长白山一高12-13上高二数学必修5 第一章解三角形综合素质能力检测

第一章综合素质能力测试
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)
1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B等于(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．120°
2．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝(　　)
A. B．－
C. D．－
3．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A等于(　　)
A．30° B．60°
C．60°或120° D．30°或150°
4．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是(　　)
A．30°或150° B．15°或75°
C．30° D．15°
5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为(　　)
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
6．(2012·天津理，6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)
A. B．－ C．± D.
7．在△ABC中，a＝2，c＝1，则角C的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(0，]
8．已知钝角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是(　　)
A．1B.C．1D．19．关于x的方程x2－xcosA·cosB－cos2＝0有一个根为1，则此三角形为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
10．在△ABC中，C＝90°，A＝75°，CD⊥AB，垂足D，则＝(　　)
A. B.
C. D.
11．△ABC三
边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是(　　)
A．1:1 B．1:2
C．1:4 D．4:3
12．(2011·山东苍山县高二期中)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货
轮的东北方向，则货轮的速度为(　　)
A．20(＋)海里/小时
B．20(－)海里/小时
C．20(＋)海里/小时
D．20(－)海里/小时
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8?5，则此三角形面积为__________．
14．在△ABC中，a＝50，B＝30°，C＝120°，那么BC边上的高的长度是__________．
15．在锐角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是__________．
16．等腰△ABC顶角的余弦为，则底角的正弦值为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在△ABC中，已知a＝，A＝60°，b－c＝－1，求b，c和B，C.
18．(本题满分12分)(2012·浙江文，18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
19．(本题满分12分)生活中，我们可以见到很多三角形结构的物体，而我们自己有时也制作那样的物体．如果现在有一足够长的木杆子，用它来制作一个三角形物体，要求三角形物体的三边为连续正整数，最大角是钝角，那么该如何去截木杆？
20．(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.
(1)求A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b与c的值．
21．(本题满分12分)(2010～2011·湖南邵阳二中期中)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，BC＝7，求
(1)AC的长．
(2)△ABC的面积．
22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c且＝，
(1)求sinB.
(2)若b＝4，a＝c，求△ABC的面积．
详解答案
1[答案]　C
[解析]　cosB＝＝，∴B＝60°.
2[答案]　D
[解析]　BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA
＝16＋2－8cos45°＝10，∴BC＝，
cosB＝＝－.
3[答案]　C
[解析]　∵＝，∴＝，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.∵asinB4[答案]　A
[解析]　由题意：sinB＋cosB＝.两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－2B.
∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝，
∴A＝30°或150°.
5[答案]　B
[解析]　仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.
6[答案]　A
[解析]　由＝及8b＝5c，c＝2B得，5csin2B＝8csinB，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.
7[答案]　D
[解析]　∵a－cc2＝a2＋b2－2abcosC，∴1＝4＋b2－4bcosC，
∴cosC＝＝(b＋)，
∵(b＋)在(1，]上单调递减，在[，3)上单调递增，
∴cosC≥(＋)＝，∴0[点评]　
平时解题后多反思一下，才有助于思维过程的优化，思维能力的提高．本题中，注意到△ABC只知道两边长a＝2，c＝1，△ABC是变动的，利用图形在其变动过程中考察角C的变化情况会更简捷．如图作边BC＝a＝2，以B为圆心，1为半径作⊙B，则C可为⊙B上(除去直线BC与⊙B的交点)的任意一点，显然c>0，且当CA与⊙B相切时，角C最大，∴08[答案]　C
[解析]　当x为最大边时，∴当3为最大边时，∴1∴x的取值范围是：1[点评]　∵此三角形为钝角三角形，三角形最多可有一个钝角，故当x为最大边时，必有x>3，当3为最大边时，必有x<3，这与三角形为锐角三角形的讨论是有区别的．
9[答案]　A
[解析]　由题设，1－cosAcosB－cos2＝0.
∴sin2＝cosAcosB，∴＝cosAcosB.
