长白山一高12-13上高二数学必修5 第二章数列综合素质能力检测

第二章 综合素质能力检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)
1．(2010～2011·河南汤阴县一中高二期中)等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　)
A.或　　　　　　　 B.
C. D.或－
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列，则a3等于(　　)
A. B．－
C. D．－
3．(2012·辽宁理，6)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58　 　　 B．88　 　　
C．143　　　 D．176
4．已知－1，a1，a2,8成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么的值为(　　)
A．－5 B．5
C．－ D.
5．等差数列{an}中，a1＝－8，它的前16项的平均值是7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，则抽取的是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第15项 D．第16项
6．(2012·新课标全国理，5)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
7．(2011·北京朝阳区期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于(　　)
A．4 B．2
C．1 D．－2
8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　)
A．1.14a B．1.15a
C．11×(1.15－1)a D．10(1.16－1)a
9．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．(2010·江西文，7)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
11．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2009＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
12．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Mn表示它的前n项之积，即Mn＝a1·a2·a3…an，则数列{Mn}中的最大项是(　　)
A．M11 B．M10
C．M9 D．M8
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{an}为递增数列，若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.
14．在等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则通项公式为__________．
15．有三个数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为__________．
16．等差数列{an}前n项和Sn，若S10＝S20，则S30＝__________.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q.
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立，若存在求之，若不存在说明理由．
18．(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝|an|(n∈N*)，求{bn}的前n项和Tn.
[分析]　本题求数列{bn}的前n项和，应首先确定数列{bn}的特性，由题意可得{bn}是由一个首项为正值，而公差为负的一个等差数列，{an}的各项取绝对值后得到的一个新数列，因此求{bn}的前n项和可转化为求数列{an}的和的问题．
19．(本题满分12分)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32?27，求公差d.
20．(本题满分12分)在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)的关系如图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．
(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数；
(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．
21．(本题满分12分)已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．
22．(本题满分14分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3……)，
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn；
(3)在(2)的条件下，对任意n∈N*，Tn>都成立，求整数m的最大值．
详解答案
1[答案]　A
[解析]　在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，∴或，又a14＝a4·q10，
∴q10＝或，∴＝q10＝或.
2[答案]　C
[解析]　∵Sn、Sn＋2、Sn＋1成等差数列，∴Sn＋2－Sn＝Sn＋1－Sn＋2.∴an＋2＋an＋1＝－an＋2，∴＝－.
又a1＝1，∴a3＝.
3[答案]　B
[解析]　本题主要考查等差数列的性质及求和公式．
由条件知a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝＝88.
[点评]　注意等差数列的性质应用：若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
4[答案]　A
[解析]　∵－1，a1，a2,8成等差数列，设公差d，
∴8－(－1)＝3d，∴d＝3，
∴a1＝2，a2＝5，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，b＝4，
又b2＝－1·q2<0，∴b2＝－2，∴＝－5.
5[答案]　A
[解析]　S16＝＝7×16,7×16－x＝7.2×15，∴x＝4，又a1＝－8，∴a16＝22，d＝(a16－a1)＝2，∴an＝－8＋(n－1)·2＝4，∴n＝7.
6[答案]　D
[解析]　本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．
a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8?a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
a4＝4，a7＝－2?a1＝－8，a10＝1?a1＋a10＝－7，
a4＝－2，a7＝4?a10＝－8，a1＝1?a1＋a10＝－7.
7[答案]　A
[解析]　S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.
8[答案]　C
[解析]　设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a，
an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和，应为S6－a1＝－a＝11×(1.15－1)a.
9[答案]　A
[解析]　由题意，S偶－S奇＝5d，∴d＝－2.2，S10＝＝5(a5＋a6)＝5(2a6＋2.2)＝41，∴a6＝3.
10[答案]　A
[解析]　∵|a1|＝1，∴a1＝1或－1，∵a5＝－8a2＝a2q3，a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2，
又a5>a2，∴a2q3>a2，∴a2<0，
∵a2＝a1q<0，∴a1>0，∴a1＝1，∴an＝(－2)n－1.
