沪科版数学八年级上册同步提优训练：第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 综合提升卷（word、含解析）

第13章综合提升卷
[时间:120分钟　分值:150分]
第Ⅰ卷　(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.有下列4组长度不同的线段:①3,8,4;②4,9,6;③15,20,8;④9,15,8.其中能构成三角形的有
(　　)
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2.有下列说法:①任意三角形的内角和都是180°;②三角形的一个外角大于任何一个内角;
③三角形的中线、角平分线和高都是线段;④三角形的三条高必在三角形内部.其中正确的是
(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
3.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是 (　　)
A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
C.∠A=2∠B=3∠C D.一个外角等于和它相邻的内角
4.下列选项中,可以用来证明命题“若|a|>1,则a>1”是假命题的反例是 (　　)
A.a=5 B.a=-5 C.a=1 D.a=-1
5.三个内角度数之比是1∶5∶6的三角形是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为 (　　)
A.2 B.3 C.5 D.13
7.在△ABC中,AD是BC边上的高,∠BAD=55°,∠CAD=25°,则∠BAC的度数为 (　　)
A.80° B.30° C.100° D.80°或30°
8.如图所示,已知∠1=60°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 (　　)
A.180° B.360° C.240° D.200°
9.如图,表示∠1,∠2,∠3,∠4的关系正确的选项为 (　　)
A.∠1+∠2=∠4-∠3 B.∠1-∠3=∠2-∠4
C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.∠1-∠2=∠4-∠3
10.如图,光线a照射到平面镜CD上,然后在平面镜AB和CD之间来回反射,光线的反射角等于入射角.若∠1=52°,∠3=70°,则∠2的度数是 (　　)
A.52° B.61° C.65° D.70°
第Ⅱ卷　(非选择题　共110分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.等腰三角形一边长为9 cm,另一边长为4 cm,则此三角形的周长是　　　　cm.
12.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=　　　　°.
13.如图,已知在△ABC中,∠A=155°,第1步:在△ABC的上方确定点A1,使∠A1BA=∠ABC,∠A1CA=∠ACB;第2步:在△A1BC的上方确定点A2,使∠A2BA1=∠A1BA,∠A2CA1=∠A1CA,则∠A1=　　　　°;照此继续,最多能进行　　　　步.
14.如图,在△ABC中,BD,BE分别是△ABC的高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE,交BD于点G,交BC于点H.有下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=∠BAC-∠C;④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的结论有　　　　(填序号).
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假;
(1)若ab=0,则a=0;
(2)如图果a,b都是偶数,那么a+b是偶数;
(3)两个锐角的和是钝角;
(4)直角三角形的两个锐角互余.
16.两只猎豹在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食,猎豹打算用迂回的方式捕猎,由一只先从A前进到C处,然后再折回到B处截住野牛返回牛群的去路,另一只则直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,则猎豹从C处要逆时针转多少度才能直达B处
四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.把一副透明三角尺按的方式放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB,CD相交于点O.求∠AOC的度数.
18.对于一个三角形,设其三个内角的度数分别为x°,y°,z°,若x,y,z满足x2+y2=z2,则我们定义这个三角形为美好三角形.
(1)在△ABC中,若∠A=50°,∠B=70°,则△ABC　　　　(填“是”或“不是”)美好三角形;
(2)已知△ABC是美好三角形,∠A=60°,求∠B,∠C的度数(∠B<∠C).
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.归纳推理证明:
(1)填空:如图①,过△ABC的顶点A有一直线EF,且EF∥BC.求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:∵EF∥BC(已知),
∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C(　　　　　　　　　　　　).
又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(　　　　　　　).
本题所证明的命题可用一句话概括为　　　　　　　　　　　.
(2)在(1)的基础上解答:如图图②,在△ABC中,∠A=50°,P是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,求∠BPC的度数(每一步无须写理由和依据).
(3)如图图③,有一块三角尺XYZ放置在△ABC上,恰好三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.若∠A=β,则∠XBC+∠XCB的度数为　　　　,∠ABX+∠ACX的度数为　(直接填写结果).
20.(1)如图①,请确定∠1与∠2的大小关系,并说明理由;
(2)如图图②,BE,CD相交于点A,∠DEA,∠BCA的平分线相交于点F,探究∠F与∠B,∠D有何等量关系.
