以当n=37时,y取得最大值,
即购进A型手机73部,B型手机37部时,可使销售总利润最大;
当m=50时,m-50=0,
所以y=16500,
即购进B型手机的数量n是满足36≤n≤80的所有整数时,获得利润相同;
当50所以当n=80时,y取得最大值,
即购进A型手机30部,B型手机80部时,可使销售总利润最大.第7课时 一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系
考向题组训练
命题点 1 一次函数与一元一次方程的联系
1.一次函数y=kx+b中,x与y的部分对应值如图下表:
x -2 -1 0 1 2
y -6 -4 -2 0 2
那么一元一次方程kx+b=0的解是 ( )
A.x=0 B.x=1 C.x=1.5 D.x=2
2.(2021抚顺)如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程kx+b=2的解是 ( )
A.x= B.x=1 C.x=2 D.x=4
3.如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程kx+b=0的解是 .
命题点 2 通过解一元一次方程确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标
4.如图,一次函数y=-(3x-b)的图象经过直线y=(x+1)与x轴的交点A,试确定b的值,并计算两条直线与y轴的交点B,C和点A构成的三角形的面积.
5.已知直线经过(2,5),(-6,-7)两点.
(1)求直线的函数表达式;
(2)若该直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点B作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求三角形ABP的面积.
命题点 3 一次函数与一元一次不等式的联系
6.如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为( )
A.x>-2 B.x<-2 C.x>4 D.x<4
7.(2021福建)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1
8.如图,正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(m,2),一次函数的图象经过点B(-2,-1).
(1)求一次函数的表达式;
(2)请直接写出不等式组-1思维拓展培优
9.为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,中的折线反映了每户每月用电所付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系.
(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:
档次 第一档 第二档 第三档
每户每月用 电量x(度) 0(2)小明家某月用电120度,需交电费多少元
(3)求第二档每户每月所付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数表达式;
(4)当每户每月用电量超过230度时,超过部分每度电要比第二档内每度电多付电费m元.小刚家某月用电290度,交电费153元,则m的值为 .
答案
第7课时 一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系
1.B 由表格可知,当x=1时,y=0,即方程kx+b=0的解是x=1.
2.B 因为直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),
所以2=2m,
所以m=1,所以P(1,2),
所以当x=1时,y=kx+b=2.
故关于x的方程kx+b=2的解是x=1.
故选B.
3.x=2 因为一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(2,0),
所以关于x的方程kx+b=0的解是x=2.
故答案为x=2.
4.解:对于直线y=(x+1),令y=0,则(x+1)=0,解得x=-1.因此直线y=(x+1)与x轴的交点坐标是A(-1,0).把(-1,0)代入函数表达式y=-(3x-b),则-×[3×(-1)- b]=0,解得b=-3,所以y=-(3x-b)=-(3x+3).直线y=(x+1)与y轴的交点坐标是B0,,直线y=-(3x+3)与y轴的交点坐标是C0,-,因此BC的长度是--=2.又因为OA=1,所以三角形ABC的面积是×2×1=1.
5.解:(1)设直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将(2,5),(-6,-7)代入函数表达式,
得
解得
则直线的函数表达式为y=x+2.
(2)由y=x+2知,当y=0时,x=-;当x=0时,y=2.所以直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B(0,2),则OA=,OB=2.
又因为OP=2OA,则AP=OP+OA=3OA=4或AP=OP-OA=OA=,
所以S三角形ABP=×4×2=4或S三角形ABP=××2=,所以三角形ABP的面积为4或.
6.A
7.C 把(-1,0)代入y=kx+b得-k+b=0,得b=k,
则k(x-1)+b>0化为k(x-1)+k>0,
而k>0,
所以x-1+1>0,解得x>0.
故选C.
8.(1)y=x+1 (2)x>1
9.解:(1)根据图象,填表如图下:
档次 第一档 第二档 第三档
每户每月用 电量x(度) 0230
(2)在第一档内,电费单价为63÷140=0.45(元/度),小明家某月用电120度,需交电费0.45×120=54(元).
