12.2 第2课时 用“SAS”判定三角形全等
命题点 利用“SAS”判定两个三角形全等
1.根据下列已知条件,能画出唯一△ABC的是 ( )
A.AB=3,BC=4,AC=7 B.AB=2,BC=3,∠C=30°
C.BC=7,AB=3,∠B=45° D.∠C=90°,AB=4
2.如图,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则中的三角形与△ABC一定全等的是 ( )
3.如图,AC和BD相交于点O.若OA=OD,则用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需添加的条件是 ( )
A.AB=DC B.OB=OC
C.∠C=∠B D.∠A=∠D
4.如图,OA=OB,OC=OD,若∠O=45°,∠C=30°,则∠OBD等于 ( )
A.75° B.105° C.90° D.120°
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A等于 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 .
7.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动.设点P的运动时间为t秒,当t的值为 时,△ABP和△DCE全等.
8.如图,已知点A,B的坐标分别为(2,0),(2,4),P是直角坐标系中与点O不重合的一点.若以A,B,P为顶点的三角形与△ABO全等,则点P的坐标为 .
9.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,3),C(0,2).
(1)请直接写出OB的长度:OB= ;
(2)若点D在x轴上,且点D的坐标为(-3,0),求证:△AOB≌△COD.
10.[2020·徐州] 如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD;
(2)求∠AFD的度数.
11.如图①,已知点A,F,E,C在同一条直线上,AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB.
(1)△ADF与△CBE全等吗 请说明理由;
(2)如图果将△BEC沿CA方向平行移动,可得如图图②③④所示的三个图,若题目中的条件不变,(1)中的结论仍成立吗 请选择一个图形进行证明.
12.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+DF;
(2)如图图②,将(1)中的条件“∠B=∠D=90°”改为“∠B+∠D=180°”,其他条件都不变,(1)中的结论是否仍然成立 (不必给出证明过程)
(3)如图图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,请直接写出EF,BE,DF三者之间的数量关系.
答案
1.C 2.B 3.B 4.B
5.A 在△BFD和△CDE中,
∴△BFD≌△CDE(SAS).∴∠BFD=∠CDE.
∵∠FDC=∠B+∠BFD=∠FDE+∠CDE,
∴∠B=∠FDE=65°=∠C.
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°.
故选A.
6.7 ∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC.∴ED=CD.
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AE+BD+CD=AB-AC+BC=6-4+5=7.
7.1或7 当点P在BC边上运动时,因为AB=DC,∠ABP=∠DCE=90°.若BP=CE=2,则根据“SAS”可证得△ABP≌△DCE.由题意得BP=2t=2,所以t=1.当点P运动到AD边上时,因为AB=CD,∠BAP=∠DCE=90°.若AP=CE=2,则根据“SAS”可证得△BAP≌△DCE,由题意得AP=16-2t=2,解得t=7.综上,当t的值为1或7时,△ABP和△DCE全等.
8.(0,4)或(4,0)或(4,4)
9.解:(1)3
(2)证明:∵点A(2,0),B(0,3),C(0,2),D(-3,0),
∴OC=OA=2,OB=OD=3.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS).
10.解:(1)证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AE=BD.
(2)设BC与AE交于点N,如图图.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°.
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
11.解:(1)全等.
理由:∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE.
(2)仍成立.如图选择题图②证明:
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE.
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE.
12.解:(1)证明:如图图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABC=90°,∴∠ABG=90°.
在△ABG和△ADF中,
∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∠BAD=∠EAF,即∠EAG=∠EAF.
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,∴EF=BE+DF.
(2)结论EF=BE+DF仍然成立.
