2-1-1同步检测
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10m，宽5m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
2．如图所示，下列符号表示错误的是( )
A．l∈α B．P?l
C．l?α D．P∈α
3．如果a?α，b?β，l∩α＝Q，l∩b＝B，那么下列关系中成立的是( )
A．l?α B．l∈α
C．l∩α＝A D．l∩α＝B
4．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
5．下列命题中正确的是( )
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
6．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线的条数是( )
A．一条 B．两条
C．三条 D．一条或三条
7．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为( )
A．1 B．1或2
C．1或3 D．3
8．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α?a?α
②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
9．若一直线a在平面α内，则正确的图形是( )
10．下图中正确表示两个相交平面的是( )
二、填空题
11．已知α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
12．(1)经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作________个平面．
(2)“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内．”用符号语言叙述这一命题为________________________ ________________________．
(3)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是________________．
13．已知A∈α，B?α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点？
14．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)AC∩BD＝________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.
三、解答题
15．用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；
(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
16．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．
17．根据本节所学知识，怎样用两根细绳检查一张课桌的四条腿的下端是否在同一个平面内？
[分析] 四条腿的下端看成四个点，判断这四个点是否共面．
详解答案
1[答案] D
[解析] 镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.
2[答案] A
[解析] 观察图知：P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的．
3[答案] A
[解析] 由公理1或画图可知：l?α.
4[答案] D
[解析] 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．
5[答案] B
[解析] 由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组以边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．
6[答案] D
7[答案] C
[解析] 三条直线共点时，可以确定三个或一个平面，三条直线不共点时，确定一个平面，∴选C.
8[答案] D
[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.
9[答案] A
10[答案] D
[解析] A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．
11[答案] P∈l
[解析] ∵m∩n＝P，m?α，n?β，∴P∈α，P∈β，
又α∩β＝l，∴P∈l.
12[答案] (1)无数，无数，一
(2)A∈α，B∈α，C∈AB?C∈α
(3)∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上
13[答案] 1个
[解析] 若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知l?α，又B∈l，∴B∈α与B?α矛盾，∴l与α有且仅有一个公共点A.
14[答案] (1)O (2)A1B1 (3)B1
15[解] (1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图1.
(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD＝AC.图形表示如图2.
16[解析] 图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β，b∩AB＝M
图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B
图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a?α，直线b?β，a∩b＝A，A∈CD.
17[解] 检查方法：将桌子四条腿朝上放平，用两条细绳拉紧分别按在对角的两腿的下端，如果这两条细绳相交于一点，那么这四条腿的下端就在同一平面内，否则不在同一平面内．
2-1-2同步检测
一、选择题
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )
A．3条 B．4条
C．6条 D．8条
5．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝2，PR＝3，则AC和BD所成的角为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
9．如图所示，已知三棱锥A－BCD中M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
10．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面
D．相交成60°
二、填空题
11．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．
12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则
①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．
②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中
①AC和DD1所成角是________度．
②AC和D1C1所成的角是________度．
③AC和B1D1所成的角是________度．
④AC和A1B所成的角是________度．
⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．
⑥A1B和B1D1所成角是________度．
14．给出下列命题：
①空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．
其中成立的是________．
三、解答题
15．如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且＝＝成立．
求证：△A1B1C1∽△ABC.
[分析] 由初中所学平面几何知识，可证明两内角对应相等，进而证明两个三角形相似．
16．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
[分析] 由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．
17．如下图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
18．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
说解答案
1[答案] D
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如下图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如上图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．
只有D符合定义．∴应选D.
规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．
2[答案] C
[解析] 若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，故b
与c不可能平行，选C.
3[答案] D
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.
4[答案] C
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．
5[答案] B
[解析] ②④是正确的．
6[答案] A
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A.
7[答案] C
[解析] ∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，
∴∠A1DB＝60°.
8[答案] A
[解析] 如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，
∴∠PQR为AC和BD所成角
又PQ＝AC＝2，
QR＝BD＝，RP＝3
∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°
即AC和BD所成的角为90°，故选A.
9[答案] D
[解析] 如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝AC，NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．
10[答案] D
[解析] 将展开图还原为正方体，如图所示，
则△ABC是等边三角形，所以直线AB、CD在原正方体中的位置关系是相交成60°.
