第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
考向题组训练
命题点 1 求关于坐标轴对称的点的坐标
1.点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为 ( )
A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3)
2.已知点P关于y轴的对称点为P1,点P1关于x轴的对称点为P2.若点P2的坐标为(-2,3),则点P的坐标为 ( )
A.(-2,-3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(2,3)
3.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2021次变换后所得的点A的坐标是 .
命题点 2 由点的对称关系求字母的值
4.若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,则m+n的值是 ( )
A.-5 B.-3 C.3 D.1
5.在平面直角坐标系内,已知在y轴与直线x=3之间有一点M(a,3).如图果该点关于直线x=3的对称点M'的坐标为(5,3),那么a的值为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如图,△OAB和△OCB关于x轴对称,△OCD和△OED关于y轴对称.若点A的坐标为(-2,a+5),点E的坐标为(-a,b),则ab= .
7.已知点M(a,-4)与点N(6,b)关于直线x=2对称,那么a-b= .
8.已知点A(2a-b,5+a),点B(2b-1,-a+b).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若点A,B关于y轴对称,求(4a+b)2023的值.
命题点 3 利用关于坐标轴对称的点的坐标特征作图
9.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并求出A1,B1,C1三点的坐标(点A,B,C的对应点分别是点A1,B1,C1).
10.在平面直角坐标系中,将坐标是(3,0),(3,2),(0,3),(3,5),(3,2),(6,3),(6,2),(3,0)的点用线段依次连接起来形成一个图案.
(1)作出原图案关于x轴对称的图案,两图案中的对应点的坐标有怎样的关系
(2)作出原图案关于y轴对称的图案,两图案中的对应点的坐标有怎样的关系
11.(2021深圳)如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)过直线m作四边形ABCD的对称图形;
(2)求四边形ABCD的面积.
12.如图,在平面直角坐标系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标(直接写答案);
(3)求△A1B1C1的面积;
(4)在y轴上画出点P,使PB+PC的值最小.
思维拓展培优
13.如图,在坐标平面内,依次作点P(-1,2)关于直线y=x的对称点P1,点P1关于x轴的对称点P2,点P2关于y轴的对称点P3,点P3关于直线y=x的对称点P4,点P4关于x轴的对称点P5,点P5关于y轴的对称点P6……按照上述的变换继续作对称点,求点P2023的坐标.
答案
第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
1.B
2.B (-2,3)关于x轴对称的点的坐标为(-2,-3),(-2,-3)关于y轴对称的点的坐标为(2,-3).
3.(a,-b) 由题图可知,4次变换为一个循环组依次循环.∵2021÷4=505……1,∴第2021次变换后为第506个循环组的第一次变换,∴经过第2021次变换后所得的点A的坐标是(a,-b).
4.D 点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,所以1+m=3,1-n=2,
解得m=2,n=-1,
所以m+n=2-1=1.
故选D.
5.D ∵该点关于直线x=3的对称点M'的坐标为(5,3),∴对称点到直线x=3的距离为2,
∴点M(a,3)到直线x=3的距离为2,
∴a=1.故选D.
6.6 由题图可知,点A和点C关于x轴对称,则点C的坐标为(-2,-a-5),点C和点E关于y轴对称,则点E的坐标为(2,-a-5),于是有-a=2,b=-a-5,∴a=-2,b=-3,∴ab=6.
7.2 ∵点M(a,-4)与点N(6,b)关于直线x=2对称,∴=2,b=-4,解得a=-2.∴a-b=2.
8.解:(1)∵点A,B关于x轴对称,
∴解得
(2)∵点A,B关于y轴对称,
∴
解得
∴(4a+b)2023=(-1)2023=-1.
9.解:△A1B1C1如图图所示.
A1(2,3),B1(3,2),C1(1,1).
10.解:如图图.
(1)如图图所示,由图可知两图案中的对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
(2)如图图所示,由图可知两图案中的对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.
11.解:(1)如图图所示,四边形A'B'C'D'即为所求.
(2)四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=×4×1+×4×3=8.
12.解:(1)如图图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)A1(3,2),B1(4,-3),C1(1,-1).
(3)△A1B1C1的面积为3×5-×2×3-×1×5-×2×3=6.5.
(4)如图图所示,点P即为所求.
13.解:∵P(-1,2),
∴点P关于直线y=x的对称点为P1(2,-1),
点P1关于x轴的对称点为P2(2,1),
点P2关于y轴的对称点为P3(-2,1),
点P3关于直线y=x的对称点为P4(1,-2),
点P4关于x轴的对称点为P5(1,2),
点P5关于y轴的对称点为P6(-1,2),
∴6次变换为一个循环.
∵2023÷6=337……1,
∴P2023(2,-1).第1课时 轴对称图形
考向题组训练
命题点 1 轴对称图形的识别
1.(2021青岛)剪纸是我国古老的民间艺术.下列四个剪纸图案为轴对称图形的是 ( )
2.下列四个图案中,不是轴对称图案的是 ( )
3.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个
4.下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是 .(填序号)
命题点 2 确定轴对称图形的对称轴
5.是由“○”和“□”组成的轴对称图形,该图形的对称轴是直线 ( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
6.(2021自贡)下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是 ( )
7.画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格.
正多边形的边数 3 4 5 6 …
对称轴的条数 …
根据上表,猜想正n边形有 条对称轴.
8.如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有 ( )
A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条
9.是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”,点阵的每行及每列之间的距离都是1,请你画出“中国结”的对称轴.