(3)EF=BE-DF..12.2 第1课时 用“SSS”判定三角形全等
命题点 1 利用“SSS”判定两个三角形全等
1.下列条件中,能作出唯一三角形的是 ( )
A.已知两边 B.已知两角
C.已知一边一角 D.已知三边
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,直接使用“SSS”可判定 ( )
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△EDC
C.△ABE≌△ACE D.△BED≌△CED
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是 ( )
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
4.如图,AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D=30°,∠A=95°,则∠AOB等于 ( )
A.120° B.125° C.130° D.135°
5.如图,已知AB=6,AC=9,DC=6,要使△ABD≌△DCA,还需添加的条件是 ( )
A.DA=5 B.DA=6
C.DB=9 D.DB=6
6.如图图所示,在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,AB=BE,AD=DE,∠A=80°,∠C=40°,则∠CDE= °.
7.[2020·云南] 如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.
8.如图,点B,E,F,C在同一条直线上,AB=DC,AE=DF,CE=BF.
求证:(1)△ABE≌△DCF;
(2)AE∥DF.
9.如图,AB=AC,BD=CD,∠A=80°,∠BDC=120°,求∠B的度数.
命题点 2 利用“SSS”解决实际问题
10.如图,O为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行,在航行途中,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等,试问轮船航行时是否偏离预定航线,请说明理由.
命题点 3 利用“SSS”作图
11.佳佳想在纸上作∠A1O1B1等于已知的∠AOB,步骤有:①画射线O1M;②以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;③以点B1为圆心,以CD长为半径画弧,与已画出的弧交于点A1,作射线O1A1;④以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1M于点B1.在上述步骤中,作∠A1O1B1的正确顺序应为 ( )
A.①④②③ B.②③④①
C.②①④③ D.①③④②
12.已知:线段a,b(如图).
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
13.如图,D是四边形AEBC内一点,连接AD,BD,已知CA=CB,DA=DB,EA=EB.C,D,E三点在一条直线上吗 为什么
答案
1.D
2.C 在△ABE和△ACE中,
所以△ABE≌△ACE(SSS).
3.A ∵D是BC的中点,∴DB=DC.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.
∴AD平分∠BAC.
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD⊥BC,无法得到AB=2BD,故A不正确.
故选A.
4.B 在△ACO和△BDO中,
∴△ACO≌△BDO(SSS).
∴∠C=∠D=30°.
∴∠AOB=∠C+∠A=30°+95°=125°.
故选B.
5.C △ABD与△DCA中已经满足AD=DA,AB=DC=6,即两边分别相等,只需添加第三边相等,即AC=DB=9,就可以得到△ABD和△DCA全等.
6.40 在△BDA和△BDE中,
∴△BDA≌△BDE(SSS).∴∠A=∠BED.
∵∠A=80°,∴∠BED=∠A=80°.
∵∠BED=∠C+∠CDE,
∴∠CDE=∠BED-∠C=80°-40°=40°.
7.证明:在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA(SSS).
∴∠ADB=∠BCA.
8.证明:(1)∵CE=BF,
∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.
在△ABE与△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SSS).
(2)由(1)知△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC.
∴∠AEF=∠DFE.
∴AE∥DF.
9.解:如图图,连接AD,并延长至点F.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD.
∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C.
∵∠BDF=∠B+∠BAD,∠CDF=∠C+∠CAD,
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.
∴∠BDC=2∠B+∠BAC.
∵∠BAC=80°,∠BDC=120°,
∴2∠B=∠BDC-∠BAC=120°-80°=40°.
∴∠B=20°.
10.解:轮船没有偏离预定航线.理由:假设轮船在D处,连接DA,DB,OD,如图图,则DA=DB,AO=BO.
在△ADO和△BDO中,
∴△ADO≌△BDO(SSS).
∴∠AOD=∠BOD.
即OD为∠AOB的平分线.
∴轮船没有偏离预定航线.
11.C
12.解:如图图所示,△ABC即为所求.
13.解:C,D,E三点在一条直线上.
理由:连接CD,ED.
在△ADC和△BDC中,
∴△ADC≌△BDC(SSS).
∴∠ADC=∠BDC.
