2-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是惟一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
2．(2010～2011·山东苍山县高二期中)已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )
A．18 B．21
C．25 D．30
3．(2011·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n·
B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n·
D．an＝(－1)n·
5．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )
A．an＝2n2＋3n－1
B．an＝n2＋5n－5
C．an＝2n3－3n2＋3n－1
D．an＝2n3－n2＋n－2
6．已知数列，，2，，…，则2可能是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
二、填空题
7．写出下面数列的一个通项公式(填在横线上)，使它的前4项分别是下列各数：
(1)3,6,9,12；__________.
(2)0，－2，－4，－6；__________.
(3)，，，；__________.
(4)－，，－，；__________.
(5)1，，，；__________.
8．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝__________.
9．数列8,88,888,8888，……，……的通项公式为__________．
三、解答题
10．已知数列{an}中，an＝，判断数列{an}的增减性．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
12．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝( )
A．1 B．1999 C．1000 D．－1
13．(2010～2011·福建福州高二期中)数列1，－3,5，－7，9，……的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
14．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
二、填空题
15.，，，，，……的一个通项公式是________．
16．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a7＝，则a5＝________.
三、解答题
17．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…
(2)2,3,5,9,17,33，…
(3)，，，，，…
(4)1，，2，，…
(5)－，，－，，…
(6)2,6,12,20,30，……
18．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；
(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．
详解答案
1[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
2[答案] D
[解析] 依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D.
[点评] 由n(n＋1)＝a可知a应能分解为相邻两整数之积．显然A、B、C不满足，∴选D.
3[答案] A
[解析] an＝＝1－，随着n的增大而增大．
4[答案] D
[解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为：－，，－，，
∴an＝(－1)n·，或直接把前4项的值代入检验知选D.
5[答案] C
[解析] 当n＝1时，a1＝1，否定A、D.当n＝3时，a3＝35，否定B，故选C.
6[答案] B
[解析] 调整为：，，，，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又2＝，∴应是后的第3项，即第7项，选B.
7[答案] (1)an＝3n
(2)an＝－2(n－1) (3)an＝
(4)an＝ (5)an＝
8[答案] －
[解析] an＋1＝2＋＝，a1＝－2，
∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－，
a5＝，a6＝－.
9[答案] an＝(10n－1)
[解析] a1＝8＝9×＝(10－1)×，a2＝88＝(102－1)×，a3＝888＝(103－1)×，a4＝8888＝(104－1)×，
∴an＝＝(10n－1)×.
10[解析] an＋1＝，
则an＋1－an＝－
＝＝.
∵n∈N*，∴n＋2>0，n＋1>0，
∴>0，
∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．
[点评] 讨论数列的增减性可参照函数的增减性讨论方法进行，所不同的是讨论数列增减性时，可直接作差an＋1－an考察其符号.
11[答案] C
[解析] ∵对任意p、q∈N*都有ap＋q＝ap＋aq.
∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a2＝－30.
12[答案] A
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，……，可知an＝1(n∈N*)．
13[答案] C
[解析] ∵奇数项为正，偶数项为负，∴用(－1)n＋1表示，各项绝对值1,3,5,7,9为奇数，用2n－1表示，∴an＝(－1)n＋1(2n－1)，故选C.
14[答案] A
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)……，
f(n＋1)>f(n)，……，
∴f(n)是递增数列．
15[答案] an＝
16[答案] 1
[分析] 由an＋1＝可知，已知a7可求a6，已知a6可求a5，故解两个方程即可求出a5.
[解析] 由已知a7＝，且a7＝，解得a6＝，而a6＝＝，解得a5＝1.
17[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝……，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
18[解析] (1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，
∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.
(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝.
2-2-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．(2011·湖南邵阳二中高二期中)已知数列3,9,15，……，3(2n－1)，……那么81是它的第几项( )
A．12 B．13 C．14 D．15
2．(2011·醴陵二中、醴陵四中期中联考)若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是( )
A．公差为－1的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )
A．92 B．47 C．46 D．45
4．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.