11[答案] 平行、相交、异面；相交、异面；平行、异面；平行、相交、异面．
12[答案] ①相交 60° ②异面 90°
[解析] 连接AC、BD交于O，
取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，
连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，
又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.
13[答案] ①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.
[解析] ①DD1⊥面ABCD ∴DD1⊥AC
②D1C1∥DC ∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角
③B1D1∥BD BD⊥AC ∴B1D1⊥AC
④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角
⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，
又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，
又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角．
⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边△，∴成60°角．
14[答案] ②
15[证明] 在△OAB中，
∵＝，∴A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
∴△A1B1C1∽△ABC.
[反思] 在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等．此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行．
16[解析] 如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.
17[解析] 取AC的中点F，连接BE、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
18[证明] 如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝AB.
又∵BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形．
∴A1F∥BM.
而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，
则F1M綊C1B1，
而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，
则A1N綊DE，
∴四边形A1NDE为平行四边形．
∴A1E∥DN.
又E1N∥CD，且E1N＝CD，
∴四边形E1NDC为平行四边形．
∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
且方向都相反．
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．
2-1-3、4同步检测
一、选择题
1．给出以下结论：
(1)直线a∥平面α，直线b?α，则a∥b.
(2)若a?α，b?α，则a、b无公共点．
(3)若a?α，则a∥α或a与α相交．
(4)若a∩α＝A，则a?α.
正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
3．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，则有( )
A．l∥α B．l?α
C．l与α相交 D．以上都有可能
4．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l?α D．α∥β，l?α
5．三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
6．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
7．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( )
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点
8．平面α∥平面β，直线a∥α，则( )
A．a∥β B．a在面β上
C．a与β相交 D．a∥β或a?β
9．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( )
A．α∥β B．α与β相交
C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
10．已知m、n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则l( )
A．与m、n都相交
B．与m、n中至少一条相交
C．与m、n都不相交
D．与m、n中只有一条相交
二、填空题
11．过平面α外一点M，作直线l∥α，则这样的直线l有________条．
12．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________．
13．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a∥b.
14．以下结论中，正确的结论序号为________．
①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；
②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；
③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；
④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．
三、解答题
15．完成下列作图
(1)在图中画出两个平行平面；(2)在图中画出两个相交平面；
(3)在图中画出三个平行平面；(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交；
(5)在图中分别画出三个两两相交的平面．
16．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判断
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？
17．如下图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．
18．(情景题)一刀切豆腐将豆腐切为2块，两刀切豆腐最多可将豆腐切为4块，问三刀切豆腐最多可将豆腐切为几块，怎么切？试作出图形．
[分析] 本题实际上是三个平面将空间最多分成几部分的问题，画这种平面分割空间的直观图，其实就是考查相交平面的画法，画图时要注意画相交平面的顺序和虚、实线的选择．
详解答案
1[答案] B
[解析] 其中(3)，(4)正确．
2[答案] B
[解析] 由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
3[答案] C
[解析] 如图所示，l∩α＝M.
4[答案] D
[解析] 由图知平面α与平面β平行，直线l在平面α内，则α∥β，l?α.
5[答案] A
[解析] 三棱锥的四个面中，任两个面相交，交线分别是三棱锥的棱．
6[答案] D
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；
取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D.
7[答案] D
[解析] 由于直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面α内．当直线l与平面α相交时，α内的直线与直线l相交或异面，所以选项A和C均不正确；当直线l在平面α内时，α 内存在与l平行的直线，所以选项B不正确．
8[答案] D
[解析] 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；
如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D.
9[答案] D
[解析]
如上图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.
10[答案] C
[解析] m∥平面α，则m与平面α没有公共点，∴m与l无公共点，同理由n∥β知n与l无公共点，故l与m、n都没有公共点．
11[答案] 无数
[解析] 过平面外一点，可作该平面的无数条平行线，这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内．
12[答案] 平行或相交
[解析] 可根据题意作图判断，如图(1)(2)所示，分别为两个平面平行、相交的情形．
13[答案] ①⑤
[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．
14[答案] ②③⑥
[解析] ①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条直线都在平面β内，有且只有一个β∥α；
③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；
⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，假设l1不在α内，直线l与点A确定一个平面β，与α相交得交线l′，∵a∥α，∴a∥l′
又l∥l1，∴l1∥l′，这与l1∩l′＝A矛盾，故l1?α.
