长白山一高12-13上高二数学必修5 第三章不等式综合素质能力检测

第三章综合素质能力检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)
1．a、b∈R，下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a≠|b|，则a2≠b2
2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有(　　)
A．M＞N　　　　　　　　 B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
4．若a＞b＞0，全集U＝R，A＝{x|＜x＜a}，B＝{x|b＜x＜}，则(?UA)∩B为(　　)
A．{x|b＜x≤} B．{x|＜x＜}
C．{x|b＜x＜} D．{x|x＜或x≥a}
5．不等式x＋(a－1)y＋3＞0表示直线x＋(a－1)y＋3＝0(　　)
A．上方的平面区域
B．下方的平面区域
C．当a＞1时表示上方的平面区域，当a＜1时表示下方的平面区域
D．当a＜1时表示上方的平面区域，当a＞1时表示下方的平面区域
6．已知方程x2＋2x＋2a＝0和x2＋2(2－a)x＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜或a＞4 B．0≤a＜或a＞4
C．0＜a≤或a≥4 D.＜a≤4
7．已知a＞0，b＞0，m＝＋，n＝＋，p＝，则m、n、p的大小顺序是(　　)
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D．n≥m＞p
8．(2011·福州模拟)设f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1,1)，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1＜a< B．a＜－1
C．a＜－1或a＞ D．a＞
9．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
10．设a＞b＞0，m＝－，n＝，则(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．不能确定
11．若x、y满足条件，则z＝－2x＋y的最大值为(　　)
A．1 B．－
C．2 D．－5
12．已知f(x)＝x，a，b∈R＋，A＝f，G＝f()，H＝f，则A、G、H的大小关系是(　　)
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．不等式x2－px－q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2－px－1＞0的解集是__________________．
14．若点(x，y)在第一象限，且在直线2x＋3y＝6上移动，则logx＋logy的最大值是__________．
15．不等式(m＋1)x2＋(m2－2m－3)x－m＋3＞0恒成立，则m的取值范围是__________．
16．在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为__________．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)求函数f(x)＝(x＜－1)的最大值及相应x的值．
18．(本小题满分12分)若a＜1，解关于x的不等式＜1 .
19．(本小题满分12分)某汽车运输公司，购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为二次函数(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大？
20．(本小题满分12分)已知x、y都是正数，则满足x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值，并求出此时x、y的值．
21．(本小题满分12分)已知实数a、b、c满足ab＋bc＋ca＝1，求证：a2＋b2＋c2≥1.
22．(本小题满分14分)设x，y满足约束条件

(1)求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值．
(2)求目标函数z＝－4x＋3y－24的最小值与最大值．
详解答案
1[答案]　C
[解析]　由不等式的可乘方性质知a＞|b|≥0?a2＞b2.
2[答案]　A
[解析]　M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)
＝a2＋a＋1＝(a＋)2＋＞0，∴M＞N.
3[答案]　B
[解析]　不等式化为x2－4x－5＞0，
∴(x－5)(x＋1)＞0，∴x＜－1或x＞5.
4[答案]　A
[解析]　∵a>b>0，∴b<<∵?UA＝{x|x≤或x≥a}，B＝{x|b＜x＜}，
∴(?UA)∩B＝{x|b＜x≤}
5[答案]　C
[解析]　根据B值判断法知，a－1的符号与不等号一致时，表示直线的上方，故a>1时，表示直线上方，因此选C；也可以取特值检验，a＝2时，x＋y＋3>0表示直线x＋y＋3＝0上方区域(或a＝0时，x－y＋3>0表示直线x－y＋3＝0下方区域)，故排除A、B、D，选C.
6[答案]　B
[解析]　△1＝4－8a，△2＝4(a－2)2－16，
由题设条件知，或，
∴0≤a＜或a＞4.
7[答案]　A
[解析]　取a＝1，b＝4，检验，m＝4.5，n＝3，p＝，∴m＞n＞p排除C，D；又n2－p2＝a＋b＋2－(a＋b)＝2＞0，∴n＞p，∴选A.
8[答案]　C
[解析]　由题意知f(－1)f(1)＜0，
∴(－5a＋1)(a＋1)＜0，∴a＜－1或a＞.
9[答案]　D
[解析]　解法1：取x＝1检验，满足排除A；取x＝4检验，不满足排除B，C；∴选D.
解法2：直接求解化为：
2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0
∴－≤x≤1.
10[答案]　A
[解析]　∵a＞b＞0，∴m＞0，n＞0，且b＜.
m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)＝2(b－)＜0∴m2＜n2，∴m＜n.
11[答案]　A
[解析]　作出可行域如下图，当直线y＝2x＋z平移到经过可行域上点A(1，－1)时，z取最大值，
∴zmax＝1.
