第1课时 直角三角形全等的判定——“HL”
考向题组训练
命题点 1 直角三角形全等的判定“HL”及其应用
1.在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中,不能判定△ABC和△DEF全等的是
( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
2.如图,已知∠C=90°,CA=10,CB=5,AX⊥AC.点P和点Q都从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.
3.如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.
求证:AB∥CD.
4.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC,DB相交于点O.求证:OB=OC.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,连接AD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
(1)图中有几对全等的三角形,请一一列出;
(2)选择其中一对全等的三角形进行证明.
命题点 2 利用“HL”解决实际问题
6.如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等.若∠ABC=22°,则∠DFE的度数为 ( )
A.22° B.28° C.68° D.45°
7.如图,C是路段AB的中点,AG,BH是两条与AB垂直的道路.盈盈和贝贝两人从点C同时出发,以相同的速度沿直线行走,两人同时分别到达AG上的点D和BH上的点E处.D和E两点到路段AB的距离相等吗 请说明理由.
8.一个风筝的骨架如图所示,小明用三角尺测得横骨BF⊥AC,CE⊥AB,背骨DE=DF,他不用测量两翼AB和AC的长度,就知道两翼AB和AC相等,请你说说其中的道理.
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9.如图①所示,点A,E,F,C在同一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,连接BD与AC交于点G,AB=CD.
(1)求证:FG=EG;
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动,变为图②时,其余条件不变,上述结论是否成立 请说明理由.
答案
第1课时 直角三角形全等的判定——“HL”
1.B A项,由“SAS”能判定△ABC和△DEF全等,所以选项A不符合题意;B项,当∠A=∠D=90°时,AC与EF不是对应边,不能判定△ABC和△DEF全等,所以选项B符合题意;C项,由“HL”能判定Rt△ABC和Rt△DEF全等,所以选项C不符合题意;D项,由“AAS”能判定△ABC和△DEF全等,所以选项D不符合题意.故选B.
2.5或10 ∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°,∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:
①当AP=CB=5时,在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∵∴Rt△ABC≌Rt△QPA;(HL)②当AP=CA=10时,在Rt△ABC和Rt△PQA中,
∵∴Rt△ABC≌Rt△PQA.(HL)
综上所述,当点P运动到AP=5或10时,△ABC与△APQ全等.故答案为5或10.
3.证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,
即BE=DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∵
∴Rt△AEB≌Rt△CFD,(HL)
∴∠B=∠D,∴AB∥CD.
4.证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DCB,(HL)
∴AB=DC.
在△ABO和△DCO中,
∵
∴△ABO≌△DCO,(AAS)
∴OB=OC.
5.解:(1)3对,分别是△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF.
(2)所选全等三角形不唯一,如图选证△BDE≌△CDF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
又∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF.(HL)
6.C 在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF,(HL)
∴∠DEF=∠ABC=22°,
∴∠DFE=90°-22°=68°.故选C.
7.解:相等.理由如图下:
由题意可知∠A=∠B=90°,AC=BC,CD=CE.
在Rt△ACD和Rt△BCE中,
∵
∴Rt△ACD≌Rt△BCE,(HL)
∴DA=EB.
8.解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,∵
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴∠ADE=∠ADF,∠DAE=∠DAF.
又∵∠BDE=∠CDF,∴∠ADB=∠ADC.
在△ADB和△ADC中,
∵
∴△ADB≌△ADC,∴AB=AC.
9.解:(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFG=90°.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵
∴Rt△ABF≌Rt△CDE,(HL)
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∵
∴△BFG≌△DEG,(AAS)
∴FG=EG.
(2)结论依然成立.
理由:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90°.
∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵
∴Rt△ABF≌Rt△CDE,(HL)
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∵
∴△BFG≌△DEG,(AAS)
∴FG=EG.第2课时 全等三角形的性质与判定的综合运用
考向题组训练
命题点 1 选择合适的方法判定三角形全等
1.如图,AD⊥CD,AE⊥BE,垂足分别为D,E,且AB=AC,AD=AE.有下列结论:
①△ABE≌△ACD; ②AM=AN; ③△ABN≌△ACM; ④BO=EO.