5．设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是( )
A．48 B．49 C．50 D．51
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
8．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为__________．
9．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
三、解答题
10．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋n.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2011·浏阳高二检测)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B.
C. D.
12．(2011·北京东城一模)已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42 C．43 D．45
13．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于( )
A. B. C. D.
14．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 B. C. D.
二、填空题
15．(2011·湖北理，13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
16．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项是第________项．
三、解答题
17．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
*18.已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
详解答案
1[答案] C
[解析] an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
2[答案] A
[解析] ∵an＝－n＋5，
∴an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，
∴{an}是公差d＝－1的等差数列．
3[答案] C
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3得：n＝46.
4[答案] D
[解析] 由题意，∴，
∴5[答案] C
[解析] a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，
∴d＝，又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50.
6[答案] D
[解析] 由，得，
∴，∴an＝－2n＋10.
7[答案] 13
[解析] ∵a5＝a2＋6，∴3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
8[答案] 12
[解析] 由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，
则解得：b＝4，a＝3，c＝5，
∴a＋b＋c＝12.
9[解析] 设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
[答案] 3
10[解析] 解法1：由，
解得 ，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.
解法2：设am＋n＝y，则由三点(m，n)，(n，m)，(m＋n，y)共线得：＝，∴y＝0，即am＋n＝0.
11[答案] A
[解析] 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，∴x＝，故选A.
12[答案] B
[解析] 设公差为d，则a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
13[答案] C
[解析] 由题意可知：d1＝，d2＝，
∴＝，故选C.
14[答案] C
[解析] 设x2－2x＋m＝0的根为x1，x2且x1又x1＋x2＝2，∴x2＝，
又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差数列，
∴公差d＝(－)＝，∴x3＝，x4＝.
∴|m－n|＝|×－×|＝，故选C.
15[答案]
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
∴解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
16[答案] 9
[解析] a1＝70，d＝－9，∴an＝70－9(n－1)＝79－9n，由，即，得∵n∈N*，∴n＝8，
由于a8＝7，a9＝－2，∴绝对值最小的一项是第9项．
17[解析] 解法1：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d
由已知解得 ，
∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153即4n－27＝153得n＝45∈N*，
∴153是所给数列的第45项．
解法2：假设153是数列{an}的第n项，则(15、33)，(61、217)，(n、153)三点共线，
∴＝，
∴n＝45，
∵n∈N*∴153是这个数列的第45项．
18[证明] ∵，，成等差数列，
∴＝＋化简得：2ac＝b(a＋c)，
又∵＋＝＝
＝＝＝＝2·，
∴，，也成等差数列．
2-2-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有__________．
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
2．(2011·河南汤阴县高二期中)等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )
A．64 B．30 C．31 D．15
3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120 B．105 C．90 D．75
4．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )
A. B. C. D.
5．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( )
A. B. C. D.
6．(2011·山东临清实验高中高二期中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1 C．3 D．7
二、填空题
7．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.
8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.
9．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__________.
三、解答题
10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
能力拓展提升
一、选择题
11．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列{an}，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈[，]，则k的取值不可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
12．(2011·宁夏银川一中高二期中)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C. D．2＋
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
14．将所有的自然数按以下规律排列
0123456789101112……那么从2012到2014的顺序为( )
A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓
二、填空题
15．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．
16．(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：b2012是数列{an}中的第________项．
三、解答题
17．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，、、也成等差数列，求证△ABC为正三角形．
18．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
详解答案
1[答案] D
[解析] 由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，
∴a51＝0.
2[答案] D
[解析] 解法1：∵，∴，
∴，∴a11＝a1＋10d＝15.
解法2：∵6＋9＝4＋11，
∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.
[点评] 解法2比解法1简便的多，由此可见等差数列性质的作用，因此在解题过程中要不断归纳总结，掌握规律，提升解题能力．
3[答案] B
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，
即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
4[答案] C
[解析] ∵a1＝a，an＋2＝b，
∴公差d＝＝.
5[答案] A
[解析] 令bn＝，则b2＝＝，b6＝＝1，
由条件知{bn}是等差数列，
∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝，
∴d＝，
∴b4＝b2＋2d＝＋2×＝，
∵b4＝，∴a4＝.