六、解答题(本题12分)
21.问题情境:如图①,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是过点P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为　　　;
(2)问题迁移:如图图②,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B,D两点之间运动时(点P不与点B,D重合),∠APC与α,β之间有何数量关系 请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如图果点P在B,D两点外侧运动时(点P不与点O,B,D三点重合),请直接写出∠APC与α,β之间的数量关系.
七、解答题(本题12分)
22.已知AM∥CN,B为平面内一点,AB⊥BC于点B.
(1)如图①,直接写出∠A和∠C之间的数量关系:　　　　　　;
(2)如图图②,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图图③,在(2)的条件下,点E,F在DM上,连接BE,BF,CF,已知BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
八、解答题(本题14分)
23.如图,请你探究随着点D位置的变化,∠BDC与∠A的关系.
(1)如图图①,点D在AC上(不同于A,C两点),则∠BDC与∠A的大小关系是　　　　　　　;
如图图②,点D在△ABC内部,则∠BDC与∠A的大小关系是　　　　　　　　;
如图图③,D是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,则此时∠BDC与∠A之间的数量关系是　　　　　　　;
如图图④,D是∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角的平分线的交点,则∠BDC与∠A之间的数量关系是　　　　　　;
如图图⑤,D是与∠ABC和∠ACB相邻外角的平分线的交点,则∠BDC与∠A之间的数量关系是　　　　　　　.
(2)请证明图④的结论.
(3)请证明图⑤的结论.
答案
第13章综合提升卷
1.B　 ①3+4=7<8,不能构成三角形;②4+6=10>9,能构成三角形;③15+8=23>20,能构成三角形;④9+8=17>15,能构成三角形.故选B.
2.B　 任意三角形的内角和都是180°,故①正确;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,但与它相邻的内角不能确定大小,故②错误;三角形的中线、角平分线、高都是线段,故③正确;只有锐角三角形的三条高在三角形内部,故④错误.故选B.
3.C　 A项,∵∠A+∠B=∠C,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;
B项,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;
C项,由∠A=2∠B=3∠C,可得∠A=≠90°,∴△ABC不是直角三角形;
D项,∵一个外角等于和它相邻的内角,∴这个内角等于90°,∴△ABC是直角三角形.故选C.
4.B　 ∵|-5|>1,但是a=-5<1,∴B选项符合.故选B.
5.B　 设三个内角的度数分别为x,5x,6x,得x+5x+6x=180°,解得6x=90°,所以三角形是直角三角形.
6.B　 由题意,可得解得117.D　 如图图①,∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+25°=80°;如图图②,∠BAC=∠BAD-∠CAD=55°-25°=30°.故选D.
8.C　 如图图,∵∠3=∠B+∠D,∠2=∠C+∠E,∠2+∠3=180°-60°=120°,
∴∠B+∠D+∠C+∠E=120°.
∵∠A+∠F=180°-60°=120°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=120°+120°=240°.
故选C.
9.A　 ∵∠AEF是△BDE的外角,
∴∠AEF=∠2+∠3.
同理∠4是△AEF的外角,
∴∠4=∠AEF+∠1,即∠4=∠1+∠2+∠3,
∴∠1+∠2=∠4-∠3.故选A.
10.B　 如图图,由光线的反射角等于入射角,以及等角的余角相等,得∠1=∠6,∠3=∠5,∠2=∠4.
∵∠1=52°,∠3=70°,∴∠6=52°,∠5=70°,
∴∠7+∠8=180°-∠6-∠5=180°-52°-70°=58°.
∵∠7=∠8,∴∠8=×58°=29°,∴∠2=90°-29°=61°.故选B.
11.22　 当腰长为9 cm时,周长是9+9+4=22(cm);当腰长为4 cm时,构不成三角形.
12.180　 ∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.
13.130　6　 ∵在△ABC中,∠A=155°,∴∠ABC+∠ACB=25°.又∵∠A1BA=∠ABC,∠A1CA=∠ACB,∴∠A1BC+∠A1CB=50°,∴在△A1BC中,∠A1=180°-50°=130°.∵25°+25°×6=175°<180°,25°+25°×7=200°>180°,∴最多能进行6步.
14.①②④　 ①∵BD⊥FD,
∴∠FGD+∠F=90°.
∵FH⊥BE,∴∠BGH+∠DBE=90°.
∵∠FGD=∠BGH,
∴∠DBE=∠F,①正确.