其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图,AD平分∠BAC,AB=AC,连接BD,CD并延长分别交AC,AB于点F,E,则此图中全等三角形共有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
3.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下哪个条件后仍不能判定△ABE≌△ACD ( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
4.如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是 ( )
A. B.2 C.3 D.4
5.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=EC.求证:△ABC≌△DEC.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求证:(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
命题点 2 全等三角形性质与判定的综合运用
7.如图所示,在△ABC中,∠A=∠B=50°,AK=BN,AM=BK,则∠MKN的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.100°
8.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为 ( )
A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
9.在△ABC中,AB=5,AC=a,BC边上的中线AD=4,则a的取值范围是 .
10.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠BAD=25°,∠ACE=30°,若B,D,E三点在同一直线上,则∠ADE= °.
11.(2021福建)如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.
12.(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.
(2)如图图②,将(1)中的条件改为在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,则结论DE=BD+CE是否成立 若成立,请你给出证明过程;若不成立,请说明理由.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点(点D不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图图①,若∠BAC=90°:
①求证:△ABD≌△ACE;
②求∠BCE的度数.
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β,如图图②,则α,β之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论.
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14.如图,点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图图①,若点O在边BC上,求证:AB=AC;
(2)如图图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗 请画出图表示.
答案
第2课时 全等三角形的性质与判定的综合运用
1.B ∵AD⊥CD,AE⊥BE,
∴∠D=∠E=90°.
在Rt△ACD和Rt△ABE中,
∵
∴Rt△ACD≌Rt△ABE,∴①正确;
∴∠B=∠C.
在△ABN和△ACM中,∵
∴△ABN≌△ACM,∴③正确;
∴AN=AM,∴②正确;
但不能得出BO=EO.故选B.
2.C ∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD与△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD,(SAS)
∴BD=CD,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC.
又∵∠EDB=∠FDC,∴∠ADE=∠ADF.
易证△AED≌△AFD,△BDE≌△CDF,△ABF≌△ACE,
∴全等的三角形有△ABD≌△ACD,△AED≌△AFD,△BDE≌△CDF,△ABF≌△ACE,共4对.
故选C.
3.D 由题意可知,AB=AC,∠A为公共角.
A选项,如图添加∠B=∠C,利用“ASA”即可证明△ABE≌△ACD;
B选项,如图添加AD=AE,利用“SAS”即可证明
△ABE≌△ACD;
C选项,如图添加BD=CE,由等量关系可得AD=AE,利用“SAS”即可证明△ABE≌△ACD;
D选项,如图添加BE=CD,则为“SSA”,不能证明△ABE≌△ACD,所以不能作为添加的条件.
故选D.
4.B ∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
又∵∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
∵
∴△CEB≌△ADC,∴CD=BE=1,CE=AD=3,
∴DE=CE-CD=3-1=2.
故选B.
5.证明:如图图,∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠3=∠5.
在△ACD中,∠ACD=90°,
∴∠2+∠D=90°.
∵∠BAE=∠1+∠2=90°,∴∠1=∠D.
在△ABC和△DEC中,∵
∴△ABC≌△DEC.(AAS)
6.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°,
∴∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°.
又∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠ECB.
在△AEF和△CEB中,
∵
∴△AEF≌△CEB.(ASA)
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∵
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,(HL)
∴BD=CD.
∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.
7.A 在△AMK和△BKN中,
∵
∴△AMK≌△BKN,(SAS)
∴∠AMK=∠BKN.
∵∠A=∠B=50°,∴∠AMK+∠AKM=130°,
∴∠BKN+∠AKM=130°,∴∠MKN=50°.
故选A.
8.D ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.
在△ABF和△CDE中,∵
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,BF=DE=b.
又∵EF=c,∴AD=AF+DF=AF+(DE-EF)=a+(b-c)=a+b-c.
故选D.
9.3
在△ADC和△EDB中,
∵
∴△ADC≌△EDB,(SAS)
∴BE=CA=a,AD=ED.
在△AEB中,AE-AB即8-5∴a的取值范围是3故答案为310.55 如图图,∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠1=∠4.
在△ABD和△ACE中,
∵
∴△ABD≌△ACE,(SAS)
∴∠5=∠2=30°.
又∵∠1=25°,∴∠3=∠1+∠5=25°+30°=55°.故答案为55.
11.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF和△CDE中,∵
∴△BDF≌△CDE,(SAS)
∴∠B=∠C.
12.解:(1)证明:∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ADB和△CEA中,
∵
∴△ADB≌△CEA,(AAS)
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)DE=BD+CE仍然成立.