12[答案]　A
[解析]　∵a，b∈R＋∴≥，∴≤1，
即≤1，两边同乘以，则≤，
∴≥≥>0.
又∵f(x)＝()x是减函数，
∴f()≤f()≤f()
即：A≤G≤H.
13[答案]　
[解析]　由条件知，2和3是方程x2－px－q＝0的根，
∴p＝5，q＝－6，
∴不等式qx2－px－1＞0化为6x2＋5x＋1＜0
∴(2x＋1)(3x＋1)＜0
∴－＜x＜－.
14[答案]　1
[解析]　由题意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴u＝logx＋logy＝log(x·y)＝log[(2x·3y)]
≤log[()2]＝1，
等号在2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时成立．
[点评]　也可以消元，用二次函数最值求解．
15[答案]　[－1,1)∪(1,3)
[解析]　m＋1＝0时，m＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m＋1≠0时，要使不等式恒成立须，
即 ，
∴－1＜m＜3且m≠1.
综上得－1≤m＜3且m≠1.
16[答案]　13
[解析]　可行域如图，A(2,2.5)，B(4,2)．由于x，y∈N故可行域内整点有：(1,1)，(2,2)，(3,2) .
可见经过(3,2)点时z取最大值，zmax＝13.
17[解析]　∵x＜－1，∴x＋1＜0.
∴f(x)＝＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
＝－＋5
≤－2＋5
＝－4＋5＝1.
当且仅当－x－1＝，即x＝－3时取等号．
所以当且仅当x＝－3时，f(x)＝最大，最大值为1.
18[解析]　a＝0时，x∈R且x≠2；
a≠0时，
＜1?＞0
?[(a－1)x＋2](x－2)＞0.
∵a＜1，∴a－1＜0.
∴化为(x－)(x－2)＜0，
当02，
∴不等式的解为2当a<0时，1－a>1，∴<2，
∴不等式解为∴当0＜a＜1时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为；当a＝0时，解集为{x∈R|x≠2}．
19[解析]　设二次函数为y＝a(x－6)2＋11(a＜0)．
又x＝4时，y＝7，∴a＝－1.
∴二次函数为y＝－x2＋12x－25.
设年平均利润为z，则
z＝＝－(x＋)＋12≤－2＋12＝2.
当且仅当x＝，即x＝5时取等号．故每辆客车营运5年，年平均利润最大．
20[解析]　解法1：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2·又x＋2y＋xy＝30，令＝t，则2t＋t2≤30，∵t＞0∴0＜t≤3，∴0当xy＝18时，∵x＝2y.∴x＝6，y＝3.
因此当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
解法2：由x＋2y＋xy＝30得y＝，
∵y＞0，x＞0，∴0＜x＜30
∴xy＝＝－
＝－
＝－(x－32)－＝－[(x＋2)＋]＋34
≤－2＋34＝18，等号在x＋2＝即x＝6时成立，此时y＝＝3.故当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
21[解析]　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
∵ab＋bc＋ca＝1，
∴a2＋b2＋c2≥1.
22[解析]　(1)作出可行域(如图A阴影部分)．
令z＝0，作直线l：2x＋3y＝0.
当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y取得最小值．
从图中可以看出，顶点B是直线x＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；
当把l向上平移时，所对应的z＝2x＋3y的值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z＝2x＋3y取得最大值．
顶点 D是直线－4x＋3y＝12与直线4x＋3y＝36的交点，解方程组可以求得顶点D的坐标为(3,8)．
所以zmin＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，zmax＝2×3＋4×8＝38.
(2)可行域同(1)(如图B阴影部分)．
作直线l0：－4x＋3y＝0，把直线l0向下平移时，所对应的z＝－4x＋3y的值随之减小，即z＝－4x＋3y－24的值随之减小，从图B可以看出，直线经过可行域顶点C时，z＝－4x＋3y－24取得最小值．
顶点C是直线4x＋3y＝36与直线y＝－4的交点，解方程组
得到顶点C的坐标(12，－4)，代入目标函数z＝－4x＋3y－24，得zmin＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.
由于直线l0平行于直线－4x＋3y＝12，因此当把直线l0向上平移到l1时，l1与可行域的交点不止一个，而是线段AD上的所有点．此时zmax＝12－24＝－12.
讲评备选练习
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN
C．M＝N D．不确定
[答案]　B
[解析]　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
又a1，a2∈(0,1)，则a1－1<0，a2－1<0，
则(a1－1)(a2－1)>0，则M>N.
2．已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　B
[解析]　画出可行域，如图中的阴影部分所示，
由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，z取最大值，此时x＝1，y＝0，则z的最大值是2x＋y＝2＋0＝2.