11[答案]　B
[解析]　由条件an＋2＝an＋1－an可得：an＋6＝an＋5－an＋4＝(an＋4－an＋3)－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－[(an＋1－an)－an＋1]＝an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2009＝a5，又a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.
12[答案]　C
[解析]　由题设an＝512·(－)n－1.∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－)0]×[512×(－)1]×[512×(－)2]×…×[512×(－)n－1]
＝512n×(－)1＋2＋3＋…＋(n－1)
[点评]　此题若直接用列举法可很简明求解：
a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－1，
当n≥11时，|an|<1，又M9>0，M10<0，∴M9最大．
13[答案]　2
[解析]　本题考查了等比数列的通项公式．
∵{an}是递增的等比数列，且a1>0，
∴q>1，
又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴2an＋2anq2＝5anq，
∵an≠0，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝(舍去)，
∴公比q为2.
[点评]　一定要注意数列{an}是递增数列且a1>0，则公比q大于1.
14[答案]　an＝2×3n－1
[解析]　an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝2×3n－1，∴a1＝2.又a1＝S1＝3＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1.
15[答案]　16,4,1
[解析]　设三个数为a，b，c，由题意可知
 ，
解之得：b＝4，a＝1，c＝16或b＝4，a＝16，c＝1.
16[答案]　0
[解析]　∵S10＝S20，∴10a1＋d＝20a1＋d，∴2a1＝－29d.
∴S30＝30a1＋d＝15×(－29d)＋15×29d＝0.
[点评]　既可以运用一般方法求解，也可以充分利用等比数列的性质求解，设数列{an}第一个10项的和为b1，第二个10项的和为b2，第三个10项的和为b3，则∵S10＝S20，∴b2＝0，由条件知b1，b2，b3成等差，∴2b2＝b1＋b3，∴b3＝－b1，∴S30＝b1＋b2＋b3＝0.
17[解析]　(1)a2＝1＋d＝b2＝q，a6＝1＋5d＝b3＝q2，∴q＝4，d＝3.
(2)假设存在常数a、b满足等式，由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b得(3－loga4)n＋loga4－b－2＝0，
∵n∈N*，∴，∴a＝，b＝1，故存在．
18[解析]　由Sn＝10n－n2可得，
an＝11－2n，故bn＝|11－2n|.
显然n≤5时，bn＝an＝11－2n，Tn＝10n－n2.
n≥6时，bn＝－an＝2n－11，
Tn＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)
＝2S5－Sn＝50－10n＋n2
故Tn＝
19[解析]　设首项为a1，公差为d，则由题意：
∴
又S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
20[解析]　(1)由题意＝5解得：m＝12.
f(n)＝
前m天的销售总数Sm＝S12＝＝354.
(2)∵S12＝354<400，∴前12天不流行．
∵S13＝354＋f(13)＝408，
且f(21)＝30，f(22)＝27.
∴从第13天到第21天，服装销售总数超过400件，日销售量不低于30件，
∴该服装在社会上流行不会超过10天．
21[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，则
解得：d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.
(2)令Sn＝b1＋b2＋…＋bn，其中bn＝2nxn，
则Sn＝2x＋4x2＋…＋(2n－2)xn－1＋2nxn.①
当x＝0时，Sn＝0.
当x＝1时，Sn＝n(n＋1)．
当x≠0且x≠1时，xSn＝2x2＋4x3＋…＋(2n－2)xn＋2nxn＋1②
①－②得：(1－x)Sn＝2(x＋x2＋…＋xn)－2nxn＋1.
∴Sn＝－.
22[解析]　(1)∵4Sn＝(an＋1)2， ①
∴4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)， ②
①－②得
4(Sn－Sn－1)＝(an＋1)2－(an－1＋1)2.
∴4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2.
化简得(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2)bn＝＝＝(－)．
∴Tn＝
＝(1－)＝.
(3)由(2)知Tn＝(1－)，
Tn＋1－Tn＝(1－)－(1－)
＝(－)>0.
∴数列{Tn}是递增数列．
∴[Tn]min＝T1＝.
∴<，∴m<.
∴整数m的最大值是7.