(3)在第二档内,电费单价为=0.5(元/度).设第二档每户每月所付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数表达式为y=0.5x+c.
将(230,108)代入y=0.5x+c,得108=0.5×230+c,解得c=-7,
所以第二档每户每月所付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数表达式为y=0.5x-7(140(4)根据题意,第三档每月所付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数表达式为y=108+(x-230)(0.5+m).
因为小刚家某月用电290度,交电费153元,
所以153=108+(290-230)(0.5+m),
解得m=0.25.第2课时 一次函数的图象
考向题组训练
命题点 1 一次函数的图象与画法
1.在平面直角坐标系中,一次函数y=x-1的图象是 ( )
2.一次函数y=x+1的图象是经过点(0, )和点( ,0)的一条直线.
3.在给定的平面直角坐标系内画出函数y=2x-4的图象.
命题点 2 一次函数图象的平移
4.一次函数y=x-1的图象向上平移2个单位后,不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.把直线y=-2x向上平移后得到直线AB,若直线AB经过点(m,n),且2m+n=8,则直线AB的表达式为 .
6.(2021北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位得到.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
命题点 3 截距
7.已知一次函数y=(k-2)x+k2-4是正比例函数,则直线y=-x+2k在y轴上的截距是 ( )
A.-2 B.2或-2 C.4或-4 D.-4
8.已知直线y=5x+2n-3与直线y=-x+4n-1在y轴上的截距相等,则n= .
9.已知关于x的一次函数y1=(m2-4)x+与y2=(m2-2)x+2m-3的图象在y轴上的截距互为相反数,求这两个函数的表达式.
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10.小泽同学的小论文《记一次关于“绝对值函数”的发现》的片段如图下:有一种新的函数“绝对值函数”,下面是我的探索与发现:
首先画函数y=|x|的图象……
进一步,我想到函数y=|x|-1和函数y=|x-1|,列表,描点,连线,很快得到了它们的图象……
对比三个函数的图象后,我发现,原来三个绝对值函数的图象很有意思,它们都有最低点,还可以通过相互平移来得到……
(1)请直接在如图的三个平面直角坐标系中分别画出以上三个函数的图象;
(2)分别说出当x为何值时,函数有最小值,最小值分别是多少
(3)将函数y=|x|的图象怎样平移可以分别得到函数y=|x|-1和函数y=|x-1|的图象
答案
第2课时 一次函数的图象
1.B 当x=0时,y=0-1=-1;当x=1时,y=1-1=0.所以一次函数y=x-1的图象是经过点(0,-1)和点(1,0)的一条直线.故选B.
2.1 -2 把x=0代入y=x+1,得y=1;把y=0代入y=x+1,得x+1=0,解得x=-2.
3.解:当x=0时,y=-4;当y=0时,2x-4=0,所以x=2.过点(0,-4)和点(2,0)画一条直线,就是函数y=2x-4的图象,如图图.
4.D 因为一次函数y=x-1的图象向上平移2个单位后所得图象的函数表达式为y=x+1,所以平移后的图象不经过第四象限.故选D.
5.y=-2x+8 直线y=-2x向上平移后得到直线AB,则直线AB的表达式可设为y=-2x+b.
把点(m,n)代入,得n=-2m+b,解得b=2m+n.
因为2m+n=8,所以b=8,
所以直线AB的表达式为y=-2x+8.
故答案为y=-2x+8.
6.解:(1)因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位得到,
所以这个一次函数的表达式为y=x-1.
(2)把x=-2代入y=x-1,得y=-2,
所以函数y=mx(m≠0)与一次函数y=x-1的交点为(-2,-2),
把点(-2,-2)代入y=mx,得m=1.
因为当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x-1的值,
所以≤m≤1.
7.D 因为一次函数y=(k-2)x+k2-4是正比例函数,所以解得k=-2.
所以直线y=-x+2k在y轴上的截距是-4.故选D.
8.-1 由题意可知2n-3=4n-1,解得n=-1.
9.解:由题意,得+2m-3=0.
若1-m≥0,则1-m+2m-3=0,
解得m=2,此时m2-4=0,不合题意;
若1-m<0,则m-1+2m-3=0,
解得m=.