15[解析]
[点评] 两个相交平面的画法：
①先画两个平行四边形的相交两边，如图(1)．
②再画出表示两个平面交线的线段，如图(2)．
③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中表示交线的线段，如图(3)．
④画出图(3)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚线，也可以不画)．
16[解] (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
17[解析] a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，
∴a与β无公共点，∴a∥β.
18[解] 如下图，前两刀竖切，刀口为十字形，且切口竖直，第三刀横切，将每小块一分为二，共得8块，即三刀最多将豆腐切为8块．
2-2-1直线与平面平行的判定
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．如果一条直线与一个平面不相交，它们一定平行
B．一条直线与一个平面平行，它就与这个平面内的任何直线平行
C．一条直线与另一条直线平行，它就与经过该直线的任何平面平行
D．平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线平行，则a∥α
2．已知直线l∥直线m，m?平面α，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
3．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
4．直线a、b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置关系是( )
A．b?α B．b∥α
C．b与α相交 D．以上都有可能
5．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
6．五棱台ABCDE－A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且＝，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．FG在平面ABCDE内
7．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE:EB＝CF:FB＝1:2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．异面
8．给出下列结论：
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)平行于同一条直线的两个平面平行；
(3)平行于同一平面的两条直线平行；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是( )
A．EF∥平面BB1D1D
B．EF与平面BB1D1D相交
C．EF?平面BB1D1D
D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断
10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于( )
A. B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若直线a∥直线b，则过a且与b平行的平面有____个．
12．若直线a，b异面，则经过a且平行于b的平面有________个．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．
直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．
14．如下图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．
三、解答题
15．如图，在三棱锥P－ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点．
求证：OD∥平面PAB.
16．如图，已知A1B1C1－ABC是三棱柱，D是AC的中点．
证明：AB1∥平面DBC1.
17．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
18．已知四面体ABCD中，M、N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心，求证：(1)MN∥面ABD；(2)BD∥面CMN.
[分析] 首先根据条件画出图形，如图所示．证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，要证MN∥面ABD，只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可．根据M、N分别为△ABC、△ACD的重心的条件，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH.若有MN∥GH，则结论可证．或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F，连接EF，若有MN∥EF，EF∥BD，结论可证．
详解答案
1[答案] D
[解析] 根据线面平行的定义及判定定理来确定D正确．
2[答案] D
3[答案] D
[解析] ∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交．
4[答案] D
[解析] 可构建模型来演示，三种位置关系都有可能．
5[答案] A
[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．
6[答案] A
[解析] ∵＝，
∴FG∥AB，又FG?平面ABCDE，AB?平面ABCDE，∴FG∥平面ABCDE.
7[答案] A
[解析] 如图，由＝，得AC∥EF.
又EF?平面DEF，AC?平面DEF，
∴AC∥平面DEF.
8[答案] B
[解析] 由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B.
9[答案] A
[证明] 取D1B1的中点O，连OF，OB，
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，
∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO
∵EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D，故选A.
10[答案] B
[解析] 连A1B交AB1于O，则O为A1B的中点，
∵BG∥平同AB1D1，
∴BG∥OD1
∴D1为A1G的中点即＝1.
11[答案] 无数
[解析] 在a上任取一点P，过P作与b异面的直线c，则a与c确定一个平面α，由于直线c能作无数条，则平面α有无数个，又a∥b，b?α，a?α，∴b∥α.
12[答案] 1
[解析] 如图所示，在a上任取一点P，过P仅能作一条直线b′∥b，由于a与b′相交，则a与b′确定一个平面α，则b∥α.
13[答案] 相交 平行
[解析] 因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．
取B1C1中点M1，MM1綊C1D1，C1D1綊CD
∴DMM1C为平行四边形，∴DM綊CM1
∴DM∥平面BCC1B1.
14[答案] 平行
[解析] ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，
∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
15[证明] ∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥AP.
∵OD?平面PAB，AP?平面PAB.
∴OD∥平面PAB.
16[证明] ∵A1B1C1－ABC是三棱柱，
∴四边形B1BCC1是平行四边形．
连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.