在△ADE和△BDE中,
∴△ADE≌△BDE(SSS).
∴∠ADE=∠BDE.
∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°,
∴2∠ADC+2∠ADE=360°.
∴∠ADC+∠ADE=180°.
∴C,D,E三点在一条直线上.12.2 第4课时 用“HL”判定三角形全等
命题点 1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是 ( )
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AE=DF
3.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=CE,则判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
4.如图,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.
命题点 2 两个直角三角形全等的判定
5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ( )
A.AC=A'C',∠B=∠B' B.∠A=∠A',∠B=∠B'
C.AB=A'B',AC=A'C' D.AB=A'B',∠A=∠A'
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,DE⊥AB于点E.若AC=8,求AD+DE的值.
7.如图,AC⊥BC于点C,AD⊥BD于点D,AD=BC,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,那么CE与DF相等吗 为什么
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且DB=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)请你判断AE,AF与EB之间的数量关系,并说明理由.
命题点 3 判定两直角三角形全等在实际生活中的应用
9.工人师傅用三角尺按下列方法画角平分线:在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再用两个全等的三角尺按所示方式摆放,两直角边的交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.请你说明其中的道理.
10.小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到“如图①所示,CD⊥AB,BE⊥AC”时,还没把题读完,就说:“这题一定是求证∠B=∠C,也太容易了.”她的证法是:由CD⊥AB,BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°,公共角∠DAC=∠EAB,所以△DAC≌△EAB.由全等三角形的对应角相等,得∠B=∠C.
小明说:“小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CD⊥AB,BE⊥AC,公共角∠DAC=∠EAB这些条件,你的推理也是错误的.看我画的图②,显然△DAC与△EAB是不全等的.再说本题不是要证明∠B=∠C,而是要证明BE=CD.”
(1)根据小敏所读的题,能判定“∠B=∠C”吗 她的推理正确吗 若不正确,请你进行正确的推理;
(2)根据小明说的,要证明BE=CD,必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,写出证明BE=CD的过程;
(3)要判定两个三角形全等,从这个问题中你得到了什么启发
答案
1.B 2.A 3.HL
4.证明:∵AB⊥CF,DE⊥CF,∴∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴BC=EF.∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.
5.B A.根据全等三角形的判定方法“AAS”可以判定△ABC≌△A'B'C',故本选项不符合题意;B.根据“AAA”不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C',故本选项符合题意;C.根据全等三角形的判定方法“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C',故本选项不符合题意;D.根据全等三角形的判定方法“AAS”可以判定△ABC≌△A'B'C',故本选项不符合题意.
6.解:如图图,连接BD.∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠BCD=90°.
在Rt△BED和Rt△BCD中,
∴Rt△BED≌Rt△BCD.∴DE=DC.
∴AD+DE=AD+CD=AC=8.
7.解:CE=DF.
理由:∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠BDA=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.
∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEA=∠DFB=90°.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
∴CE=DF.
8.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°=∠C.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED.∴DC=DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB.
∴CF=EB.
(2)AF+EB=AE.
理由:∵△ACD≌△AED,
∴AC=AE,即AF+CF=AC=AE.
又∵CF=EB,∴AF+EB=AE.
9.解:由题意得∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OPM和Rt△OPN中,
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL).
∴∠POM=∠PON,即OP平分∠AOB.
10.解:(1)能判定∠B=∠C,小敏的推理不正确.
正确的推理:由CD⊥AB,BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°.∵公共角∠DAC=∠EAB,且∠B=90°-∠EAB,∠C=90°-∠DAC,∴∠B=∠C.
(2)答案不唯一,如图丢的条件为AB=AC.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△DAC和△EAB中,
∴△DAC≌△EAB(AAS).∴BE=CD.