6[答案] B
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
[点评] 考查等差(等比)数列的性质是高考主要命题方式之一，解答此类题目，一定要注意充分观察所给条件中项的下标构成规律，依据规律构造新数列或利用性质解决．本题中观察下标(1,3,5)，(2,4,6)，设b1＝a1＋a3＋a5，b2＝a2＋a4＋a6，则b18＝a18＋a20＋a22＝b1＋17×(b2－b1)＝3＝3a20，∴a20＝1，请再练习下题：
等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．30 B．27 C．24 D．21
[答案] B
[解析] b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，∵{an}成等差数列，∴b1，b2，b3成等差数列，∴a3＋a6＋a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.
7[答案] 18
[分析] 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．
[解析] 解法1：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.
∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.
解法2：根据等差数列性质，可得
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
[点评] 解法1设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．解法2实际上运用了等差数列的性质：若p＋q＝m＋n，p，q，m，n∈N*，则ap＋aq＝am＋an.
8[答案] 15
[解析] ∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.
9[答案] (A＋B)
[解析] ∵m－n，m，m＋n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am－n，am，am＋n成等差数列，
∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝(A＋B)．
10[解析] 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94
?2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.
11[答案] A
[解析] 过圆(x－5)2＋y2＝25内点(5,3)的最大弦长为10，最小弦长为8.由题意a1＝8，ak＝10，则ak＝a1＋(k－1)d，得d＝，
∵d∈[，]，∴.≤≤，∴5≤k≤7，故选A.
12[答案] B
[解析] ∵S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，
∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝(a＋c)2－(2＋)ac＝4b2－6(2＋)，
∴b2＝4＋2，∵b>0，∴b＝＋1，故选B.
13[答案] A
[解析] 依题意得an＋1－an＝ln，
则有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，
a4－a3＝ln，…，an－an－1＝ln，
累加得an－a1＝ln＝lnn，
故an＝2＋lnn，选A.
14[答案] A
[解析] ∵2012÷4＝503，
∴从1开始，每4个数一组，4在第一组尾，8在第2组尾，故2012在第503组尾，应为201220132014，故选A.
15[答案] 4,6,8
[解析] 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则，
∴，∴三数为4,6,8.
16[答案] 5030
[解析] 由前四组可以推知an＝，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，依次可知，当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an能被5整除，由此可得，b2k＝a5k(k∈N*)，∴b2012＝a5×1006＝a5030.
17[证明] ∵＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b，又∵a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0，
∴a＝b＝c.故△ABC为正三角形．
18[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
．
2-3-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24
C．36 D．48
3．(2011·山东苍山高二期中)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
4．(2011·辽宁鞍山市高二期中联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
5．(2010～2011·福建福州高二期中)＋＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
6．(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．(2011·湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
8．等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn，且S3＝S12，则a8＝________.
9．(2011·天津)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
三、解答题
10．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2011·山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为( )
A．11 B．19
C．20 D．21
12．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
13．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
14．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
二、填空题
15．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．
16．已知两个等差数列{an}：6,10,14，…；{bn}：2,7,12，…各100项，由它们的公共项所构成的数列的和为__________．
三、解答题
17．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
*18.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．
详解答案
1[答案] B
[解析] 由S偶－S奇＝d＝15，得d＝3.
2[答案] D
[解析] 设公差为d，由?
??S6＝6a1＋×3＝48.
3[答案] C
[解析] 解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋d得
解之得d＝，a1＝＋.
∴S3m＝3ma1＋d＝210.
解法2：根据等差数列的性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
解法3：∵Sn＝na1＋d，
∴＝a1＋d，∴点(n，)是直线y＝＋a1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
解法4：令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.
[点评] 对于等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和Sm、S2m、S3m，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3(100－30)＝210.要通过本题深刻领会等差数列的性质在解题中的应用，以迅速提升自已的解题能力．
4[答案] B
[解析] 由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B.
5[答案] B
[解析] 原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)＝，故选B.
6[答案] A
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．
∵a5＝5，S5＝15
∴＝15，即a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A.