在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1.
又AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.
17[解析] (1)取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC.由M是AB的中点，且DC綊AB，
∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
由MN?平面PAD，AH?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)连接AC并取其中点O，连接OM、ON，
∴OM綊BC，ON綊PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
18[证明] (1)如图所示，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH、MN.
∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心，
∴＝.∴MN∥GH.
又GH?面ABD，MN?面ABD，
∴MN∥面ABD.
(2)由(1)知，G、H分别为AB、AD的中点，
∴GH∥BD，
又MN∥GH，
∴BD∥MN，又BD?平面CMN，
∴BD∥平面CMN.
2-2-2平面与平面平行的判定
一、选择题
1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．都可能
2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
3．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
4．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
6．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
7．下列结论中：
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( )
A．(1)(2) B．(3)(4)
C．(1)(3) D．(2)(4)
8．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
10．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③ B．①④
C．①②③ D．②③
二、填空题
11．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是________．
12．平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________．
13．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
14．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
三、解答题
15．在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且＝＝＝，求证平面EFG∥平面ABC.
[分析] 要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．
16．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
[分析] 证明平面与平面平行转化为证明线面平行，即转化为证明直线FG∥平面BDD1B1，EG∥平面BDD1B1.
17．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
[分析1] 观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．
观察图形可以看出：连接CG与DE相交于H，连接FH，FH就是适合题意的直线．
怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．
18．如下图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：
平面BDF∥平面B1D1H.
详解答案
1[答案] D
[解析] 过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．
2[答案] B
3[答案] D
4[答案] A
[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，
∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，
∴A1E∥BE1，
又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5[答案] B
[解析] 当两点确定的直线与α平行时，可作一个平面与α平行；当过两点的直线与α相交时，不能作与α平行的平面．
6[答案] D
[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
7[答案] C
8[答案] A
[解析] 当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A.
9[答案] C
[解析] ①三线平行公理
②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面，
③二平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，
④面面平行传递性，
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故①、④正确．
10[答案] C
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．
∵AB∥CD，
∴平面PCD∥AB.
同理平面PAD∥BC.
11[答案] 平行
12[答案] 平行
[解析] 由于平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α内有两条相交直线平行于平面β，所以α∥β.
13[答案] 平行
[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
14[答案] ①②③④
[解析] 展开图可以折成如图a所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图b所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴①②正确；
如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
15[证明] 在△PAB中，∵＝，∴EF∥AB，
∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC，
∵EF∩FG＝F，且FG?平面EFG，EF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABC.
总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．
16[证明] 如右图所示，连接SB，SD.
∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1.
又∵直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
17[证法1] 连接CG交DE于点H，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．
∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
[分析2] 由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，
又SG?平面SAB，从而得出SG∥平面DEF.
[证法2] ∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB.
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，
∴平面SAB∥平面DEF，
又∵SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.
[点评] 要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．
18[证明]
取DD1，中点E连AE、EF.
∵E、F为DD1、CC1
中点，∴EF綊CD.
∴EF綊AB
∴四边形EFBA为平行四边形．
∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D1D、A1A中点，
∴D1E綊HA，∴四边形HADD1为平行四边形．
∴HD1∥AE
∴HD1∥BF
由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
2-2-3直线与平面平行的性质
一、选择题
1．已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b( )
A．a∥α，b∥α B．a⊥c，b⊥c
C．a、b与c成等角 D．a∥c，b∥c
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是( )
A．AC∥截面BA1C1 B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内 D．以上答案都错误
3．已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
4．已知直线m∥直线n，直线m∥平面α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
6．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
8．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
9．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是( )
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．任意四边形
10．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A．1 B.
C. D.
二、填空题
11．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是________．
12．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点B、D、A1，且α与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与B1D1的位置关系是________．
13．如图所示，AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，＝2，则＝________.
14．如下图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，＝________.
三、解答题
15．求证，如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与相交平面的交线平行．
[分析] 写出已知、求证，画出图形．由于图形比较单一，要添加辅助平面，利用线面平行性质定理先得线线平行，再由平行公理证明．
[解析] 已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.
求证：a∥b.
16．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：EFHG是一个平行四边形．
17．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F、G.
求证：FG∥平面ADD1A1.
