沪科版数学八年级上册同步提优训练：15.2　线段的垂直平分线（word版含答案）

15.2　线段的垂直平分线
考向题组训练
　　　　　　　　
命题点 1　线段垂直平分线的尺规作图问题
1.如图,C,E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE长为半径画弧交l于A,B两点,又分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,下列结论不一定正确的是 (　　)
A.CD⊥l
B.点A,B关于直线CD对称
C.点C,D关于直线l对称
D.CD平分∠ACB
2.如图,一张纸上有线段AB.
(1)请用尺规作图,作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)若不用尺规作图,你还有其他的作法吗 请说明作法(不作图).
命题点 2　线段垂直平分线的性质
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是斜边AB的中点,ED⊥AB交BC于点D,且∠CAD∶∠BAD=5∶2,则∠BAC的度数为 (　　)
A.60° B.70° C.80° D.90°
4.(2021梧州)如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9,AC=6,则△ACD的周长是 (　　)
A.10.5 B.12 C.15 D.18
5.如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若△ADE的周长为19 cm,则BC=　　　　 cm.
命题点 3　线段垂直平分线的判定
6.如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 (　　)
A.作∠APB的平分线PC交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C.取AB的中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
7.如图,AB=AC,MB=MC.求证:直线AM垂直平分线段BC.
8.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
命题点 4　利用线段的垂直平分线解决实际问题
9.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定修建一个超市,使它到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　)
A.AC,BC两边上的高的交点处 B.∠BAC,∠ABC的平分线的交点处
C.AC,BC两边上中线的交点处 D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
10.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示.现要在道路AB的边缘上建一个休息亭M,使它到A,C两个点的距离相等,在图中确定休息亭M的位置.(要求:尺规作图,保留作图痕迹)
思维拓展培优 　
　　　　　　　
11. 如图,已知AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长.
12.如图所示,某汽车探险队要从A地穿越沙漠去B地,途中需要到河流l边为汽车加水,汽车在河边哪一点加水,才能使行驶的路程最短 请在图中帮汽车探险队确定这一点,并说明理由.
答案
15.2　线段的垂直平分线
1.C　 由作法得CD垂直平分AB,所以A,B选项正确;
连接AD,BD.因为AC=BC,AD=BD,CD=CD,所以△ACD≌△BCD,所以∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB,所以D选项正确;
因为AD不一定等于AC,所以C选项错误.故选C.
2.解:(1)如图图.
(2)折叠纸张,使点A与点B重合,则折痕所在的直线就是线段AB的垂直平分线(合理即可).
3.B　
4.C　 ∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线,∴BD=CD,
∴△ACD的周长=AD+AC+CD=AD+BD+AC=AB+AC.
∵AB=9,AC=6,
∴△ACD的周长=9+6=15.
故选C.
5.19　 ∵边AB的垂直平分线交BC于点D,边AC的垂直平分线交BC于点E,
∴AD=BD,AE=EC.
∵AD+AE+DE=19 cm,
∴BD+EC+DE=19 cm,即BC=19 cm.
故答案为19.
6.B　 要证明PA=PB需要作出AB上的中线(或垂线或∠APB的平分线).选项B中作出的辅助线同时满足了两个条件,不正确.故选B.
7.证明:∵AB=AC,MB=MC,
∴点A,M都在线段BC的垂直平分线上,
即直线AM垂直平分线段BC.
8.证明:在△AOB与△COD中,
∵
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
9.D　 设点O为超市的位置,连接OA,OB,OC.
∵超市到三个小区的距离相等,∴OA=OB=OC.
∵OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
∵OC=OA,
∴点O在AC的垂直平分线上,即O是AC,BC两边垂直平分线的交点.故选D.
10.解:如图图,作AC的垂直平分线交AB于点M,则点M即为所求.
11.解:∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC.
∵AC+AD+DC=14 cm,
∴AC+AD+DB=14 cm,
即AC+AB=14 cm.
设AB=x cm,AC=y cm,
则
解得
即AB=8 cm,AC=6 cm.
12.解:如图图,作法:(1)作点A关于直线l的对称点A';
(2)连接A'B交l于点C,则点C就是所求作的点.
理由:不妨在直线l上另取一点C',连接AC',A'C',C'B.
∵直线l是点A,A'的对称轴,∴直线l垂直平分AA'.
又∵点C,C'在对称轴上,
∴AC=A'C,AC'=A'C',
∴AC+CB=A'C+CB=A'B.
在△A'C'B中,
∵A'B∴AC+CB