故y1=-x+,y2=-x-.
10.解:(1)如图图:
(2)当x=0时,函数y=|x|有最小值,最小值是0;当x=0时,函数y=|x|-1有最小值,最小值是-1;当x=1时,函数y=|x-1|有最小值,最小值是0.
(3)将函数y=|x|的图象向下平移1个单位就得到函数y=|x|-1的图象,将y=|x|的图象向右平移1个单位就得到函数y=|x-1|的图象.第5课时 一次函数的应用——分段函数
考向题组训练
命题点 1 在实际问题中确定分段函数的表达式
1.电信公司在某市推出无线市话小灵通,收费标准如图下:前3分钟(不足3分钟按3分钟计)为0.2元,3分钟后每分钟(不足1分钟按1分钟计)收0.1元,则通话的费用y(元)与一次通话的时间x(x≥3,单位:分)之间的函数表达式是 ( )
A.y=0.2x+0.1 B.y=0.1x
C.y=0.1x-0.1 D.y=0.1x+0.5
2.某市出租车的收费标准如图下:3千米以内(包括3千米)收费8元,超过3千米,每增加1千米加收1.6元,则车费y(元)与路程x(千米)之间的函数表达式是y= .
3.小明到超市买练习本,超市正在打折促销:购买10本以上,从第11本开始按标价打折优惠,购买练习本所花费的钱数y(元)与练习本的本数x(本)之间的关系如图所示,那么在这个超市买20本练习本需要 元.
4.小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间按原路返回,刚好在第16 min回到家中.设小明出发第t min时的速度为v m/min,离家的距离为s m,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第2 min时离家的距离为 m;
(2)当2(3)画出s与t之间的函数图象.
命题点 2 从分段函数图象中获取信息解题
5.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内水量y(单位:L)与时间x(单位: min)之间的关系如图所示,则8 min时容器内的水量为 ( )
A.20 L B.25 L C.27 L D.30 L
6.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,相向而行,匀速前往B地、A地,两人相遇时停留了4 min,又各自按原速前往目的地,甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min)的函数关系如图所示.有下列说法:①A,B两地之间的距离为1200 m;②乙行走的速度是甲的1.5倍;③b=960;④a=34.其中正确的有 ( )
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④
7.如图①,在某个盛水容器内有一个小水杯,小水杯内有部分水,现在匀速持续地向小水杯内注水,注满小水杯后,继续注水,小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图图②所示的图象,则至少需要 s才能把小水杯注满.
8.“和谐号”火车从车站出发,在行驶过程中速度y(单位: m/s)与时间x(单位:s)的关系如图所示,其中线段BC∥x轴.
请根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)当0≤x≤10时,求y关于x的函数表达式;
(2)求点C的坐标.
9.某种水泥储存罐的容量为25米3,它有一个输入口和一个输出口,从某一时刻开始,只打开输入口,匀速向储存罐内注入水泥,3分钟后,再打开输出口,匀速向运输车输出水泥,又经过2.5分钟储存罐注满,关闭输入口,保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥,当输出的水泥总量达到8米3时,关闭输出口,储存罐内的水泥量y(米3)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.
(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量;
(2)当3≤x≤5.5时,求y与x之间的函数表达式;
(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 米3,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分钟.
10.(2021宿迁)一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶,两车在途中相遇时,快车恰巧出现故障,慢车继续驶往甲地,快车维修好后按原速继续驶往乙地,两车到达各地终点后停止,两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图:
(1)快车的速度为 km/h,点C的坐标为 ;
(2)慢车出发多少小时后,两车相距200 km
思维拓展培优
11.某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象(如图),图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第24天的日销售量是 件,日销售利润是 元;
(2)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天 试销售期间,日销售利润最大是多少元
答案
第5课时 一次函数的应用——分段函数
1.C
2. 根据题意,得①当03时,y=8+1.6(x-3)=1.6x+3.2.所以车费y(元)与路程x(千米)之间的函数表达式为y=
3.34 当0≤x≤10时,设函数的表达式为y=kx,因为点(10,20)在此函数图象上,所以20=10k,得k=2,所以当0≤x≤10时,函数的表达式为y=2x;当x≥10时,设函数的表达式为y=mx+n,因为点(10,20),(15,27)在此函数的图象上,所以解得所以当x≥10时,函数的表达式为y=1.4x+6.将x=20代入y=1.4x+6,得y=1.4×20+6=34.
