14.2.2 第1课时 完全平方公式
命题点 1 完全平方公式
1.(-m+2n)2的运算结果是 ( )
A.m2+4mn+4n2 B.-m2-4mn+4n2
C.m2-4mn+4n2 D.m2-2mn+4n2
2.计算(2x-1)(1-2x)的结果正确的是 ( )
A.4x2-1 B.1-4x2
C.-4x2+4x-1 D.4x2-4x+1
3.若x2-2(m-3)x+16可以写成两个数的和的平方的形式,则m的值是 ( )
A.7或-1 B.-1
C.7 D.5或1
4.已知M是含字母的单项式,当M是下列哪一个单项式时不能使多项式4x2+M+1构成某一个多项式的平方 ( )
A.4x B.-4x C.4x4 D.-4x4
5.若x2-10x+b可以化为(x-a)2-2,则a+b的值是 .
6.已知x,y互为相反数,且(x+3)2-(y+3)2=6,求x,y的值.
命题点 2 利用完全平方公式的变形进行整体代入求值
7.若a+b=3,a2+b2=7,则ab的值为 ( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
8.已知(x-y)2=49,xy=2,则x2+y2的值为 ( )
A.53 B.45 C.47 D.51
9.若(x+y)2=11,(x-y)2=7,则xy和x2+y2的值分别为 ( )
A.4,18 B.1,18 C.1,9 D.4,9
10.若n满足(n-2021)2+(2022-n)2=1,则(n-2021)(2022-n)等于 ( )
A.-1 B.0 C. D.1
11.若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值.
解:设9-x=a,x-4=b,
∴(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,
∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若x满足(x-2018)2+(x-2021)2=31,求(x-2018)(x-2021)的值;
(2)如图,已知正方形ABCD的边长为m,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
命题点 3 利用完全平方公式进行简便运算
12.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是 ( )
A.(89+0.8)2 B.(80+9.8)2
C.(90-0.2)2 D.(100-10.2)2
13.计算:9972-1001×999.
14.小明在计算时,找不到计算器,去向小花借,小花看了看题说根本不需要计算器,而且很快说出了答案,你知道她是怎么做的吗
命题点 4 完全平方公式的几何背景
15.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如图,根据①,我们可以得到两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.根据图②中阴影部分的面积能得到的数学公式是 ( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a(a+b)=a2+ab D.a(a-b)=a2-ab
16.大家一定知道杨辉三角(如图①),观察下列等式如图图②.
(1)根据前面各式的规律,则(a+b)5= ;
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
答案
1.C
2.C 原式=-(2x-1)2=-4x2+4x-1.
3.A 4.D
5.28 x2-10x+b=x2-2ax+a2-2,可得-2a=-10,b=a2-2,则a=5,b=23,所以a+b=28.
6.解:∵x,y互为相反数,∴y=-x.
∴(x+3)2-(y+3)2=(x+3)2-(-x+3)2=x2+6x+9-x2+6x-9=6,即12x=6,解得x=.
∴y=-x=-.
7.B ∵a+b=3,∴(a+b)2=9.
∴a2+2ab+b2=9.
∵a2+b2=7,∴7+2ab=9.
∴ab=1.
8.A ∵(x-y)2=49,xy=2,∴x2+y2=(x-y)2+2xy=49+4=53.
9.C (x+y)2=x2+2xy+y2=11①,
(x-y)2=x2-2xy+y2=7②.
①-②,得4xy=4,即xy=1;
①+②,得2(x2+y2)=18,即x2+y2=9.
10.B ∵(n-2021)2+(2022-n)2
=(n-2021+2022-n)2-2(n-2021)(2022-n)
=(-2021+2022)2-2(n-2021)(2022-n)
=1-2(n-2021)(2022-n)
=1,
∴(n-2021)(2022-n)=0.
11.解:(1)设x-2018=a,x-2021=b,
∴a2+b2=31,a-b=(x-2018)-(x-2021)=3.
∴-2(x-2018)(x-2021)=-2ab=(a-b)2-(a2+b2)=9-31=-22.
∴(x-2018)(x-2021)=11.
(2)∵正方形ABCD的边长为m,AE=1,CF=3,
∴FM=DE=m-1,DF=m-3.