18．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
详解答案
1[答案] D
2[答案] A
[解析] ∵AC∥A1C1，
又∵AC?面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.
3[答案] B
[解析] 这是线面平行性质定理的条件，则l∥m.
4[答案] A
[解析] ∵m∥α，α∩β＝a，m?β，
∴m∥a.又m∥n，∴n∥a.
5[答案] C
[解析] ∵a∥α，a?β，α?β＝b，
∴a∥b.
∴α内与b相交的直线与a异面．
6[答案] B
[解析] ∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.
又AB∥A1B1，∴DE∥AB.
7[答案] B
[解析] 设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，a?平面β，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，
那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．
8[答案] A
[解析] ∵EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD.
9[答案] A
[解析] 由性质定理得截面四边形有一组对边平行．
10[答案] C
[解析] 由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝AB1＝.
11[答案] 平行或相交
12[答案] 平行
13[答案] 2
[解析] 如图，连接AD交平面α于E点，连接ME和NE.
∵平面ACD∩α＝ME，CD∥α，CD?平面ACD，
∴CD∥ME.∴＝.
同理，＝，
∴＝.
∴＝2.
14[答案]
[解析] ＝＝＝，而EF＝FG.
15证明：如图，在平面α上任取一点A，且使A?b.∵a∥α，∴A?a.
故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.
同理，在平面β上任取一点B，且使B?b，
则B和a确定平面δ，设δ∩β＝n.
∵a∥α，a?γ，γ∩α＝m，∴a∥m.
同理a∥n，则m∥n.
又m?β，n?β，∴m∥β.
又∵m?α，α∩β＝b，∴m∥b.又a∥m，∴a∥b.
[点评] 本题利用线面平行的判定和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．转化的思想是一种重要的数学思想．本节常用的转化为：
16[证明] ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB?平面ABC，∴EG∥AB.
同理，FH∥AB，∴EG∥FH.
同理，EF∥GH.
∴四边形EFHG是一个平行四边形．
17[证明] ∵EH∥A1D1，又A1D1∥B1C1
∴EH∥B1C1
∴EH∥平面BCC1B1
又平面EHGF∩平面BCC1B1＝FG
∴EH∥FG ∴FG∥A1D1 又FG?平面ADD1A，A1D1?平面ADD1A1，
∴FG∥平面ADD1A1.
18[解析] 在PC上取点E，使＝，
则BE∥平面PAD.
证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.
梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∴＝＝，
∴＝.
又＝，
∴△PFC中，＝，
∴BE∥PF，
而BE?平面PAD，PF?平面PAD.
∴BE∥平面PAD.
2-2-4平面与平面平行的性质
一、选择题
1．平面α∥平面β，平面r∩α＝m，平面r∩β＝n，则m与n的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
2．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
3．若α∥β，a?α，b?β，下列几种说法中正确的是( )
①a∥b；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任何一条直线都不垂直；
④a∥β.
A．①② B．②④
C．②③ D．①③④
4．平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l?β
C．l∥β或l?β D．l，β相交
5．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
6．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
7．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：
①α∩β＝m，n?α?m∥n或者m，n相交；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∩β＝m，m∥n?n∥β且n∥α.
其中正确命题的序号是( )
A．① B．①④
C．④ D．③④
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是AC1、CB1的中点，P是C1B1的中点，则与平面PEF平行的三棱柱的棱的条数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA:OA′＝3:2，则△A′B′C′的面积为( )
A. B.
C. D.
10．四棱锥P－ABCD的底面四边形的对边不平行，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A．不存在 B．只有1个
C．恰有4个 D．有无数多个
设α与棱PA，PB，PC，PD的交点分别是A1，B1，C1，D1，当平面α∥平面PEF时，A1B1∥PF，C1D1∥PF，则A1B1∥C1D1，同理A1D1∥B1C1，则截面四边形A1B1C1D1是平行四边形．而这样的平面α有无数多个．
二、填空题
11．如下图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
12．(2011－2012·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
13．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34.
(1)若点S在平面α，β之间，则SC＝________；
(2)若点S不在平面α，β之间，则SC＝________.
14．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB:BC＝1:3，则AB、BC、EF的长分别为______、______、______.