3．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0,4) D．(0,4)
[答案]　C
[解析]　k＝0时满足排除A、D；
k＝4时，不等为4x2－4x＋1>0，即(2x－1)2>0，显然当x＝时不成立．排除B，选C.
[点评]　也可以分k＝0与讨论．
4．设c>1，a＝－，b＝－，则有(　　)
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a、b的关系与c的值有关
[答案]　B
[解析]　a＝，b＝，
∵c>1，∴＋>＋>1，
∴a5．(2011·德州高二检测)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－A．－10 B．－14
C．10 D．14
[答案]　A
[解析]　由根与系数的关系知，
∴，∴a－b＝－10.
6．(2010·天津理，8)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]　C
[解析]　解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f(a)>f(－a)，故选C.
解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log2a>loga，∴a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，log(－a)>log2(－a)，∴－17．若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
[答案]　B
[解析]　可行域为图中阴影部分，的几何意义是区域内点与点A(1,0)连线的斜率．当过点A的直线与l平行时，斜率k＝1；当直线过点A和B(0,1)时，斜率k＝－1，故欲使过点A的直线与可行域有公共点，应有k>1或k<－1，故>1或<－1.
8．不等式＜1的解集为{x|x＜1，或x＞2}，则a的值为_____．
[答案]　
[解析]　由题意知x＝2是方程＝1的根，
∴a＝ .
9．已知x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为___________．
[答案]　18
[解析]　由2x＋8y－xy＝0得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
＝10＋2≥10＋2×2×
＝18.
当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
[点评]　可以消元，消去y＝再用基本不等式求解．
10．已知a＋b＋c＝0，求证ab＋cb＋ca≤0.
[证明]　若a＝b＝c＝0原结论成立；否则至少有两个不为0，则必至少一正，至少一负，不妨设a>0，c<0由于b＝－(a＋c)，
∴ab＋bc＋ac＝b(a＋c)＋ac＝－(a＋c)2＋ac<0.综上可知ab＋bc＋ac≤0成立．
反馈练习
一、选择题
1．已知P：，Q：，则(　　)
A．若P成立，则Q成立
B．若Q成立，则P成立
C．P与Q等价
D．P是否成立与Q无关系
[答案]　C
[解析]　若，由同向可加性得x＋y＞a＋b，又x－a＞0，y－b＞0，∴(x－a)(y－b)＞0；若(x－a)(y－b)＞0，则x－a与y－b同号，又x＋y＞a＋b即(x－a)＋(y－b)＞0，∴，∴ .
2．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系是(　　)
A．M>N　　　　　　　 B．M≥N
C．M[答案]　C
[解析]　N＝＋＞＋
＝＝M.
3．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|x＜0且x≠－1
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜1且x≠－1}
[答案]　D
[解析]　(1＋x)(1－|x|)＞0?或
?x＜1且x≠－1.
[点评]　也可以用检验的方法：令x＝0满足排除B；令x＝－2满足排除A，C.
4．设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有几个(　　)
(1)a2＋1＞a；
(2)(a＋)(b＋)≥4；
(3)(a＋b)(＋)≥4；
(4)a2＋9＞6a；
(5)a2＋1＋＞2.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　∵a＞0，b＞0，∴a2＋1≥2a＞a，∴①正确；
(a＋)(b＋)＝(ab＋)＋(＋)≥2＋2＝4，等号在a＝b时成立，∴②正确；
(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4.等号在a＝b时成立，∴③正确；
∵a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，∴a2＋9≥6a.等号在a＝3时成立，∴④错误；
a2＋1＋≥2.等号在a＝0时成立，但a＞0，∴a2＋1＋＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个．
5．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　取平面区域内的点(－，0)检验知，满足y≥－1，和2x－y＋2≥0，又x≤0，排除A、B、D，∴选C.
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
[答案]　C
[解析]　∵x∈(0，]，
∴a≥＝－x－.
由于函数y＝x＋在(0，]上单调递减，
∴在x＝处取得最小值.
∴－(x＋)≤－.
∴a≥－.
7．设M＝a＋　(2＜a＜3)，N＝log0.5(x2＋)
(x∈R)那么M、N的大小关系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵20，M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，
N＝log0.5(x2＋)≤log0.5＝4，∴M＞N.
8．已知f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3,1)是其图像上的两点，那么| f(x＋1)|＜1的解集是(　　)
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，1]∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由题设知f(0)＝－1，f(3)＝1，
不等式|f(x＋1)|＜1化为－1＜f(x＋1)＜1，
即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)
∵f(x)在R上单调递增，∴0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.