证明:∵∠ADB=∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ADB和△CEA中,
∵
∴△ADB≌△CEA,(AAS)
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
13.解:(1)①证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∵∴△ABD≌△ACE.
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°.
(2)α+β=180°.
(理由:由(1)可得∠ACE=∠ABC,∴∠ABC+∠ACB=∠BCE=β.∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=α,∴α+β=180°.)
14.解:(1)证明:如图图①,连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
由题意可知OE=OF.
在Rt△BOE和Rt△COF中,
∵
∴Rt△BOE≌Rt△COF,∴BE=CF.
在Rt△AOE和Rt△AOF中,∵
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,
∴AE=AF,
∴BE+AE=CF+AF,即AB=AC.
(2)证明:如图图②,过点O作OG⊥AB,OH⊥AC,G,H分别为垂足,连接OA.由题意可知OG=OH,则易证Rt△BOG≌Rt△COH,Rt△AOG≌Rt△AOH,∴BG=CH,AG=AH,∴AB=AC.
(3)不一定成立.如图图所示.14.2.3 三边分别相等的两个三角形
考向题组训练
命题点 1 全等三角形的判定“SSS”及其应用
1.为作一个角的平分线的示意图,该作法的依据是全等三角形判定的基本事实,可简写为 ( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC,BD相交于点O,则图中全等三角形共有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AC与BD相交于点O,则可以直接由“SSS”判定全等的三角形有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.如图,点A,C,B,D在同一直线上,AM=CN,BM=DN,AC=DB.AM与CN的位置关系是 .
5.如图,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添加直接条件是 .
6.已知在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(1,0),(1,3),以A,B,P为顶点的三角形与△ABO全等,写出一个符合条件的点P的坐标: .
7.如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE,那么△ABC≌△AED吗 试说明理由.
8.如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.
求证:AE∥FB.
9.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,AC=BD,AB=ED,BC=BE.
求证:∠ACB=∠AFB.
10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E,F分别是AB,AD的中点.
求证:EC=FC.
命题点 2 三角形的稳定性
11.下列图形具有稳定性的是 ( )
12.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是 ( )
A.三角形的房架
B.自行车的三角形车架
C.斜钉一根木棒的长方形窗框
D.由四边形组成的伸缩门
13.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在 ( )
A.A,C两点之间 B.E,G两点之间
C.B,F两点之间 D.G,H两点之间
命题点 3 利用“SSS”解决实际问题
14.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,则AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.说明这两个三角形全等的依据是 ( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
15.是一个测平架,AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤,自然下垂,使用时调整架身,使点A恰好在重锤线上,就说明此时BC处于水平位置,你能说明其中的道理吗
16.为参加学校举行的风筝设计比赛,小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架,已知AB=CD,AC=DB,AC,BD交于点E.你认为小明扎的风筝两脚(两脚即∠B和∠C)的大小相同吗 试说明理由.
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17.如图,点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间的距离不能直接测量),点A,D在直线l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=CE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有的平行线段,并说明理由.
答案
14.2.3 三边分别相等的两个三角形
1.A
2.C 在△ABC和△ADC中,
∵∴△ABC≌△ADC,(SSS)
∴∠ACB=∠ACD,∠BAC=∠DAC.
在△ABO和△ADO中,∵
∴△ABO≌△ADO.(SAS)
在△CBO和△CDO中,∵
∴△CBO≌△CDO.(SAS)
故选C.
3.B 利用“SSS”可以判定△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
4.AM∥CN
5.AB=CD 要利用“SSS”判定两三角形全等,现有已知条件AD=CB,AC=CA,则再添加AB=CD即满足条件.
故填AB=CD.
6.答案不唯一,如图(0,3)或(2,3)或(2,0)
如图图所示:
7.解:△ABC≌△AED.
理由:∵BD=CE,
∴BC=ED.
在△ABC和△AED中,
∵
∴△ABC≌△AED.
8.证明:∵AD=BC,∴AC=BD.
在△AEC和△BFD中,
∵
∴△AEC≌△BFD,∴∠A=∠B,则AE∥FB.
9.证明:在△ABC与△DEB中,
∵
∴△ABC≌△DEB,
∴∠ACB=∠DBE.
又∵∠AFB=∠ACB+∠DBE,
∴∠ACB=∠AFB.
10.证明:连接AC.
在△ABC与△ADC中,
∵
∴△ABC≌△ADC,(SSS)
∴∠EAC=∠FAC.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴AE=AB,AF=AD.
