人教版数学九年级上册同步提优训练：第二十三章　旋转 综合提升卷（word,含答案）

第二十三章综合提升卷
范围：旋转　时间：90分钟　分值：100分第Ⅰ卷　(选择题　共30分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．风车应做成正面投影为中心对称图形，并且不是轴对称图形的样子，才能在风口处平稳旋转．如图，现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的黏合方法是(　　)
　
2．下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的是(　　)
3．在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为(　　)
A．(3，2) B．(2，－3)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，以点D为旋转中心，把△ABC顺时针旋转60°后所成的图形应是图中的(　　)
　
5．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①Y(a，b)＝
(－a，b)；②O(a，b)＝(－a，－b)；③X(a，b)＝(a，－b)．
按照以上变换有Y(O(1，2))＝(1，－2)，那么O(X(3，4))等于(　　)
A．(3，4) B．(3，－4)
C．(－3，4) D．(－3，－4)
6．对图的变化顺序描述正确的是(　　)
A．翻折、旋转、平移 B．翻折、平移、旋转
C．平移、翻折、旋转 D．旋转、翻折、平移
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是(　　)
A．(1.5，1.5) B．(1，0)
C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)
8．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为(　　)
　
A．130° B．150°
C．160° D．170°
9．如图，在△ABC中，AC＝6 ，∠A＝45°，∠B＝30°，P是BC边上一点，将PC绕着点P逆时针旋转得到PC′，旋转角为α(0°＜α＜180°)，若旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部(不包括边上)，则PC长的取值范围是(　　)
A．0＜PC＜4 B．4＜PC＜6 C．0＜PC＜6 D．0＜PC＜4
10．一个数学游戏，正六边形被平均分为6格(其中1格涂有阴影)，规则如图下：若第一个正六边形下面标的数字为a(a为正整数)，则先绕正六边形的中心顺时针旋转a格；再沿某条边所在的直线l翻折，得到第二个图形．例如图：若第一个正六边形下面标的数字为2，如图①，则先绕其中心顺时针旋转2格，再沿直线l翻折，得到第二个图形．若第一个正六边形下面标的数字为4，直线l的位置如图②所示，按照游戏规则，得到的第二个图形应是(　　)
第Ⅱ卷　(非选择题　共70分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图，该图形可以看作是由一个“”每次旋转________得到的．
12．如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是________．
13．已知点P(a＋1，2a－3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是______________．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC与四边形CDEF都是正方形，OA＝2，M，D分别是AB，BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度或沿y轴上下平移后，若点F的对应点为F′，且OF′＝OM，则点F′的坐标是__________________．
15．如图，菱形ABCD和菱形AEFG开始时互相重合，现将菱形AEFG绕点A顺时针旋转，设旋转角∠BAE＝α(0°＜α＜360°)，则当α＝______________时，菱形AEFG的顶点F会落在菱形ABCD的对角线AC或BD所在的直线上．
16．如图是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如图下两种方式：第一种，向上、下、左、右可任意跳动1格或3格；第二种，跳到关于原点的对称点上．若机器蛙在点A(－5，4)处，现欲操纵它跳到点B(2，－3)处，则机器蛙至少要跳________次．
三、解答题(共52分)
17．(5分)如图①是利用正方形各边中点和弧的中点设计的正方形瓷砖图案，用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形图案，使拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．请你在图②和图③中各画一种拼法(要求两种拼法不相同)．
18．(5分)用直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
已知：如图，△A′B′C′是由△ABC以点O为中心经过一次旋转得到的，点A′，B′，C′分别是点A，B，C旋转后的对应点．
求作：旋转中心O.
19．(5分)如图，△DEF是由△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说这些对应点的坐标有哪些特征；
(2)若点P(a＋3，4－b)与点Q(2a，2b－3)也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
20．(6分)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接DC，已知∠DCB＝30°.求证：DC2＋BC2＝AC2.
21．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△DEC，若点D刚好落在AB边上，取DE边的中点F，连接FC，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
22．(7分)将抛物线C1：y＝(x＋1)2－2绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．
23．(7分)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C，且点B1在线段BA的延长线上(如图)．
(1)求证：BB1∥CA1；
(2)求△AB1C的面积．
24．(10分)已知：在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以CB为边作等边三角形CBP，连接AP，求AP的长．
这道题目难倒了小明，因为没有具体图形，发现△ABC不是一个固定的图形，也没有指定等边三角形CBP在BC所在直线的哪一侧，这两个不确定的因素会使得AP的长不一定是固定的，为此小明从特殊情况出发研究这个问题，按如图下步骤解决：
步骤1：取∠CAB＝30°，以CB为边作等边三角形CBP，使点A与点P在BC所在直线的两侧；
步骤2：要想建立AB，AC，AP的联系，需要将这三条线段进行转移处理，由于图中有等边三角形，可以通过旋转来完成线段与角的转移，因此将△ACP以点P为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP，通过推理与计算得到了此位置时AP的长．
(1)请结合小明的步骤在图中补全图形；
(2)结合(1)中补全后的图形求出此时AP的长；
(3)根据上述经验，改变∠CAB的度数，发现∠CAB在变化到某一角度时，AP的长有最大值，画出∠CAB为这个特殊角度时的示意图，写出AP长的最大值，并说明大致思路．
答案
1．A　 可凭生活中的经验，也可以由风车的正面投影是中心对称图形，但不是轴对称图形进行判断．
2．A　 选项B是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项C是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项D是中心对称图形，但不是轴对称图形；只有选项A既是中心对称图形，又是轴对称图形．
3．D　 由题意可得，点P和点P′关于原点对称，它们的横、纵坐标分别互为相反数．
4．D
5．C　 根据题意可得O(X(3，4))＝O(3，－4)＝(－3，4)．故选C.