(3)要判定两个三角形全等,不可缺少的元素是边,已知条件中至少要有一组边对应相等.12.2 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
命题点 1 利用“ASA”判定两个三角形全等
1.如图,点B,F,C,E在同一直线上,AC=DF,∠1=∠2,如图果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是 ( )
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.BF=CE D.∠B=∠D
2.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.求证:△AEC≌△BED.
3.[2020·南充] 如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.
求证:AB=CD.
命题点 2 利用“AAS”判定两个三角形全等
4.如图,甲、乙、丙三个三角形中标出了某些条件,则与中的△ABC全等的是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
5.如图,点D在△ABC的边BC的延长线上,AB∥DE,∠A=∠ECD,CA=CE.若AB=2,DE=5,则BD等于 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
6.[2020·菏泽] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D.若BC=ED.求证:CE=DB.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H.已知EH=EB=4,AE=6,求CH的长.
命题点 3 利用“SSA”不能判定两个三角形全等
8.如图,把一长两短三根细木棍(两根短木棍长度相同)的一端用螺钉铰合在一起,将长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,固定住长木棍,摆动短木棍,两根短木棍的另一端分别落在射线BC上的点C,D处,得到△ABD和△ABC,此时AB=AB,AC=AD,∠ABD=∠ABC,但是△ABD和△ABC不全等,这说明 .
命题点 4 “ASA”和“AAS”在实际生活中的应用
9.某校七年级学生到野外活动,为测量一池塘两端A,B的距离,甲、乙、丙三位同学分别设计出如图下几种方案:
甲:如图①,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,延长BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A,B的距离.
乙:如图图②,先过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B的距离.
丙:如图图③,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,在AB的延长线上取一点C,使∠BDC=∠BDA,这时只要测出CB的长即为A,B的距离.
(1)以上三位同学所设计的方案中,可行的是 ;
(2)请你选择一种可行的方案,说说它可行的理由.
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是边AC,BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)若点P,Q分别从A,B两点同时出发,沿AC,BC向点C匀速运动,运动速度都为每秒1个单位长度,其中一点到达终点C后,另一点也随之停止运动,在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等 判断并说明理由.
(2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t为何值时,△APD和△QBE全等
答案
1.B
2.证明:∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED.
3.证明:∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,
∴∠ACE=∠B=∠D=90°.
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠E=90°,
∴∠ACB=∠E.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(ASA).∴AB=CD.
4.B
5.C
6.证明:∵ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠ADE=∠ACB=90°.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(AAS).
∴AB=AE,AC=AD,
∴AE-AC=AB-AD,即CE=DB.
7.解:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠BEC=∠HEA=∠ADB=90°.
∵∠BAD+∠B=90°,∠BCE+∠B=90°,
∴∠BAD=∠BCE.
在△BCE和△HAE中,
∴△BCE≌△HAE.∴CE=AE=6.
∴CH=CE-EH=6-4=2.
8.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
9.解:(1)甲、乙、丙
(2)(答案不唯一)
选甲:在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
∴AB=DE;
选乙:∵AB⊥BD,DE⊥BD,
∴∠B=∠CDE=90°.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=ED;
选丙:
∵BD⊥AB,∴∠ABD=∠CBD=90°.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(ASA).
∴AB=CB.
10.解:(1)△APD和△QBE保持全等.
理由:∵PD⊥AB,QE⊥AB,
∴∠ADP=∠QEB=90°.
又∵∠C=90°,
∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°.
∴∠APD=∠B.
由题意可知AP=QB=t.
在△APD与△QBE中,
∴△APD≌△QBE.
(2)由(1)可知∠ADP=∠QEB=90°,∠APD=∠B,∴若△APD和△QBE全等,则只能是△APD≌△QBE.∴AP=QB.
①当0由AP=QB,可得8-3t=t,解得t=2.
②当≤t≤时,点P从点A向点C运动,
则AP=3t-8,QB=t.
由AP=QB,可得3t-8=t,解得t=4.
综上所述,当t的值为2或4时,△APD和△QBE全等.