又∵AB=AD,
∴AE=AF.
在△AEC与△AFC中,
∵
∴△AEC≌△AFC,(SAS)
∴EC=FC.
11.A 12.D 13.B
14.D 在△ADC和△ABC中,
∵
∴△ADC≌△ABC,(SSS)
∴∠DAC=∠BAC,
即∠PAE=∠QAE.故选D.
15.解:∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD,(SSS)
∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠BDC=180°,
∴∠ADB=90°,
即AD与BC垂直,而AD是垂直于地面的,
∴BC处于水平位置.
16.解:∠B=∠C.
理由:如图图,连接AD.
在△ADB和△DAC中,
∵
∴△ADB≌△DAC,(SSS)
∴∠B=∠C.
17.解:(1)证明:∵BF=CE,
∴BF+FC=FC+CE,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,∵
∴△ABC≌△DEF.(SSS)
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形
考向题组训练
命题点 1 已知两边及夹角作三角形
1.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是 ( )
A.AB=5,BC=3
B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠C=90°,AB=6
D.∠A=60°,AC=5,AB=4
2.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β,如图.
(要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹,不在已知的线、角上作图,不写作法)
命题点 2 全等三角形的判定“SAS”及其应用
3.中全等的三角形是 ( )
A.①和② B.②和③ C.②和④ D.①和③
4.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,能判定△ABC≌△ADC的是( )
A.AC=AC B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等时,点C的坐标为 .
6.如图,等腰三角形ABC中,∠B=∠C,BC=4 cm,M为AB上一点,BM=3 cm,点P在线段BC上以1 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点N在线段CA上由点C向点A运动,设运动时间为t秒.若存在某一时刻t,使△BMP与△PCN全等,则点N的运动速度为 cm/s.
7.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.
求证:∠C=∠E.
8.如图,∠ACB=∠ADE,AC=AD,BD=EC,图中有哪几对全等三角形 请一一写出来,并给出证明过程.
9.如图,在△ABC中,BE,CF分别是CA,BA边上的高,在BE上截取BD=CA,在CF的延长线上截取CG=BA,连接AD,AG.
(1)求证:AD=GA;
(2)AD与GA的位置关系如图何 请说明理由.
命题点 3 利用“SAS”解决实际问题
10.在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测得AB=5厘米,EF=7厘米,则圆柱形容器的壁厚是 ( )
A.1厘米 B.2厘米 C.5厘米 D.7厘米
11.如图,公园有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在点E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,则三个小石凳是否在一条直线上 说出你推断的理由.
12.如图,一条输电线路需跨越一个池塘,池塘两侧A,B处各立有一根电线杆,但利用现有皮尺无法直接量出A,B间的距离,请你根据所学三角形全等的知识,设计一个方案,测出A,B间的距离,并说明理由.
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13.问题背景:如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法如图下:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是 ;
探索延伸:如图图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 请说明理由.
答案
14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形
1.D A选项,已知两边,不能画出唯一的△ABC;
B选项,已知AB,BC和BC的对角,不能画出唯一的△ABC;
C选项,已知一个角和一条边,不能画出唯一的△ABC;
D选项,已知两边及其夹角,能画出唯一的△ABC.
故选D.
2.解:已知:线段a,b和∠β.
求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意两边分别等于a和b,夹角为β).
作图如图下.
3.D 图①和③中的三角形符合两边及其夹角对应相等.故选D.
4.B 添加∠BAC=∠DAC,根据“SAS”能判定△ABC≌△ADC.故选B.
5.(-4,0),(-2,0),(4,0)
6.1或 设点N的运动速度为x cm/s,则BP=t cm,CN=tx cm,CP=(4-t)cm.
∵∠B=∠C,
∴当BM=CP,BP=CN时,根据“SAS”判断△BMP≌△CPN,即4-t=3,t=tx,解得t=1,x=1;
当BM=CN,BP=CP时,根据“SAS”判断△BMP≌△CNP,即tx=3,t=4-t,解得t=2,x=.
综上所述,点N的运动速度为1 cm/s或 cm/s.
故答案为1或.
7.证明:∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE,(SAS)
∴∠C=∠E.
8.解:有两对全等三角形:△ABC≌△AED,△ABD≌△AEC.证明如图下:
∵BD=EC,∴BC=ED.
∵∠ACB=∠ADE,∴∠ACE=∠ADB.