9．函数f(x)＝，则不等式xf(x)－x≤2的解集为(　　)
A．[－2,2] B．[－1,2]
C．(1,2] D．[－2，－1]∪(1,2]
[答案]　B
[解析]　不等式xf(x)－x≤2化为：
Ⅰ.或Ⅱ.由(Ⅰ)得110．已知log2(x＋y)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[2，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题设log2(x＋y)＝log2(xy)，
∴x＋y＝xy且x＞0，y＞0，∴y＝＞0，∴x＞1，
∴x＋y＝x＋＝x－1＋＋2≥4，
等号在x－1＝即x＝2时成立．
11．设O为坐标原点，点M坐标为(2,1)，若点N(x，y)满足不等式组：则使·取得取大值的点N的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无数个
[答案]　D
[解析]　＝(2,1)，＝(x，y)，z＝·＝2x＋y.画出可行域如图，当直线2x＋y－z＝0与直线2x＋y－12＝0重合时，z取最大值，此时N点有无数个．
12．下列函数中，最小值是4的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sinx＋(0C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
[答案]　C
[解析]　当x＜0时，y＝x＋≤－4，排除A；
∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋≥4.但sinx＝无解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在ex＝即ex＝2时成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D.
二、填空题
13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，
∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，
∴114．(2012·山东理，13)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
[答案]　2
[解析]　本题考查了绝对值不等式的解法．由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，而1≤x≤3，所以k＝2.掌握好绝对值不等式的常见解法．
[点评]　也可把不等式转化为方程来解决，如由题意可知x＝1，x＝3是方程|kx－4|＝2的两根，则，解得k＝2.
15．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折；(3)一次性购物超过300元的一律八折，有人两次购物分别付款80元，252元．如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款_______．
[答案]　当第二次购物费超过300元时，应付316元；
当第二次购物费不超过300元时，应付288元．
[解析]　该人一次性购物付款80元，据条件(1)、(2)知他没有享受优惠，故实际购物款为80元；另一次购物付款252元，有两种可能，其一购物超过300元按八折计，则实际购物款为＝315元．其二购物超过100元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为＝280元．故该人两次购物总价值为395元或360元，若一次性购买这些商品应付款316元或288元．
16．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是__________．
[答案]　(－1，－1)
[解析]　作出不等式组表示的平面区域如下图，可见整点只有(－1，－1)．
三、解答题
17．设a，b，c∈R且a＋b＋c＝1，求证a2＋b2＋c2≥.
[解析]　∵a＋b＋c＝1，∴1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥.
18．若不等式组
的整数解只有－2，求k的取值范围．
[分析]　不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此，分别求解两个不等式，就其交集中只有整数－2，求k.
[解析]　由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.
(1)当－＞－k，即k＞时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解为－k＜x＜－，显然－2?.
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0解集为?.
(3)当－＜－k，即k＜时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解为－＜x＜－k.
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组只有整数解－2，
∴∴－3≤k＜2.
故所求k的取值范围是{k|－3≤k＜2}．
[点评]　－k>－2保证不等式组的解集中只含有整数－2；－k≤3保证的解集中不含有整数，才能实现原不等式解集中只有整数－2.
19．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解析]　(1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0整理，得：y＝－60x2＋20x＋200(0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为
y＝－60x2＋20x＋200(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当，
即，解得：0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足020．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，a＝，求·的最大值．
[解析]　∵3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，由正弦定理得3b2＋3c2－2bc＝3a2，即3b2＋3c2－3a2＝2bc，再由余弦定理得cosA＝＝.
∵a＝，∴3b2＋3c2－2bc＝9≥6bc－2bc＝4bc，
∴bc≤，当且仅当b＝c时等号成立．
∴·＝c·b·cosA＝≤，
故·的最大值为.
21．设z＝2x＋y，变量x、y满足条件，求z的最大值与最小值．
[解析]　满足条件的可行域如图，将目标函数z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，直线y＝－2x＋z是斜率k＝－2的平行线系，z是它们的纵截距．作平行直线过平面区域内的点A、B时直线的纵截距取最值．
由得A(5,2)，
由得B(1,1)，
将A、B点坐标代入z＝2x＋y中得，过A点时zmax＝12，过B点时zmin＝3.
22．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.
(1)当x∈(0，x1)时，求证：x＜f(x)＜x1；
(2)设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，求证：x0＜.
[证明]　(1)令F(x)＝f(x)－x.
∵x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2)．
当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0.又a＞0，
得F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x)．
x1－f(x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x＋a(x1－x)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)]．
∵0＜x＜x1＜x2＜，
∴x1－x＞0,1＋a(x－x2)＝1＋ax－ax2＞1－ax2＞0.
得x1－f(x)＞0.由此得f(x)＜x1.
∴x＜f(x)＜x1.
(2)依题意知x0＝－.
∵x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1、x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根，
∴x1＋x2＝，
x0＝－＝＝.
∵ax2＜1，∴x0＜＝.