4.解:(1)100×2=200(m).
故小明出发第2 min时离家的距离为200 m.
故答案为200.
(2)当2故当2(3)s与t之间的函数表达式为
s=
图象如图图所示.
5.B (30-20)÷(12-4)=1.25(L/min),
20+1.25×(8-4)=25(L).
故选B.
6.D 当x=0时,y=1200,所以A,B两地之间的距离为1200 m,结论①正确;乙的速度为1200÷(24-4)=60(m/min),甲的速度为1200÷12-60=40(m/min),60÷40=1.5,所以乙行走的速度是甲的1.5倍,结论②正确;b=(60+40)×(24-4-12)=800,结论③错误;a=1200÷40+4=34,结论④正确.故选D.
7.5 设高度上升阶段的一次函数的表达式为y=kx+b.
将(0,1),(2,5)分别代入,得解得所以y=2x+1.
当y=11时,2x+1=11,解得x=5.
所以至少需要5 s才能把小水杯注满.
8.解:(1)当0≤x≤10时,设y关于x的函数表达式为y=kx.
将(10,50)代入,得10k=50,解得k=5,
即当0≤x≤10时,y关于x的函数表达式为y=5x.
(2)设当10由题意,得
解得
即当10当x=30时,y=2×30+30=90.
因为线段BC∥x轴,所以点C的坐标为(60,90).
9.解:(1)=5(米3).
答:每分钟向储存罐内注入的水泥量为5米3.
(2)设当3≤x≤5.5时,y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
因为该函数图象经过(3,15)和(5.5,25)两点,
所以解得
所以当3≤x≤5.5时,y与x之间的函数表达式为y=4x+3.
(3)1 11
提示:当0≤x<3时,储存罐每分钟增加水泥量为5米3,当3≤x≤5.5时,储存罐每分钟增加水泥量为4米3,
则储存罐每分钟向运输车输出的水泥量为5-4=1(米3);
若要使输出的水泥总量达到8米3,则输出口需打开8分钟,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为8+3=11(分).
10.解:(1)由图象可知,慢车的速度为60÷(4-3)=60(km/h).
因为两车3 h相遇,此时慢车走的路程为60×3=180(km),
所以快车的速度为(480-180)÷3=300÷3=100(km/h).
通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点,
所以慢车到达终点时所用时间为480÷60=8(h),
所以点C坐标为(8,480).
故答案为100,(8,480).
(2)设慢车出发t h后两车相距200 km.
①相遇前两车相距200 km,
则60t+100t+200=480,
解得t=.
②相遇后两车相距200 km,
则60t+100(t-1)-480=200,
解得t=.
所以慢车出发 h或 h后,两车相距200 km.
11.解:(1)340-(24-22)×5=330(件),
330×(8-6)=660(元).
故答案为330,660.
(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx.
将(17,340)代入y=kx中,
得340=17k,解得k=20,
所以线段OD所表示的y与x之间的函数表达式为y=20x.
根据题意得线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=340-5(x-22)=-5x+450.
联立两线段所表示的函数表达式组成方程组,得
解得
所以交点D的坐标为(18,360).
所以y与x之间的函数表达式为
y=
(3)当0≤x≤18时,根据题意得(8-6)×20x≥640,解得x≥16;
当18所以当16≤x≤26时,日销售利润不低于640元.26-16+1=11(天),
所以日销售利润不低于640元的天数共有11天.