∴1＋cos(A＋B)＝2cosAcosB，∴cos(A－B)＝1，
∵A，B是三角形内角，∴A－B＝0即A＝B.
10[答案]　C
[解析]　如图，∵C＝90°，A＝75°，∴B＝15°，cot75°＝，cot15°＝，
∴cot75°＋cot15°＝＋＝，
∵cot75°＋cot15°＝tan15°＋tan75°
＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)
＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，
∴＝.
[点评]　因为△ABC是直角三角形，又CD⊥AB，因此应充分利用直角三角形的边角关系以简化运算．在Rt△ACD中，sin75°＝，∴CD＝AC·sin75°，
在Rt△ABC中，cos75°＝，∴AB＝，
∴＝＝sin75°cos75°
＝sin150°＝sin30°＝.
11[答案]　B
[解析]　不妨设a，b，c长分别为3,4,6，∴较大锐角为AC边对的角B.由平几知识知，BD分对边AC的比＝＝＝.
∴＝＝＝＝.
[点评]　审题时要注意细节．
本题改为求“它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比”，则答案为D.
12[答案]　B
[解析]　由题意可知
∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠MNS＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x海里，则MN＝x，
∴∠MSN＝180°－105°－45°＝30°，
由正弦定理得＝，
∵sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，
∴x＝20(－)，故选B.
13[答案]　40
[解析]　设另两边长为8x和5x，则
cos60°＝，∴x＝2，
∴另两边长为16和10，此三角形面积S＝×16×10·sin60°＝40.
14[答案]　25
[解析]　∵A＝30°，＝，∴AB＝50.
∴BC边上的高AD＝AB＝25.
15[答案]　(2，)
[解析]　∵c是锐角△ABC的最大边，
∴　∴，∴216[答案]　
[解析]　设顶角为α，底角为β，则
cosα＝，β＝＝－，
∴sinβ＝sin(－)＝cos＝＝.
17[解析]　由余弦定理得，6＝b2＋c2－2bccos60°，
∴b2＋c2－bc＝6　①
由b－c＝－1平方得：b2＋c2－2bc＝4－2　②
①、②两式相减得bc＝2＋2.
由，解得 ，
由正弦定理sinB＝＝＝.
∵<＋1，∴B＝75°或105°.
∵a2＋c2>b2，∴B为锐角，∴B＝75°，C＝45°.
[点评]　求角B时，若先求得sinC＝＝，∵a>c，∴C＝45°，从而得B＝75°.
若用余弦定理cosB＝＝，∴B＝75°.
18[解析]　(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，
所以tanB＝，
所以B＝.
(2)由sinC＝2sinA及＝，得
c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
[点评]　本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．
19[解析]　设三角形的三边长为a＝n－1，b＝n，c＝n＋1，n∈N*且n>1，
∵C是钝角，∴cosC＝＝<0，
∴1当n＝2时，a＝1，b＝2，c＝3，不能构成三角形；
当n＝3时，a＝2，b＝3，c＝4，能构成三角形；
把该木杆截下长度分别为2,3,4的三段，然后三段首尾顺次连接即可．
20[解析]　(1)由条件得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝.
∴4(1＋cosA)－4cos2A＝5，∴(2cosA－1)2＝0，
∴cosA＝，∵0°(2)由余弦定理得，＝，
化简并整理得(b＋c)2－a2＝3bc，
将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.
联立b＋c＝3与bc＝2，解得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.
21[解析]　(1)由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，
∴49＝9＋AC2＋3AC，解之得AC＝5(AC＝－8舍去)．
(2)△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×5×sin120°＝.
22[解析]　(1)在△ABC中，由正弦定理可得
＝，＝，
又∵＝，∴＝，
即sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，
∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，
又B＋C＝π－A，∴sin(B＋C)＝sinA，
∴sinA＝3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB＝，又0∴sinB＝＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB
将b＝4，cosB＝代入得，a2＋c2－ac＝32，
又a＝c，故a2＝32，故a2＝24，
cosA＝＝＝，
∴△ABC的高h＝c·sinA＝4，
∴△ABC的面积为S＝·b·h＝8.