在△ABC和△AED中,
∵
∴△ABC≌△AED.
在△ABD和△AEC中,
∵
∴△ABD≌△AEC.
9.解:(1)证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠HFB=∠HEC=90°.
又∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠GCA.
在△ABD和△GCA中,
∵
∴△ABD≌△GCA,(SAS)
∴AD=GA.(全等三角形的对应边相等)
(2)AD⊥GA.理由如图下:
∵△ABD≌△GCA,∴∠ADB=∠GAC.
又∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,∴AD⊥GA.
10.A 在△AOB和△DOC中,
∵
∴△AOB≌△DOC(SAS),∴CD=AB=5厘米.
∵EF=7厘米,
∴圆柱形容器的壁厚是×(7-5)=1(厘米).
故选A.
11.解:三个小石凳在一条直线上.理由如图下:如图图,连接EM,MF.
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C.
∵M为BC的中点,
∴BM=CM.
在△BEM和△CFM中,
∵
∴△BEM≌△CFM,(SAS)
∴∠BME=∠CMF.
∵∠BME+∠EMC=180°,
∴∠FMC+∠EMC=180°,
∴三个小石凳在一条直线上.
12.解:先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A,B间的距离.如图图所示:
理由如图下:
在△ABC和△DEC中,
∵
∴△ABC≌△DEC,∴AB=DE.
13.解:问题背景:EF=BE+DF
探索延伸:EF=BE+DF仍然成立.
理由:如图图,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,∵
∴△ABE≌△ADG,(SAS)
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
在△AEF和△AGF中,∵
∴△AEF≌△AGF,(SAS)
∴FE=FG.
∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF.14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形
考向题组训练
命题点 1 已知两角及其夹边作三角形
1.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是 ( )
A.AB=8,BC=5,AC=2
B.∠C=80°,AB=5
C.∠A=60°,∠B=50°,AB=7
D.AB=1,BC=4,∠C=70°
2.如图,小明的一块三角形纸片被弟弟扯去了一角,请你帮小明在下面的空白处用尺规作一个与原三角形形状、大小一样的三角形(保留作图痕迹,不要求写作法).
命题点 2 三角形全等的判定“ASA”及其应用
3.如图,线段AB与CD相交于点E,DE=EB,若要用“ASA”判定△ADE≌△CBE,则需要添加的一个条件是 ( )
A.∠A=∠C B.AE=CE
C.AD=CB D.∠D=∠B
4.如图,已知△ABC的六个元素,则中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
5.(2021衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.
6.如图,AB∥CD,E,F分别为AB,CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC,BF相交于点G,H.若AB=DC,求证:AG=DH.
\
7.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.
(1)求证:△AED≌△EBC;
(2)当AB=6时,求CD的长.
8.如图,AC=AD,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:(1)△ABC≌△AED;
(2)∠DEC=∠1.
9.如图,A,F,C,D四点在一条直线上,
AF=CD,BC∥EF,BF∥CE.
求证:AB∥DE.
命题点 3 利用“ASA”解决实际问题
10.(2021攀枝花)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具,他带去 最省事 ( )
A.① B.② C.③ D.①③
11.如图,小明和小华住在同一个小区不同单元楼,他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度,首先他们在两栋单元楼之间选定一点E,然后小华在自己家阳台点C处测得点E处的俯角为∠1,小明站在点E处测得AB楼顶端点A的仰角为∠2,发现∠1与∠2互余,已知小明的眼睛距地面的距离EF=1米,BE=CD=20米,BD=58米,试求单元楼AB的高.
12.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如图所示.AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
思维拓展培优
13.如图,有一湖的湖岸在A,B间呈圆弧状,A,B之间的距离不能直接测得.请你用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A,B之间的距离.
14.如图,小强在河的一边,要测量河面上的一只船B与对岸码头A的距离,他的做法如图下:
①在岸边确定一点C,使点C与点A,B在同一直线上;
②在AC的垂直方向画线段CD,取其中点O;
③作DF⊥CD,使点F,O,A在同一直线上;
④在线段DF上找一点E,使点E与点O,B共线.
他说测出线段EF的长就是船B与对岸码头A的距离.他的做法有道理吗 为什么
答案
14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形
1.C 选项A,BC+AC选项B,已知一边及它的对角,这样的三角形能画无数个;
选项C,已知两角及它们的夹边,能画出唯一的三角形;
选项D,根据这三个条件,不能画出三角形.
