人教版数学九年级上册同步提优训练：第二十一章　一元二次方程 本章总结提升（含答案）

本章总结提升　
一、一元二次方程的解法
1．已知关于x的一元二次方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8＝0.
(1)当m＝时，用____________法解方程较为简单；
(2)当m＝0时，用配方法解方程；
(3)当m＝1时，用公式法解方程；
(4)若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；
(5)若m是大于12小于40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．
二、一元二次方程的应用
2．2021广东改编端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒，每盒售价每提高1元，每天就少售出2盒．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒的售价为x元(50≤x≤65)，求当x为何值时，商家每天销售猪肉粽的利润为1750元．
3．如图21 B 1，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．
(1)经过多长时间P，Q两点之间的距离是6 cm
(2)经过多长时间P，Q两点之间的距离是10 cm
4．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y＝3时，x2＝3，解得x＝±.所以原方程的解为x1＝，x2＝－.
问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)利用以上材料提供的方法解方程：(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
答案
1．解：(1)直接开平方(或因式分解)
(2)当m＝0时，原方程变为x2＋6x＋8＝0.
移项，得x2＋6x＝－8.
配方，得x2＋6x＋9＝－8＋9，
即(x＋3)2＝1.
直接开平方，得x＋3＝1或x＋3＝－1，
解得x1＝－2，x2＝－4.
(3)当m＝1时，原方程变为x2＋2x－2＝0.
∵a＝1，b＝2，c＝－2，
∴Δ＝b2－4ac＝12＞0，
∴x＝，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
(4)证明：Δ＝[－2(2m－3)]2－4(4m2－14m＋8)＝8m＋4.
∵m＞0，∴8m＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(5)∵12＜m＜40，∴8m＋4＞0，
∴由求根公式，得x＝＝(2m－3)±.　　
∵方程有两个整数根，
∴必须使为整数．
∵2m＋1必是奇数，∴是奇数．
又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81，
∴5＜＜9，
∴＝7，
∴m＝24.
2．解：(1)设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价为(a－10)元．
由题意，得＝.
解得a＝40，经检验，a＝40是方程的解．
a－10＝40－10＝30(元)．
答：猪肉粽每盒的进价为40元，豆沙粽每盒的进价为30元．
(2)由题意得(x－40)[100－2(x－50)]＝1750.
解得x1＝65，x2＝75(舍去)．
答：当x为65时，商家每天销售猪肉粽的利润为1750元．
3．解：过点Q 作QE⊥AB于点E，如图所示．
设运动时间为x s，则PE＝|12－3x|cm，QE＝6 cm.
(1)依题意，得PQ＝6 cm＝QE，
∴AP＝DQ，
即2x＝12－x，
解得x＝4.
答：经过4 s后P，Q两点之间的距离是6 cm.
(2)由题意，得(12－3x)2＋62＝102.
解得x1＝，x2＝.
∵AP＝2x≤12，
∴x≤6，
∴x＝.
答：经过 s后P，Q两点之间的距离是10 cm.
4．解：(1)换元　转化
(2)令y＝x2＋5x，
则原方程化为(y＋1)(y＋7)＝7，
整理，得y2＋8y＝0，解得y1＝0，y2＝－8.
当y＝0时，x2＋5x＝0，解得x1＝0，x2＝－5；
当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0，
因为Δ＝b2－4ac＝52－4×1×8＝－7＜0，所以此方程无实数解．
所以方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7的解为x1＝0，x2＝－5.