[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S5＝15得5a3＝15，即a3＝3，再进一步求解．
7[答案] 25
[解析] 由得，
∴S5＝5a1＋×d＝25.
8[答案] 0
[解析] ∵{an}是等差数列，S3＝S12，
∴S12－S3＝a4＋a5＋…＋a12＝0.
又∵a4＋a12＝a5＋a11＝…＝2a8，
∴S12－S3＝9a8＝0，故a8＝0.
9[答案] 110
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
10[解析] 设{an}的公差为d，则
，
即，
解得，或.
因此Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，或Sn＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n.
11[答案] B
[解析] ∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，
∵<－1，
∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故选B.
12[答案] D
[解析] S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
13[答案] C
[解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9
∵n<13，∴n＝9.
[点评] 请思考若最小内角为100°，公差为10°时边数n是多少？
14[答案] A
[解析] ∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A.
15[答案] 5或6
[解析]
∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，
∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N*，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．
16[答案] 4240
[解析] 公共项构成的新数列{cn}是以c1＝22为首项d＝20为公差的等差数列，∴cn＝20n＋2，
∵an＝4n＋2，bn＝5n－3，∴a100＝402，b100＝497.
∴20n＋2 ≤402，∴n≤20，
∴公共项有20项，它们的和为S20＝20×22＋×20＝4240.
17[解析] (1)依题意
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12. ③
将③分别代入②①，得
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
18[解析] (1)由等差数列的性质得，a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的解，
又公差大于零，故解得a3＝9，a4＝13，
所以公差d＝a4－a3＝13－9＝4，首项a1＝1.
所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋4(n－1)＝4n－3.
(2)由(1)知：Sn＝＝2n2－n，
所以bn＝＝.
故b1＝，b2＝，b3＝.
令2b2＝b1＋b3，即＝＋，
所以2c2＋c＝0.
因为c≠0，故c＝－，此时bn＝＝2n.
当n≥2时，bn－bn－1＝2n－2(n－1)＝2.
所以当c＝－时，{bn}为等差数列．
2-4-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81
C．128 D．243
3．(2011·醴陵二中、四中高二期中联考)等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则a5＝( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
4．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
5．(2011·山东临清实验高中高二期中)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B.
C. D．2
6．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9
二、填空题
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.
8．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．
9．已知等比数列{an}，a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则{an}的通项公式为__________．
三、解答题
10．(2009·福建)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.或
12．(2011·福建三明市期末联考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A. B．4
C．2 D.
13．(2011·浏阳高二检测)若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．必有两个不等实根
B．必有两个相等实根
C．必无实根
D．以上三种情况均有可能
14．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log ax，log bx，log cx( )
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
D．各项的倒数依次成等比数列
二、填空题
15．从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．
16．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．
三、解答题
17．数列{an}中，前n项和Sn＝2n－1，求证：{an}是等比数列．
[分析] 可先利用an与Sn的关系求出an，再用定义证明．
18．某市2011年底人口为20万人，人均住房面积为8m2，计划2015年底人均住房达到10m2，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.
详解答案
1[答案] B
[解析] ·()n－1＝，∴()n－1＝＝()3∴n＝4.
2[答案] A
[解析] ∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，
∴设等比数列的公比为q，
则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.
∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，
∴a7＝a1q6＝26＝64.
3[答案] A
[解析] a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.
4[答案] C
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
5[答案] B
[解析] 设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，
因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，
故a1＝＝＝，故选B.
6[答案] B
[解析] 由条件知，
∵∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B.
7[答案] 3·2n－3
[解析] ∵，∴
∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.
8[答案] 648
[解析] 设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，
∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.
9[答案] an＝2n－1或an＝(－2)n－1
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则
20＝a3＋a5＝q2(a1＋a3)＝5q2，
∴q2＝4，∴q＝±2，
代入a1＋a3＝5中，得a1＝1，
当q＝2时，an＝2n－1；
当q＝－2时，an＝(－2)n－1.
10[解析] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
11[答案] C
[解析] ∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，
∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.
∴＝＝＝.
12[答案] C
[解析] ∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，
∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴公比q＝＝＝2，故选C.