因为点D的坐标为(18,360),
所以日销售量最大为360件,
360×2=720(元),
所以试销售期间,日销售利润最大是720元.12.2 第1课时 一次函数的概念与正比例函数的
概念、图象与性质
考向题组训练
命题点 1 识别一次函数
1.下列函数中,是一次函数的有 ( )
①y=x;②y=3x+1;③y=;④y=kx-2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
命题点 2 由一次函数的概念确定相关字母的值
2.若函数y=(k+3)x+k-1是正比例函数,则k的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.任意实数
3.已知关于x的函数y=(m-1)x|m|+5m是一次函数,则m的值为 ( )
A.1 B.-1 C.0或-1 D.1或-1
命题点 3 正比例函数的图象
4.在下列各图象中,可以表示函数y=-kx(k<0)的图象的是 ( )
5.如图所示,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的图象分别为l1,l2,l3,l4,则下列关系中正确的是 ( )
A.k1C.k16.定义运算“*”为:a*b=如图:1*(-2)=-1×(-2)=2,则函数y=2*x的图象大致是 ( )
7.将2×2的正方形网格按所示放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD的顶点都在格点上.若直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围是 ( )
A.k≤2 B.k≥ C.≤k≤2 D.命题点 4 由正比例函数的图象与性质确定相关字母的值或取值范围
8.已知正比例函数y=(k+5)x,且y随x的增大而减小,则k的取值范围是 ( )
A.k>5 B.k<5 C.k>-5 D.k<-5
9.已知正比例函数y=(m-3)x的图象经过第二、四象限,则m的取值范围是 ( )
A.m≥3 B.m>3 C.m≤3 D.m<3
10.已知正比例函数y=kx,当-2≤x≤2时,函数有最大值3,则k的值为 .
命题点 5 利用正比例函数的性质比较大小
11.如图果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有 ( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
12.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x的图象上的两点,则下列判断正确的是 ( )
A.y1>y2 B.y1C.当x1y2 D.当x113.已知函数y=3x的图象经过点A(-1,y1),B(-2,y2),则y1-y2 0(填“>”“<”或“=”).
14.已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.
(1)求k的值;
(2)画出函数的图象;
(3)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;
(4)若点A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.
思维拓展培优
15.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使三角形OAP的面积为4 如图果存在,求出点P的坐标;如图果不存在,请说明理由.
答案
12.2 第1课时 一次函数的概念与正比例函数的概念、图象与性质
1.B ①②是一次函数,③不是一次函数,④不一定是一次函数.
2.C 因为函数y=(k+3)x+k-1是正比例函数,所以k-1=0且k+3≠0,解得k=1.故选C.
3.B 由题意可知解得m=-1.
故选B.
4.C 因为k<0,所以-k>0,所以函数y随自变量x的增大而增大.因为函数为正比例函数,所以其图象过原点.故选C.
5.B 首先根据直线经过的象限,知k2<0,k1<0,k4>0,k3>0,再根据直线越陡,|k|越大,知|k2|>|k1|,|k4|<|k3|,则k26.C y=2*x=当x>0时,图象是函数y=2x的图象中y轴右侧的部分;当x≤0时,图象是函数y=-2x的图象中y轴左侧的部分.故选C.
7.C 由题意得点A的坐标为(1,2),点C的坐标为(2,1).因为当直线y=kx经过点A时,k=2;当直线y=kx经过点C时,k=,所以当直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点时,k的取值范围是≤k≤2.故选C.
8.D 因为正比例函数y=(k+5)x中y随x的增大而减小,所以k+5<0,所以k<-5.故选D.
9.D 因为正比例函数y=(m-3)x的图象经过第二、四象限,所以m-3<0,解得m<3.故选D.
10.或- 当k>0时,函数y随x的增大而增大,所以当x=2时,y=3,
所以2k=3,解得k=;
当k<0时,函数y随x的增大而减小,
所以当x=-2时,y=3,
所以-2k=3,解得k=-.所以k的值为或-.
故答案为或-.
11.D 因为A,B是不同象限的两点,而正比例函数的图象经过第一、三象限或第二、四象限.由点A与点B的横、纵坐标可知:当点A与点B在第一、三象限时,横、纵坐标的符号应一致,显然不可能.当点A与点B在第二、四象限时,由点A在第四象限,得m<0,由点B在第二象限,得n<0.
故选D.
12.C 因为k=-1<0,所以y的值随x的增大而减小,所以当x1y2.故选C.
