吉林德惠实验高三数学周考试卷
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吉林德惠实验高三数学周考试卷 2013、1
一．选择题 （每小题5分，共50分）
1. 给出下列正方体的侧面展开图，其中分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，与所在直线为异面直线的是
A B C D
2. ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1角为60°
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为
A. B. C. D.
4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是
A.60° B.45° C.30° D.90°
5. 椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则 值
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的离心率,则实数的值为
A.3 B.3或 C. D.或
7. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
A. B. C. D.
8. 如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为
A.是正三棱锥
B.直线∥平面
C.直线与所成的角是
D.二面角为 .
9. 若O为坐标原点，抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A、B两点，则·等于
A. B. C.3 D.－4
10. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于
A. B. C. D.
二.填空题 （每小题4分，共24分）
11 若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值是_______________.
12. 如图，边长为2的正三角形AOC和BOC，
点A在平面上，点在面上，
则向量的坐标表示为_________
13. 过点可作_________条直线与双曲线
有且只有一个公共点。
14 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
15．设分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 ；
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，和，若是、的等比中项，是与的等差中项，
则椭圆的离心率是____ 。
三解答题 （共4题，计46分）
17．（10分）求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。
18(12分)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离
19（12分）已知抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。
（1）当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。
20 （12分）已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)
（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。
高三数学周考试卷参考答案（仅供参考）
一．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
D
C
B
A
B
A
B
B
C
二.11. 10 12. 13. 4条 14 15 2 16
三。 17求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)
解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
18. 方法一：
（I）证明：连结OC
在中，由已知可得
而
即平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
、在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又点E到平面ACD的距离
19. （1）抛物线的焦点为（1，0） 2分
由已知=，设，，
联立，消得，
所以， 4分
6分
（2）联立，消得………………（*）（依题意≠0）
，， 8分
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为，，则α+β=45°，
，
其中，，代入上式整理得 11分
所以，即， 10分
此时，使（*）式有解的，有无数组
直线的方程为，整理得
消去，即时恒成立，
所以直线过定点（-4，4） 12分
20. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为
即是0（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m
方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为
一．选择题 （每小题5分，共50分）
1. 给出下列正方体的侧面展开图，其中分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，与所在直线为异面直线的是
A B C D
2. ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1角为60°
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为
A. B. C. D.
4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是
A.60° B.45° C.30° D.90°
5. 椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则 值
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的离心率,则实数的值为
A.3 B.3或 C. D.或
7. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
A. B. C. D.
8. 如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为
A.是正三棱锥
B.直线∥平面
C.直线与所成的角是
D.二面角为 .
9. 若O为坐标原点，抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A、B两点，则·等于
A. B. C.3 D.－4
10. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于
A. B. C. D.
二.填空题 （每小题4分，共24分）
11 若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值是_______________.
12. 如图，边长为2的正三角形AOC和BOC，
点A在平面上，点在面上，
则向量的坐标表示为_________
13. 过点可作_________条直线与双曲线
有且只有一个公共点。
14 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
15．设分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 ；
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，和，若是、的等比中项，是与的等差中项，
则椭圆的离心率是____ 。
三解答题 （共4题，计46分）
17．（10分）求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。
18(12分)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离
19（12分）已知抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。
（1）当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。
20 （12分）已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)
（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。
高三数学周考试卷参考答案（仅供参考）
一．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
D
C
B
A
B
A
B
B
C
二.11. 10 12. 13. 4条 14 15 2 16
三。 17求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)
解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
18. 方法一：
（I）证明：连结OC
在中，由已知可得
而
即平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
、在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又点E到平面ACD的距离
19. （1）抛物线的焦点为（1，0） 2分
由已知=，设，，
联立，消得，
所以， 4分
6分
（2）联立，消得………………（*）（依题意≠0）
，， 8分
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为，，则α+β=45°，
，
其中，，代入上式整理得 11分
所以，即， 10分
此时，使（*）式有解的，有无数组
直线的方程为，整理得
消去，即时恒成立，
所以直线过定点（-4，4） 12分
20. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为
即是0
方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为