13[答案] C
[解析] ∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac>0.
又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac<0，
∴方程无实数根．
14[答案] C
[解析] ＋
＝log xa＋log xc＝log x(ac)＝log xb2
＝2log xb＝
∴，，成等差数列．
15[答案] 15.5
[解析] 每次剩下原来的，∴逐次剩下的酒精量就构成以19为首项，以为公比的等比数列{an}，
∴an＝19·()n－1
∴a5＝19·()4＝19×0.954≈15.5 (L)，
故倒5次后容器中剩下纯酒精15.5L.
16[答案] x＋y－7＝0
[解析] 由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，
∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.
17[证明] 当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)
＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，2n－1＝21－1＝1＝a1，
∴an＝2n－1.
∴＝＝2(常数)，
∴{an}是等比数列．
18[解析] 设这个城市平均每年要新增住房x万m2，据题意20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10
∴x＝50×1.014－40≈12.
答：这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.
2-4-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝( )
A．27 B．27或－27
C．81 D．81或－81
2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220
C．216 D．215
3．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
4．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则等于( )
A．－或－ B.
C. D.或
5．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
二、填空题
7．等比数列{an}中，a1<0，{an}是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是__________．
8．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值为__________．
9．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．
三、解答题
10．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
12．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 B．34
C．66 D．64
13．已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )
A. B.
C. D.
14．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( )
A．4 B．2
C. D.
二、填空题
15．a、b、c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________．
16．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
三、解答题
17．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原计划中每年的产值．
*18.(2010～2011·山东临清实验高中高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn最小时，求n的值；
(3)求不等式Tn详解答案
1[答案] B
[解析] ∵q2＝＝9，∴q＝±3，
因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B.
2[答案] B
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
3[答案] A
[解析] 设bn＝a，则＝＝()2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
4[答案] D
[解析] a2a10＝a5a7＝6.
由，得或.
∴＝＝或.故选D.
5[答案] D
[解析] 消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.
6[答案] B
[解析] 设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.
所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.
两式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.
又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64，
即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
[点评] 运用性质a1an＝a2an－1＝a3an－2，有(a1an)3＝2×4＝8，∴a1an＝2，
∴a1a2…an＝()n＝2＝64，∴n＝12.
7[答案] 0[解析] ∵∴∴0＜q＜1.
8[答案]
[解析] ∵a1，a3，a9成等比∴a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d＝a1，∴an＝a1＋(n－1)d＝nd，
∴＝＝.
9[答案] 3或27
[解析] 设此三数为3、a、b，则，
解得或，
∴这个未知数为3或27.
10[解析] 由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有解得或
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
11[答案] A
[解析] 解法1：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1，
c＝log2 12＝log2 3＋2.
∴b－a＝c－b.
解法2：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A.
12[答案] C
[解析] 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.
[点评] 本题容易出现由an＋1＝an＋2得出{an}成等差数列的错误．
13[答案] A
[解析] 设等差数列首项为a1，公差为d，则
q＝＝＝
＝＝＝.
故选A.
14[答案] D
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
15[答案] 4,12,36
[解析] ∵a、b、c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，
即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.
16[答案]
[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．
等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．
若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p＝1－＝.
[点评] 本题可以直接列举出这10个数找出小于8(或大于等于8)的数即可，直接考虑情况较多时，也可以从其对立面来考虑问题．
17[解析] 原计划三年产值成等差数列，设为a－d，a，a＋d，d>0，由三年总产值为300万元，得a＝100万元，又a＋10－d，a＋10，a＋11＋d成等比数列，得(a＋10)2＝(a＋10－d)(a＋11＋d)，∴(110－d)(111＋d)＝1102?d2＋d－110＝0?d＝10，或d＝－11(舍)．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．
18[解析] (1)依题意：Sn＝2n－1(n∈N*)，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
当n＝1，S1＝a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)因为bn＝log2an－12＝n－13，所以数列{bn}是等差数列．
∴Tn＝＝(n－)2－.