13.> 因为A(-1,y1),B(-2,y2)是函数y=3x的图象上的点,且-1>-2,所以y1>y2,所以y1-y2>0.
14.解:(1)因为点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,所以2k=-4,所以k=-2.
(2)略.
(3)由k=-2可得y=-2x,
因为点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,
所以m=-2×(-1)=2.
(4)对于y=-2x,因为k=-2<0,
所以y随x的增大而减小.
因为点A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,
所以y315.解:存在.
因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2.
设点P的坐标为(n,m),
因为三角形OAP的面积为4,
所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,
所以m=±4.
当m=4时,
把x=n,y=m=4代入y=2x,得4=2n,
所以n=2,此时点P的坐标为(2,4);
当m=-4时,
把x=n,y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,
所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).
综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).第3课时 一次函数的性质
考向题组训练
命题点 1 根据一次函数的性质确定图象位置
1.若b>0,则一次函数y=-x+b的图象大致是 ( )
2.直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则函数y=bx-k的图象可能是 ( )
3.(2021宁夏)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=kx+b(k≠0)的图象上,当x1y1,且kb>0,则在平面直角坐标系内,它的图象大致是 ( )
4.一次函数y1=ax+b与y2=bx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
命题点 2 根据一次函数的性质确定相关字母的值或取值范围
5.已知一次函数y=(k+2)x-1,且y随x的增大而增大,则k的取值范围是 ( )
A.k>2 B.k<2 C.k>-2 D.k<-2
6.在一次函数y=(m-2)+5中,若y随x的增大而减小,则m的值为 ( )
A.2或-2 B.3或-3 C.-3 D.3
7.若A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=ax+x-2图象上不同的两点,记m=(x1-x2)(y1-y2),则当m<0时,a的取值范围是 ( )
A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>-1
8.已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n).
(1)当m为何值时,y随x的增大而增大
(2)当m,n为何值时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方
(3)当m,n为何值时,函数图象经过原点
命题点 3 利用一次函数的性质比较大小
9.直线y=-x+1上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1A.y1>y2 B.y1=y2 C.y110.已知A(-2,m),B(2,n)是直线y=(k2+1)x-3上的两点,则m-n与0的大小关系是 ( )
A.m-n>0 B.m-n<0 C.m-n≥0 D.m-n≤0
11.A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k<0)的图象上不同的两点.若t=(x2-x1)(y2-y1),则
( )
A.t<0 B.t=0 C.t>0 D.t≤0
12.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上,且直线经过第一、二、四象限,当x1思维拓展培优
13.已知两个一次函数y=k1x+b1(k1≠0),y=k2x+b2(k2≠0),则称函数y=(k1+k2)x+b1b2为这两个函数的“和谐函数”.
(1)若一次函数y=kx+1与y=x+2b的“和谐函数”为y=4x-2,求k,b的值;
(2)若一次函数y=kx+1与y=x+2b的“和谐函数”的图象不经过第四象限,求k,b的取值范围;
(3)判断一次函数y=-2x+3与y=x+1的“和谐函数”在x>1时,y的值可以为3吗 说明理由.
14.定义[p,q]为一次函数y=px+q的“特征数”.
(1)若“特征数”为[k-1,k2-1]的一次函数的图象经过原点,求k的值;
(2)若“特征数”为[2m+1,m+2]的一次函数y随x的增大而减小,且它的图象与y轴的交点在x轴的上方,求整数m的值;
(3)如图何平移(2)中所求函数图象,得到“特征数”为[2m+1,0]的一次函数图象
答案
第3课时 一次函数的性质
1.C 一次函数y=kx+b中,k>0时,图象从左到右上升;k<0时,图象从左到右下降.b>0时,图象与y轴的交点在y轴上方;b=0时,图象与y轴的交点在原点;b<0时,图象与y轴的交点在y轴下方.因为k=-1<0,所以图象从左到右下降.因为b>0,所以图象与y轴的交点在y轴上方.故选C.
2.C 因为直线y=kx+b经过第一、三、四象限,所以k>0,b<0,所以-k<0,所以直线y=bx-k经过第二、三、四象限.故选C.