∴(m-1)(m-3)=48.
阴影部分的面积=FM2-DF2=(m-1)2-(m-3)2.
设m-1=a,m-3=b,则(m-1)(m-3)=ab=48,a-b=(m-1)-(m-3)=2,
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+192=196.
∵a>0,b>0,∴a+b>0.∴a+b=14.
∴(m-1)2-(m-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=14×2=28,
即阴影部分的面积是28.
12.C
13.解:原式=9972-(1000+1)×(1000-1)
=(1000-3)2-10002+1
=10002-6000+9-10002+1
=-5990.
14.解:原式===.
15.B 阴影部分的面积=(a-b)2,还可以表示为a2-2ab+b2,∴(a-b)2=a2-2ab+b2.
16.解:(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(2)25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=15=114.2.2 第2课时 添括号法则
命题点 1 添括号法则
1.下列添括号错误的是 ( )
A.2x-y=-(y-2x)
B.-7m-2n=-(7m+2n)
C.a2-3=+(a2-3)
D.-x+5=-(x+5)
2.若(a+b-c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )],则括号里所填的项分别是 ( )
A.b-c,b+c B.-b+c,b-c
C.b-c,b-c D.-b+c,b+c
3.填空:a-(b-c+d)=a-d+( ).
4.按下列要求给多项式-a3+2a2-a+1添括号.
(1)使最高次项的系数变为正数;
(2)把奇次项放在前面是“-”号的括号里,其余的项放在前面是“+”号的括号里.
命题点 2 添括号后应用乘法公式
5.在(x+y+a-b)(x-y+a+b)的计算中,下列说法错误的是 ( )
A.两个多项式中的相同项有x和a,相反项有y和-y及-b和b
B.此计算可先用乘法公式计算得(x+a)2-(y-b)2,再进行计算
C.此计算可用乘法公式,故可先变形为[(x+a)+(y-b)][(x+a)-(y-b)]
D.此计算可用乘法公式,故可先变形为[(x-b)+(y-a)][(x-b)-(y+a)]
6.计算:(1)(2m+n-p)(2m-n+p);
(2)(3x-2y-1)2;
(3)2(a+b+c)2-(a-b+c)2.
7.若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,试求(a+b)2的值.
8.探究总结:
(1)计算:
①(a+2)(a2-2a+4)= = ;
②(x+y)(x2-xy+y2)= = ;
③(2m+3n)(4m2-6mn+9n2)= = .
(2)上面的整式乘法的结果很简洁,你能从中发现一个新的乘法公式吗
用含字母a,b的式子表示你的发现: .
(3)下列各式中能用你发现的乘法公式计算的是 ( )
A.(m+n)(m2-2mn+n2)
B.(y+3)(y2+3y+9)
C.(4+x)(16-4x+x2)
D.(2x+y)(2x2-2xy+y2)
答案
1.D 2.A
3.-b+c
4.解:(1)根据题意,得-(a3-2a2+a-1).
(2)根据题意,得-(a3+a)+(2a2+1).
5.D
6.解:(1)原式=[2m+(n-p)][2m-(n-p)]
=(2m)2-(n-p)2
=4m2-(n2-2np+p2)
=4m2-n2+2np-p2.
(2)原式=[(3x-2y)-1]2
=(3x-2y)2-2(3x-2y)+1
=9x2-12xy+4y2-6x+4y+1.
(3)2(a+b+c)2-(a-b+c)2
=2[(a+b)+c]2-[(a-b)+c]2
=2(a+b)2+4(a+b)c+2c2-(a-b)2-2c(a-b)-c2
=2a2+4ab+2b2+4ac+4bc+2c2-a2+2ab-b2-2ac+2bc-c2
=a2+6ab+2ac+6bc+b2+c2.
7.解:(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
[2(a+b)+1][2(a+b)-1]=63,
4(a+b)2-1=63,
4(a+b)2=64,
(a+b)2=16.
8.(1)①a3-2a2+4a+2a2-4a+8 a3+8
②x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 x3+y3
③8m3-12m2n+18mn2+12m2n-18mn2+27n3
8m3+27n3
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(3)C