故选C.
2.解:如图图.
3.D 由题意可知∠AED=∠CEB,DE=BE,若要用“ASA”判定△ADE≌△CBE,则需要添加∠D=∠B.故选D.
4.B 图形乙可以用“SAS”证明两个三角形全等,图形丙中三角形的第三个角等于58°,可以用“ASA”证明两个三角形全等.
5.证明:∵AC∥DF,
∴∠CAB=∠FDE.(两直线平行,同位角相等)
又∵BC∥EF,
∴∠CBA=∠FED.(两直线平行,同位角相等)
在△ABC和△DEF中,∵
∴△ABC≌△DEF.(ASA)
6.证明:∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠BFD.
∵EC∥BF,
∴∠C=∠BFD,
∴∠B=∠C.
在△ABH和△DCG中,
∵
∴△ABH≌△DCG,(ASA)
∴AH=DG,
∴AH-GH=DG-GH,即AG=DH.
7.解:(1)证明:∵E是AB的中点,
∴AE=EB.
∵AD∥EC,∴∠DAE=∠CEB.
在△AED和△EBC中,
∵
∴△AED≌△EBC.
(2)∵△AED≌△EBC,
∴AD=EC.
∵AD∥EC,
∴∠ADE=∠CED.
在△ADE和△CED中,
∵
∴△ADE≌△CED,
∴AE=CD.
∵E是AB的中点,
∴AE=AB=3,
∴CD=3.
8.证明:(1)∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠EAD.
在△ABC和△AED中,∵
∴△ABC≌△AED.
(2)∵△ABC≌△AED,
∴∠B=∠AED.
又∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠1,
∴∠DEC=∠1.
9.证明:∵BC∥EF,∴∠BCF=∠EFC.
∵BF∥CE,∴∠BFC=∠ECF.
在△BCF和△EFC中,∵
∴△BCF≌△EFC,(ASA)
∴BC=EF.
∵AF=CD,
∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,∵
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D,∴AB∥DE.
10.C
11.解:如图图,过点F作FG⊥AB于点G,
则四边形BEFG是长方形,
∴FG=BE=20米,BG=EF=1米.
∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3.
在△AFG与△ECD中,∵
∴△AFG≌△ECD,(ASA)
∴AG=DE=BD-BE=58-20=38(米),
∴AB=AG+BG=38+1=39(米).
答:单元楼AB的高为39米.
12.解:∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO.
∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,
∴∠ABO=90°,即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等,
∴OD=OB.
在△ABO与△CDO中,∵
∴△ABO≌△CDO,(ASA)
∴CD=AB=20米.
13.解:要测量A,B之间的距离,可用如图下方法:
如图图,过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C,D,使CD=BC,再过点D作出BF的垂线DE,使点A,C,E三点在一条直线上.
在△ABC和△EDC中,∵
∴△ABC≌△EDC,(ASA)
∴BA=DE,
即只需测量出DE的长度,便可得到A,B之间的距离.(答案不唯一)
14.解:有道理.理由如图下:
∵DF⊥CD,AC⊥CD,
∴∠C=∠D=90°.
∵O为CD的中点,∴CO=DO.
在△ACO和△FDO中,∵
∴△ACO≌△FDO,(ASA)
∴AO=FO,∠A=∠F.
在△ABO和△FEO中,∵
∴△ABO≌△FEO,(ASA)∴EF=AB.14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件
考向题组训练
命题点 1 “AAA”和“SSA”不能作为判定条件
1.以下四个命题中,正确的是 ( )
A.有三个角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等的两个三角形全等
C.有一个角相等且有两条边相等的两个三角形全等
D.有一边相等的两个等边三角形全等
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,仍不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC
C.AC=DB D.AB=DC
命题点 2 全等三角形的判定“AAS”及其应用
3.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列哪一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF ( )
A.∠A=∠D B.BC=EF
C.∠ACB=∠F D.AC=DF
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,利用“AAS”可以判定△AEH≌△CEB.
5.如图,AB与CD相交于点O,已知∠A=∠D,CO=BO.
求证:△AOC≌△DOB.
6.如图,线段AC,BD交于点M,过点B,D分别作AC的垂线段BF,DE,垂足分别为F,E,AB=CD,若∠A=∠C,求证:FM=EM.