3.A 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上,当x1y1,且kb>0,
所以k>0,b>0,
所以直线y=kx+b经过第一、二、三象限.
故选A.
4.D
5.C 因为一次函数y=(k+2)x-1,y随x的增大而增大,所以k+2>0,所以k>-2.故选C.
6.C 由题意,得由①得m<2,由②得m=±3,所以m=-3.故选C.
7.C 因为A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=ax+x-2=(a+1)x-2图象上不同的两点,m=(x1-x2)(y1-y2)<0,所以该函数中y随x的增大而减小,所以a+1<0,解得a<-1.故选C.
8.解:(1)当2m+4>0时,y随x的增大而增大,解不等式2m+4>0,得m>-2.
(2)当2m+4≠0,3-n<0时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方,则m≠-2,n>3.
(3)当2m+4≠0,3-n=0时,函数图象经过原点,则m≠-2,n=3.
9.A 因为y=-x+1的系数k=-1<0,所以y随x的增大而减小,所以当x1y2.故选A.
10.B 因为k2+1>0,所以y随x的增大而增大.因为-2<2,所以m11.A 因为一次函数y=kx+2中k<0,所以此函数中y随x的增大而减小.①若x1>x2,则y10,y1-y2<0,所以t<0;②若x1y2,则x1-x2<0,y1-y2>0,所以t<0.故选A.
12.y1>y2 因为直线经过第一、二、四象限,
所以y随x的增大而减小.
因为x1所以y1与y2的大小关系为y1>y2.
故答案为y1>y2.
13.解:(1)由题意,得
所以k=3,b=-1.
(2)由题意,知一次函数y=kx+1与y=x+2b的“和谐函数”为y=(k+1)x+2b.
因为图象不经过第四象限,
所以所以k>-1,b≥0.
又因为k≠0,
所以k,b的取值范围分别为k>-1且k≠0,b≥0.
(3)在x>1时,y的值不可以为3.理由如图下:
由题意,知一次函数y=-2x+3与y=x+1的“和谐函数”的表达式为y=-x+3.
当x=1时,y=-1+3=2.
因为-1<0,所以y随着x的增大而减小,
所以当x>1时,y<2,
所以当x>1时,y的值不可以为3.
14.解:(1)由图象经过原点,可得k2-1=0,所以k=±1.又因为k-1≠0,所以k=-1.
(2)由题意,得解得-2所以整数m=-1.
(3)当m=-1时,m+2=1,则将(2)中所求函数的图象向下平移1个单位,可得到“特征数”为[2m+1,0]的一次函数图象.第4课时 用待定系数法确定一次函数的表达式
考向题组训练
命题点 1 已知一次函数图象上两点坐标或两组对应值求其表达式
1.鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)之间存在一种换算关系,下表是几组鞋长和“鞋码”的对应数值(注:“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码).设鞋长为x,“鞋码”为y,试判断点(x,y)在下列哪个函数的图象上 ( )
鞋长(cm) 16 19 21 23
鞋码(码) 22 28 32 36
A.y=2x+10 B.y=2x-10 C.y=-2x+10 D.y=-2x-10
2.已知y与x-2成正比例,当x=1时,y=-2,则当x=3时,y的值为 ( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
3.已知y与x成一次函数关系,当x=0时,y=3;当x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)当x=4时,求y的值.
4.已知一次函数的图象过(1,2)和(-2,-7)两点.
(1)求此一次函数的表达式;
(2)若点(a,6)在这个函数图象上,求a的值.
命题点 2 已知一次函数图象过一点及相关条件求其表达式
5.若直线y=kx+3过点(2,1),则k的值是 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
6.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0,2),且y随x的增大而增大,则m的值为 ( )
A.-1 B.3 C.1 D.-1或3
7.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),则此一次函数的表达式为 .
8.已知y=y1+y2,y1与x-2成正比例,y2与x+1成正比例,且当x=1时,y=0;当x=3时,y=6.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求出当x=-2时的函数值.