命题点 3 利用轴对称设计图案
10.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形按摆放.
(1)在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有
种;
(2)移动其中一个正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移动方法共有 种.
11.如图,画出已知四边形分别以直线l,m,n,p为对称轴的轴对称图形.
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12.如图,在棋盘中建立平面直角坐标系xOy,三颗棋子A,O,B的位置分别是(-1,1),(0,0)和(1,0).如图果在其他格点位置添加一颗棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标: .
13.观察设计.
(1)观察①~④中阴影部分构成的图案,请写出这四个图案都具有的两个共同特征;
(2)借助图⑤的网格,请你设计一个新的图案,使该图案同时具有(1)中的两个共同特征(注意:新图案与①~④中的图案不能重合).
答案
第1课时 轴对称图形
1.C 2.B
3.C 正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线,沿BD所在直线平移,平移前后的两个正方形组成轴对称图形.
共5个方向.故选C.
4.①②③④ 5.C 6.D
7.解:画各图的对称轴如图图.
表格中及填空线上依次填3,4,5,6,n.
8.C
9.解:如图图.
10.(1)4 (2)13
(1)如图图,共有4种涂法:
(2)如图图所示,一共有13种移法:
11.解:如图图.
12.(-1,2)或(2,1)或(-1,-1)或(0,-1)
如图图,当以直线l1为对称轴时,点C1的坐标为(-1,2);当以直线l2为对称轴时,点C2的坐标为(2,1);当以x轴为对称轴时,点C3的坐标为(-1,-1);当以直线l3为对称轴时,点C4的坐标为(0,-1).故答案为(-1,2)或(2,1)或(-1,-1)或(0,-1).
13.解:(1)答案不唯一,例如图:①都是轴对称图形;②面积都等于四个小正方形的面积之和.
(2)答案不唯一,举例如图下:第2课时 轴对称
考向题组训练
命题点 1 轴对称和轴对称图形的识别
1.下列图形中,△A'B'C'与△ABC成轴对称的是 ( )
2.如图,指出其中的轴对称图形和成轴对称的图形.
命题点 2 轴对称的性质及应用
3.如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称,则以下结论中错误的是 ( )
A.AB∥DF B.∠B=∠E
C.AB=DE D.线段AD被直线MN垂直平分
4.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的点,下列判断错误的是
( )
A.AM=BM B.AP=BN
C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=CD.若BC=6,AD=5,则图中阴影部分的面积为 .
6.如图,点P在∠AOB内,M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点.线段MN分别交OA,OB于点E,F.若∠EPF=α,则∠AOB= .
7.如图,O为△ABC内部一点,OB=3,P,R分别为点O以直线AB,BC为对称轴的对称点.
(1)请指出当∠ABC等于多少度时,能使得PR的长等于6 并说明理由;
(2)请判断当∠ABC不是(1)中你指出的角度时,PR的长度是小于6还是大于6 并说明理由.
命题点 3 轴对称作图
8.如图,在3×3的正方形网格中,有格点三角形ABC,已知格点三角形DEF与△ABC关于某条直线对称,请在下面给出的网格图中,画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN.
9.如图,在边长为1个单位的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC和格点三角形DEF以及过格点的直线l.
(1)将△ABC向右平移3个单位,再向下平移4个单位,画出平移后的三角形;
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;
(3)填空:∠C+∠F= °.
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10.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1;
(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2;
(3)在直线m上画一点P,使得|PA-PC2|的值最大.
答案
第2课时 轴对称
1.B
2.解:轴对称图形:①③④⑥⑦⑧⑩;成轴对称的图形:②⑤⑨.
3.A ∵△ABC与△DEF关于直线MN对称,
∴∠B=∠E,AB=DE,线段AD被直线MN垂直平分,∴选项B,C,D正确,不符合题意.故选A.
4.B ∵直线MN是四边形AMBN的对称轴,∴点A与点B是对应点,∴AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM.
∵P是直线MN上的点,
∴∠MAP=∠MBP,
∴A,C,D选项不符合题意.故选B.
5.7.5 根据题意,得阴影部分的面积为△ABC面积的一半.
∵S△ABC=BC·AD=×6×5=15,
∴阴影部分的面积=×15=7.5.
6.90°-α 如图图,连接OP,OM,ON.
∵M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,
∴OP=OM=ON,∠OPE=∠OME,∠OPF=∠ONF,∠POE=∠MOE,∠POF=∠NOF,
∴∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=α.在△OMN中,∠MON=180°-(∠OME+∠ONF)=180°-α.
∵∠MON=∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF=2(∠POE+∠POF)=2∠AOB,
∴∠AOB=∠MON=×(180°-α)=90°-α.
7.解:(1)当∠ABC=90°时,PR=6.
理由:如图图,连接PB,RB.
∵P,R分别为点O以直线AB,BC为对称轴的对称点,∴PB=OB=3,RB=OB=3,∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO.∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠CBR+∠ABO+∠CBO=2∠ABC=180°,
∴P,B,R三点共线,
∴PR=2×3=6.
(2)PR的长度小于6.理由:∵∠ABC≠90°,则P,B,R三点不在同一直线上,∴PB+RB>PR.∵PB+RB=2OB=2×3=6,∴PR<6.
8.解:答案不唯一,如图图所示:
9.解:(1)如图图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)如图图所示,△A'D'F'即为所求.
(3)90
10.解:(1)如图图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图图,△A2B2C2即为所求.
(3)如图图,点P即为所求.