三、解答题
15．如下图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值．
16．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
17．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
详解答案
1[答案] A
2[答案] A
[解析] 由于平面AC∥平面A′C′，所以EF∥E′F′.
3[答案] B
4[答案] C
[解析] 假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，又l∥α，则假设不成立，则l∥β或l?β.
5[答案] D
[解析] 选项A中，α∩β＝a，b?α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；
选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；
选项C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；
选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.
6[答案] D
7[答案] A
8[答案] C
9[答案] C
[解析] 如图∵α∥β，
∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，
且由＝＝知相似比为，
又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，∴S△A′B′C′＝.
10[答案] D
[解析] 设AB∩CD＝F，AD∩BC＝E，连接PE，PF，EF，如下图所示．
11[答案] 平行四边形
[解析] ∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
12[答案] 平行四边形
[解析] ∵平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
∴EF∥HG.
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形．
13[答案] (1)16 (2)272
[解析] (1)如图a所示，因为AB∩CD＝S，所以AB，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
因为α∥β，所以AC∥BD.于是＝，即＝.
所以SC＝＝＝16.
(2)如图b所示，同理知AC∥BD，则＝，
即＝，解得SC＝272.
14[答案] cm cm 15cm
[解析] 容易证明＝(1)
＝(2)
由(1)得＝，∴EF＝15，∴DF＝DE＋EF＝20，
代入(2)得，＝，∴AB＝，
∴BC＝AC－AB＝15－＝，
∴AB、BC、EF的长分别为cm，cm,15cm.
15[答案] 由面面平行可得线线平行，再由等角定理可得对应角相等，从而三角形相似，利用相似三角形的比例关系找到面积比．
[解] ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，
平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.
∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB，
∴△A′B′C′∽△ABC.
又∵PA′:A′A＝2:3，∴PA′:PA＝2:5.
∴A′B′:AB＝2:5.
∴S△A′B′C′:S△ABC＝4:25，即＝.
16[证明] 因为F为AB的中点，
CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以CD綊AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，
FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，
AD∩DD1＝D，AD?平面ADD1A1，
DD1?平面ADD1A1，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，
EE1?平面FCC1，
所以EE1∥平面FCC1.
17[解] 如下图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
∵EC＝2FB＝2，∴PE綊BF，
∴四边形BFEF为平行四边形，
∴PB∥EF.
又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
?平面AEF，
∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.
又BQ?平面PBQ，
∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
2-3-1直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；
②梯形的两边；
③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直( )
A．①③ B．①②
C．②④ D．①④
3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是( )
A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内的无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内的任意一条直线垂直
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．6
5．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
6．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
7．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β
B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．n∥m，n⊥α?m⊥α
8．(2011－2012·吉安高二检测)如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
9．(2011－2012·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
10．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
[答案] D
二、填空题
11．已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：
①若m∥l，且l⊥α，则m⊥α；
②若m∥l，且l∥α，则m∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.
其中表述正确的有________．
12．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．
14．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
三、解答题
15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
[分析] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.
16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．
[分析] 找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．
17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
求证：BD⊥平面PAC.
18．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．
(1)求该安全标识墩的体积；
(2)证明：直线BD⊥平面PEG.
详解答案
1[答案] C
[解析] ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．
2[答案] A
[解析] 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
3[答案] D
4[答案] B
[解析] 仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．
5[答案] B
[解析] 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
6[答案] D
[解析] 见课本P65例1.
7[答案] D
[解析] B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．
8[答案] C
9[答案] D
[解析] 取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，
又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，
∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，
在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，
∴sin∠OBC1＝.
10[解析] 设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，
又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，
所以△PAD为直角三角形．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.
11[答案] ①④
[解析] ①中，两条平行直线m，l中一条直线l垂直于平面α，则另一条直线m也垂直于平面α，所以①正确；②中，还可能m?α，所以②错误；③中，还可能l，m，n相交于一点，所以③错误；④中，根据直线与平面平行的性质定理可以证明m∥l，所以④正确．
12[答案] 菱形
[解析] 由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．
13[答案] 45°
[解析] 由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．
又∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝5.
又PC＝5，∴∠PMC＝45°.
14[答案] ④
[解析] 由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；
由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.
所以②正确；
可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．
15[证明] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.