命题点 3 利用“AAS”解决实际问题
7.如图,课间小明拿着老师的等腰直角三角尺玩,不小心将其掉到两条凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC=a,CE=b,则两条凳子的高度之和为 .
8.如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取DC=BC,过点D作DE∥AB,使点E,C,A在同一直线上,则线段DE的长就是A,B之间的距离,请你说出这样做的道理.
9.是小亮荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线BD上,转轴B到地面的距离BD=3 m.小亮在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点A时,测得点A到BD的距离AC=2 m,点A到地面的距离AE=1.8 m;当他从A处摆动到A'处时,有A'B⊥AB.
(1)求点A'到BD的距离;
(2)求点A'到地面的距离.
思维拓展培优
10.感知:如图①,点B,A,C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,DA=AE,易证△DBA≌△ACE;
探究:如图图②,在△DBA和△ACE中,DA=AE,若∠DAE=α(0°<α<90°),∠BAC=2α,
∠B=∠C=180°-α,求证:△DBA≌△ACE;
应用:如图图②,在△DBA和△ACE中,DA=AE,若∠DAE=70°,∠BAC=140°,∠B=∠C=110°,则当∠D= °时,∠DAC的度数是∠E的3倍.
答案
14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件
1.D
2.C 因为∠ABC=∠DCB,加上题中的隐含条件BC=CB,所以添加一组角相等或添加夹这对相等的角的另一组边相等,可以证明两个三角形全等,所以添加选项A,B,D中的条件均可以使△ABC≌△DCB.
故选C.
3.D ∵∠B=∠DEF,AB=DE,
∴添加∠A=∠D,利用“ASA”可得△ABC≌△DEF;
添加BC=EF,利用“SAS”可得△ABC≌△DEF;
添加∠ACB=∠F,利用“AAS”可得△ABC≌△DEF.故选D.
4.答案不唯一,如图AH=CB
5.证明:在△AOC与△DOB中,
∵
∴△AOC≌△DOB.(AAS)
6.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°.
在△ABF和△CDE中,
∵
∴△ABF≌△CDE,(AAS)
∴BF=DE.
在△BFM和△DEM中,
∵
∴△BFM≌△DEM,(AAS)
∴FM=EM.
7.a+b 由题意,得∠ACD+∠ECB=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠ECB.
在△ACD和△CBE中,
∵
∴△ACD≌△CBE,(AAS)
∴DC=BE=a,AD=CE=b,
∴两条凳子的高度之和为a+b.
8.解:∵DE∥AB,∴∠A=∠E.
在△ABC和△EDC中,
∵
∴△ABC≌△EDC,(AAS)
∴DE=BA,
即线段DE的长就是A,B之间的距离.
9.解:(1)如图图,作A'F⊥BD,垂足为F.
又∵AC⊥BD,
∴∠ACB=∠BFA'=90°.
在Rt△A'FB中,∠1+∠3=90°.
又∵A'B⊥AB,∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3.
在△ACB和△BFA'中,
∵
∴△ACB≌△BFA',(AAS)
∴A'F=BC.
∵AC∥DE且CD⊥AC,AE⊥DE,
∴CD=AE=1.8,
∴BC=BD-CD=3-1.8=1.2,
∴A'F=1.2,即点A'到BD的距离是1.2 m.
(2)由(1)知△ACB≌△BFA',
∴BF=AC=2.
如图图,作A'H⊥DE,垂足为H.
∵A'F∥DE,
∴A'H=FD,
∴A'H=BD-BF=3-2=1,
即点A'到地面的距离是1 m.
10.解:探究:证明:∵∠BAC=2α,∠DAE=α,
∴∠DAB+∠EAC=α.
∵∠B=180°-α,∴∠DAB+∠D=α,
∴∠EAC=∠D.
在△DBA和△ACE中,∵
∴△DBA≌△ACE.(AAS)
应用:∵∠DAE=70°,∠BAC=140°,∠B=∠C=110°,
∴∠DAC=∠DAE+∠EAC=70°+∠EAC,∠EAC=180°-∠C-∠E=180°-110°-∠E=70°-∠E,
∴∠DAC=70°+70°-∠E=140°-∠E.
当∠DAC=3∠E时,有3∠E=140°-∠E,
解得∠E=35°.
∵△DBA≌△ACE,∴∠BAD=∠E=35°,
∴∠D=180°-∠B-∠BAD=180°-110°-35°=35°.
故答案为35.