6．B
7．C　 连接AA′，BB′，作BB′的垂直平分线，再作AA′的垂直平分线，两条直线相交于一点，此点即为旋转中心，坐标为(1，－1)．
8．C　 由四边形ABCD是平行四边形，
得AD∥BC.
又∵∠ADA′＝50°，∴∠DA′E＝130°.
易得∠E′A′B＝∠EAB＝30°，∴∠DA′E′＝160°.
9．A　 如图，过点C作CD⊥AB于点D，过点P作PH⊥AB于点H.
∵AC＝6 ，∠A＝45°，∠B＝30°，
∴AD＝CD＝6，BC＝2CD＝12.
设PC＝x＝PC′，
则BP＝12－x，PH＝(12－x)．
∵旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部(不包括边上)，∴PC′＜PH，
即x＜(12－x)，解得x＜4，即PC＜4.
又∵PC＞0，∴0＜PC＜4.
10．A　 先绕其中心顺时针旋转4格：
再沿直线l翻折：
11．90°　12.3
13．－1＜a＜　 ∵点P关于原点的对称点在第二象限，∴点P在第四象限，
∴
解得∴－1＜a＜.
14．(0，)或(0，－)或(－1，2)或(1，2)
①若把正方形CDEF沿y轴上下平移，
∵OM＝＝，
∴在y轴上点F有两个对应点，坐标分别为(0，)，(0，－)．
②若把正方形CDEF绕点C旋转某个角度，
连接OD，易证△OCD≌△OAM，∴OD＝OM，则点D为点F的对应点，其坐标为(1，2)；
在BC的延长线上点D关于y轴的对称点位置也存在一点F′，使OF′＝OM，该点坐标为(－1，2)．
15．60°或180°或300°　 如图①，当点F在线段DB的延长线上时，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，∴∠AOF＝90°.
∵AF＝AC，∴OA＝AF，
∴∠CAF＝60°，即旋转角为60°；
如图②，当点F在线段CA的延长线上时，
∠CAF＝180°，∴旋转角为180°；
如图③，当点F在线段BD的延长线上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
∴∠AOF＝90°.
∵AF＝AC，∴OA＝AF，∴∠CAF＝60°.
则旋转角为360°－60°＝300°.
∴α＝60°或180°或300°.
16．3　 机器蛙在点A(－5，4)处，根据跳步游戏规则，可以先向右跳3格，再向下跳1格，然后跳到关于原点的对称点处，即可跳到点B(2，－3)处，故机器蛙至少要跳3次．
17．解：答案不唯一，如图：
18．解：如图所示：
19．解：(1)由图可知，点A(2，3)，点D(－2，－3)，点B(1，2)，点E(－1，－2)，点C(3，1)，点F(－3，－1)．
这些对应点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数．
(2)由(1)可知a＋3＋2a＝0，4－b＋2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－1.
20．证明：连接EC.
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.
又∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，
∴EC＝BC，∠BCE＝60°.
又∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，
∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.
21．解：四边形ACFD是菱形．
理由：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°－∠B＝60°，AC＝AB.
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△DEC，
∴AC＝DC，AB＝DE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD.
∵F是DE的中点，
∴DF＝CF＝DE，
∴AC＝CF＝DF＝AD，∴四边形ACFD是菱形．
22．解：∵抛物线y＝(x＋1)2－2的顶点坐标为(－1，－2)，
∴绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线C2的顶点坐标为(2t＋1，6)，
∴抛物线C2的解析式为y＝－(x－2t－1)2＋6.
∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，
∴－(－1－2t－1)2＋6＝－2，
解得t1＝3，t2＝－5，
∴抛物线C2的解析式为y＝－(x－7)2＋6或y＝－(x＋9)2＋6.
23．解：(1)证明：∵AB＝AC，B1C＝BC，
∴∠AB1C＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠AB1C＝∠ACB.
又由旋转知∠ACB＝∠A1CB1，
∴∠A1CB1＝∠AB1C，∴BB1∥CA1.
(2)过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．
∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，BC＝6，∴BD＝CD＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC·AD＝×6×4＝12.
过点C作CE⊥AB于点E，
∴CE＝＝，∴BE＝＝.
∵B1C＝BC，CE⊥AB，∴B1E＝BE＝，
∴BB1＝，∴AB1＝，
∴△AB1C的面积＝AB1·CE＝.
24．解：(1)补全图形如图①所示．
图①
(2)连接AP′.∵将△ACP以点P为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP，
∴∠APP′＝60°，△ACP≌△P′BP，
∴∠CAP＝∠BP′P，AP＝P′P，AC＝P′B＝3，
∴△P′AP为等边三角形，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠AP′P＝60°.
∵∠CAB＝30°，∴∠ACB＋∠ABC＝150°，
∴∠ABP′＝360°－150°－60°－60°＝90°.
在Rt△ABP′中，AP′＝＝5，
∴AP＝AP′＝5.
(3)如图②所示，当∠CAB＝120°时，AP的长有最大值，最大值是7.
图②
思路：
①由旋转可得∠ACP＝∠P′BP，AP＝P′P，AC＝P′B；
②由∠CAB＝120°，∠CPB＝60°，可得∠ACP＋∠ABP＝180°，进而推出∠ABP＋∠P′BP＝180°，即A，B，P′三点共线；
③由AC＝3，AB＝4，可得AP＝AP′＝AB＋P′B＝7.