命题点 3 一次函数与三角形的面积相结合的问题
9.已知直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,则直线的函数表达式为
( )
A.y=-x-4 B.y=-2x-4
C.y=-3x+4 D.y=-3x-4
10.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,过点A(1,2)的直线y=kx+b与x轴交于点B,且S三角形AOB=4,则k的值为 .
11.已知直线l1经过点A(5,0)和点B,-5.
(1)求直线l1的函数表达式;
(2)设直线l2的函数表达式为y=-2x+2,且直线l2与x轴交于点D,与直线l1交于点C(3,-4),求三角形CAD的面积.
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12.如图,A,B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,三角形AOP的面积为6.
(1)求三角形COP的面积;
(2)求点A的坐标及p的值;
(3)若三角形BOP与三角形DOP的面积相等,求直线BD的函数表达式.
答案
第4课时 用待定系数法确定一次函数的表达式
1.B 设一次函数的表达式为y=kx+b,把(16,22),(19,28)分别代入,得解得所以y=2x-10.将其他几组数值代入验证,发现均满足此表达式.故选B.
2.A 因为y与x-2成正比例,
所以可设y=k(x-2).
由题意,得-2=k(1-2),解得k=2,则y=2x-4.
当x=3时,y=2×3-4=2.
故选A.
3.解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,
将x=0,y=3;x=2,y=7分别代入y=kx+b,得
解得
所以y与x之间的函数表达式为y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2x+3=2×4+3=11.
4.解:(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,
把(1,2)和(-2,-7)代入y=kx+b,
得解得
所以一次函数的表达式是y=3x-1.
(2)当y=6时,6=3x-1,
解得x=,所以a=.
5.C
6.B 因为一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0,2),所以|m-1|=2,所以m-1=2或m-1=-2,解得m=3或m=-1.因为y随x的增大而增大,所以m>0,所以m=3.故选B.
7.y=-x+10 由题意,设一次函数的表达式为y=-x+b,将(8,2)代入,得b=10,即一次函数的表达式为y=-x+10.
8.解:(1)设y1=k(x-2),y2=d(x+1),
则y=y1+y2=k(x-2)+d(x+1)=kx+dx-2k+d.因为当x=1时,y=0;当x=3时,y=6,
所以
整理,得解得
故y关于x的函数表达式为y=3x-3.
(2)当x=-2时,y=3×(-2)-3=-9.
9.B 直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-4),,0.因为直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,所以×4×-=4,解得k=-2,则直线的函数表达式为y=-2x-4.故选B.
10.-或 过点A作AC⊥x轴于点C.因为点A的纵坐标为2,所以AC=2.因为S三角形AOB=4,即OB·AC=4,解得OB=4,所以点B的坐标为(4,0)或(-4,0).将(1,2),(4,0)和(1,2),(-4,0)分别代入y=kx+b,即可求出k的值.
11.解:(1)设直线l1的函数表达式为y=kx+b,
把点A,B的坐标分别代入y=kx+b,
得解得k=2,b=-10,
所以直线l1的函数表达式是y=2x-10.
(2)如图图,对于y=-2x+2,
当y=0时,x=1,
即点D的坐标为(1,0).
所以OD=1.
因为A(5,0),
所以OA=5,
所以AD=5-1=4.
因为点C的坐标为(3,-4),
所以高为4,
所以S三角形CAD=×4×4=8.
12.解:(1)如图图,过点P作PE⊥y轴于点E,
因为点P的横坐标是2,
所以PE=2.
因为点C(0,2),
所以OC=2,
所以S三角形COP=OC·PE=×2×2=2.
(2)因为S三角形AOC=S三角形AOP-S三角形COP=6-2=4,
所以S三角形AOC=OA·OC=4,即OA×2=4,
所以OA=4,
所以点A的坐标是(-4,0).
设直线AP的函数表达式是y=kx+b,则解得
所以直线AP的函数表达式是y=x+2.
当x=2时,y=3,即p=3.
(3)设直线BD的函数表达式为y=mx+n(m≠0),
则B-,0,D(0,n).
因为P(2,3),三角形BOP与三角形DOP的面积相等,
所以3OB=2OD,
所以解得
所以直线BD的函数表达式为y=-x+6.