[点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．
16[解析] 如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，
所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.
则∠PCA＝45°，
即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
[点评] 求斜线与平面所成的角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
17[证明] ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.
∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，
∴tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
18[解析] (1)该安全标识墩的体积为：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×402×60＋402×20＝32 000＋32 000
＝64 000(cm3)
(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF，
又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE 又PO∩EG＝0，
∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG.
2-3-2平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．以下三个命题中，正确的命题有( )
①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
4．已知l?β，m⊥α，有下列四个命题：
①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?α∥β.
其中正确的命题是( )
A．②与④ B．③与④
C．①与② D．①③
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
7．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于( )
A. B. C. D.
9．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
10．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为( )
A．45° B．30° C．60° D．90°
二、填空题
11．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
②α∥β，β∥γ，则α∥γ
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
12．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.
14．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为________；
(2)二面角B－PA－D的度数为________；
(3)二面角B－PA－C的度数为________；
(4)二面角B－PC－D的度数为________．
三、解答题
15．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
16．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小．
[分析] (1)转化为证明CD⊥平面ABC；
(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
17．已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：
①MN∥平面PAD；
②平面PMC⊥平面PDC.
18．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
详解答案
1[答案] B
[解析] 对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.
[点评] 根据二面角的相关概念进行分析判定．
2[答案] B
[解析] 仅②正确．
3[答案] C
[解析] 经过l的任一平面都和α垂直．
4[答案] D
[解析]
?m⊥l，∴①正确否定A、B，
?β⊥α，∴③正确否定C，故选D.
5[答案] D
[解析] 与平面BC1垂直的面有：平面AC1，平面AC1，平面AB1，平面CD1.
6[答案] B
[解析] 如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
7[答案] B
[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n?α，m?α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．
8[答案] C
[解析] 设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥AO，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
tan∠A1OA＝＝，∴选C.
9[答案] D
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
10[答案] D
[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD
∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD
∵E、F分别为CD、BD的中点，
∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，
又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.
11[答案] ①②
12[答案] 3
[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.
13[答案] 1
[解析] ∵AB⊥平面BC1，C1F?平面BC1，CF?平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，
∴C1F⊥EF，CF⊥EF，
∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，
∴∠C1FC＝45°，
∴△FCC1是等腰直角三角形，
∴CF＝CC1＝AA1＝1.
又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.
14[答案] 90°；90°；45°；120°
[解析] (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD
又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，
∴二面角A－PD－C为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA
∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角
又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°
(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角
又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°
即二面角B－PA－C为45°
(4)作BE⊥PC于E，连DE
则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE
从而△PBE≌△PDE
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
∴BE＝＝a，BD＝a
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，
∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D的度数为120°.
15[解析] (1)由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为S正方体DECF·GO＝×5×5×＝20.
16[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，
∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.
∴二面角C－AB－D的大小为45°.
17[解析] (1)取PD的中点Q，连接AQ、QN
∵PN＝NC，∴QN綊DC
∵四边形ABCD为矩形，
∴QN綊AM
∴MN∥AQ，
又∵AQ?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°
∴△PAD为等腰直角三角形
∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，
∵AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC
由①MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，
又∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.
18[解析] (1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°.
故二面角A－BE－P的大小是60°.
2-3-3直线与平面垂直的性质
一、选择题
1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
2．过一点和已知平面垂直的直线条数为( )
A．1条 B．2条
C．无数条 D．不能确定
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定
5．若a、b表示直线，α表示平面，
①a⊥α，a⊥b，则b∥α；
②a∥α，a⊥b，则b⊥α；
③a∥α，b⊥α，则b⊥a；
④a⊥α，b?α，则b⊥a.
上述命题中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
6．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是( )
A.?α∥β B.?l⊥β
C.?m∥n D.?α∥β
7．(2011－2012·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是( )
①若m⊥n，n?α，则m⊥α；
②若a⊥α，a?β，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若m?α，n?β，α∥β，则m∥n.
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
9．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
二、填空题
11．已知直线m?平面α，直线n?平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
12．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
13．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．
14．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
三、解答题
15．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[分析] 转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.
16．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
[分析] 转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.
17．(2011－2012·吉林高一检测)如下图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
18．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.