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BEF=∠CBE+∠C,
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C.
∵∠BAF=∠ABC+∠C,
∴2∠BEF=∠BAF+∠C,②正确.
③∵∠ABD=90°-∠BAC,∠ABE=∠CBE,
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC.
∵∠CBD=90°-∠C,
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,
由①得∠DBE=∠F,
∴∠F=∠BAC-∠C-∠F,
即2∠F=∠BAC-∠C,③错误.
④∵∠AEB=∠CBE+∠C,∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE+∠C.
∵BD⊥FC,FH⊥BE,
∴∠FGD=∠AEB,
∴∠BGH=∠FGD=∠ABE+∠C,④正确.
故答案为①②④.
15.解:(1)逆命题:若a=0,则ab=0,是真命题.
(2)逆命题:如图果a+b是偶数,那么a,b都是偶数,是假命题.
(3)逆命题:如图果两个角的和是钝角,那么这两个角是锐角,是假命题.
(4)逆命题:如图果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形,是真命题.
16.解:∵∠BAC=40°,∠ABC=70°,
∴∠LCB=40°+70°=110°.
答:猎豹从C处要逆时针转110°才能直达B处.
17.解:∵∠DEC=90°,∠D=30°,
∴∠DCE=60°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO=30°,
∴∠AOC=180°-30°-45°=105°.
18.解:(1)∵在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,
∴∠C=180°-50°-70°=60°.
∵502+602≠702,
∴△ABC不是美好三角形.
故答案为不是.
(2)设∠B=x°.
∵∠A=60°,
∴∠C=180°-60°-x°=(120-x)°.
∵△ABC是美好三角形,∠A=60°,∠B<∠C,
∴602+x2=(120-x)2,
解得x=45,120-x=75,∴∠B=45°,∠C=75°.
19.解:(1)两直线平行,内错角相等　等量代换　三角形的内角和为180°
(2)∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°.
∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°.
(3)90°　90°-β
20.解:(1)∠1>∠2.
理由:如图图①,∵∠3是△CFG的外角,
∴∠3>∠2.
∵∠1是△ABC的外角,
∴∠1>∠3,
∴∠1>∠2.
(2)如图图②,
∵∠DHF=∠D+∠1,∠EHC=∠3+∠F,∠DHF=∠EHC,
∴∠D+∠1=∠3+∠F.①
同理∠2+∠F=∠B+∠4.②
又∵EF,CF分别平分∠DEA,∠BCA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴①-②,得∠B+∠D=2∠F,
即∠F=(∠B+∠D).
21.解:(1)110°
(2)∠APC=α+β.
理由:如图图①,过点P作PE∥AB交AC于点E.
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=∠PAB=α,∠CPE=∠PCD=β,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
(3)如图图②所示,当点P在BD的延长线上时,∠APC=α-β.
如图图③所示,当点P在OB上时,
∠APC=β-α.
22.解:(1)∠A+∠C=90°
(2)证明:如图图①,过点B作BG∥DM.
∵BD⊥AM,∴BD⊥BG,
∴∠ABD+∠ABG=90°.
又∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG.
∵AM∥CN,∴BG∥CN,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C.
(3)如图图②,过点B作BG∥DM.
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE.
由(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF.
设∠DBE=α,∠ABF=β,则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β.
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β.
在△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠FCB=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°.①
由AB⊥BC,可得β+β+2α=90°.②
由①②联立方程组,
解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
23.解:(1)∠BDC>∠A　∠BDC>∠A　∠BDC=90°+∠A　∠BDC=∠A　∠BDC=90°-∠A
(2)证明:如图图①.
∵CD是与∠ACB相邻的外角的平分线,
∴∠1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC.
∵∠1=∠BDC+∠DBC,
∴∠A+∠ABC=∠BDC+∠DBC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC,∴∠BDC=∠A.
(3)证明:如图图②.
∵D是与∠ABC和∠ACB相邻外角的平分线的交点,
∴∠1=(∠A+∠ACB),∠2=(∠A+∠ABC),
∴∠1+∠2=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)=∠A+(∠ACB+∠ABC).
∵在△ABC中,∠ACB+∠ABC=180°-∠A,
∴∠1+∠2=∠A+(180°-∠A)=90°+∠A,
∴在△BCD中,∠BDC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°+∠A=90°-∠A.