详解答案
1[答案] C
[解析] 若l?α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，
∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；
若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，
过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．
2[答案] A
[解析] 已知：平面α和一点P.
求证：过点P与α垂直的直线只有一条．
证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．
3[答案] B
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
4[答案] B
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
5[答案] C
[解析] ①b∥α或b?α ②b⊥α或b∥α或b?α ③、④正确，
∴选C.
6[答案] D
[解析] 对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．
7[答案] D
8[答案] B
[解析] ①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．
9[答案] B
[解析] 易得BD⊥面ACC1A1，又CE?面ACC1A1，
∴CE⊥BD.
10[答案] A
[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.
11[答案] 平行
[解析] 由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.
12[答案] 6
[解析] ∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.
又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
13[答案] 6
[解析] 由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴EF⊥BE，EF⊥EC.
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．
14[答案] 4
[解析] 如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，
BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
15[证明] 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴AC⊥BD1，
同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
[点评] 当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
16[证明] ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又AE?平面PAD，∴AE⊥DC.
又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
又l⊥平面PCD，∴l∥AE.
17[证明] ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
AC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、?平面DMN，DN?平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
18[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AD⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.
因此，MN⊥CD，而CD∥AB，
故MN⊥AB.
(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
则KN綊DC綊AM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD.
2-3-4平面与平面平行的性质
一、选择题
1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则( )
A．m∥β
B．m?β
C．m⊥β
D．m与β相交但不一定垂直
2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则( )
A．a?α B．a∥α
C．a⊥α D．a?α或a∥α
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )
A．ME⊥平面AC B．ME?平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
4．在空间中，下列命题正确的是( )
A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面
B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b
5．(09·广东文)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
7．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
8．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
9．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB?A′B′等于( )
A．2:1 B．3:1
C．3:2 D．4:3
10．在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
二、填空题
11．平面α⊥平面β，直线l?α，直线m?β，则直线l，m的位置关系是________．
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成的角等于________．
13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.
14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.
三、解答题
15．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.
?平面ABD⊥平面ACD.
16．S为△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求证：平面ASC⊥平面ABC.
17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
[命题意图] 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：
(1)DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
详解答案
1[答案] C
2[答案] D
3[答案] A
[解析] 由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME?平面AB1，所以ME⊥平面AC.
4[答案] D
[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．
5[答案] D
6[答案] D
[解析] 当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．
7[答案] C
[解析] l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A错；
l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B错；
l⊥α，α∥β?l⊥β，C正确；
若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．
8[答案] D
[解析] ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
9[答案] A
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB:A′B′＝2:1.
10[答案] C
[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.
∴BC∥平面PDF，故A正确．
又∵P－ABC为正四面体，
∴P在底面ABC内的射影O在AE上．
∴PO⊥平面ABC.
∴PO⊥DF.
又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，
∴AE⊥DF.
又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．
又∵PO?面PAE，PO⊥平面ABC，
∴面PAE⊥面ABC，故D正确．
∴四个结论中不成立的是C.
11[答案] 相交、平行、异面
12[答案] 90°
[解析] ∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE?平面A1B，PE⊥AB，∴PE⊥平面AC，
∴PE与平面AC所成的角等于90°.
13[答案] 4
[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′?α，AA′⊥A′B′，
∴AA′⊥β，
∴V＝S△A′BB′·AA′＝×(A′B′×BB′)×AA′＝××2×4×3＝4.
14[答案] 45°
[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD是等边三角形，
∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.
在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，
∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.
15[证明] ?
16[解析] 如图，设SA＝SB＝SC＝a.
∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，
∴AC＝a，AB＝BC＝a，
则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.
取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B的平面角．
∵SO＝OB＝a，∴SO2＋OB2＝SB2，
∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.
17[解析] (1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1?面ACC1A1，∴DC1⊥BC，
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，
又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1?平面BDC1，
∴平面BDC⊥平面BDC1；
(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得，V1＝××1×1＝，由三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，
∴(V－V1)?V1＝1?1，
∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1?1.
18[证明] (1)取AB的中点E，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.
由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，
又EF∥PA，∴DF⊥PA.
(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．
取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.
∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，
∴GO为GF在平面ABCD上的射影，
∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，
∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，
∴GF⊥平面PBC.