故当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．
(3)∵Tn－bn＝－(n－13)＝
＝<0，
∴1所以不等式的解集为{n|12-5-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
2．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是( )
A．1 061 B．1 023
C．1 024 D．268
3．(2012·安徽理，4)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么log2a10＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．(2010·辽宁理，6)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B.
C. D.
5．若等比数列{an}对于一切自然数n都有an＋1＝1－Sn，其中Sn是此数列的前n项和，又a1＝1，则其公比q为( )
A．1 B．－
C. D．－
6．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为( )
A．21 B．42
C．63 D．84
二、填空题
7．(2011·宁夏银川一中高二期中)数列{an}的前n项和Sn＝log0.1(1＋n)，则a10＋a11＋…＋a99＝________.
8．(2009·全国Ⅰ)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
9．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
三、解答题
10．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.
能力拓展提升
一、选择题
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
12．设数列{an}的通项an＝(－1)n－1·n，前n项和为Sn，则S2010＝( )
A．－2010 B．－1005
C．2010 D．1005
13．数列7,77,777,7777，…，，…的前n项和为( )
A.(10n－1) B.(10n－1)
C.[(10n－1)]－1 D.[(10n－1)－n]
14．(2010·浙江理，3)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
二、填空题
15．等比数列首项a>0，公比q>0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6 560，则a＝________，q＝________.
16．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
三、解答题
17．(2010·陕西理，16)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
*18.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1＋)万元(n为正整数)．
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
详解答案
1[答案] C
[解析] S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.
2[答案] B
[解析] 由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，
∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1 023.
3[答案] B
[解析] 本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质．
∵a3a11＝16，∴a＝16，∵an>0，∴a7＝4，
∴a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5，故选B.
[点评] 利用等比数列的性质求得a7的值，进而求出结果．
4[答案] B
[解析] {an}是正数组成的等比数列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝.
5[答案] C
[解析] ∵an＋1＝1－Sn，∵n≥2时，an＝1－Sn－1
相减得：an＋1－an＝－an，∴＝.
6[答案] D
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，
又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，
∵an>0，∴q>0，∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.
7[答案] －1
[解析] a10＋a11＋…＋a99＝S99－S9
＝log0.1100－log0.110＝－2－(－1)＝－1.
8[答案] 3
[解析] 若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，
∴＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.
∴a4＝a1q3＝3.
9[答案] 15
[解析] 设数列{an}的首项为a1，则S4＝＝a1，a4＝a1·()3＝a1，
∴＝＝15.
10[解析] ∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，解方程得x1＝2，x2＝64，∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
若a1＝2，an＝64，由＝126得2－64q＝126－126q，∴q＝2，由an＝a1qn－1得2n－1＝32，∴n＝6.
若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6.
综上所述，n的值为6，公比q＝2或.
11[答案] B
[解析] ∵＝3，∴S6＝3S3，∴＝2，
∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴＝22，
∴S9＝4S3＋S6＝7S3，
∴＝＝，∴选B.
12[答案] B
[解析] S2010＝1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋2009＋(－2010)＝(－1)·＝－1005.
13[答案] D
[解析] ＝(10n－1)，故前n项和为
Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)
＝ [(10＋102＋…＋10n)－n]
＝[(10n－1)－n]
14[答案] D
[解析] ∵{an}为等比数列，且8a2＋a5＝0，
∴8a2＋a2·q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2，
＝＝＝＝＝－11，故选D.
15[答案] 2 3
[解析] 由Sn＝80，S2n＝6 560知q≠1.
∴
∴qn＝81，∵q>0，∴q>1，又a>0.
∴该数列为递增数列．∴前n项中最大的项为an，
∴an＝aqn－1＝54，又qn＝81，∴3a＝2q，将qn＝81代入①得a＝q
－1，∴a＝2，q＝3.
16[答案] 2
[解析] 由题意，得
解得S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝＝2.
17[解析] (1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，或d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
18[解析] (1)依题设，An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；
Bn＝500[(1＋)＋(1＋)＋…＋(1＋)]－600＝500n－－100.
(2)Bn－An＝(500n－－100)－(490n－10n2)
＝10n2＋10n－－100＝10[n(n＋1)－－10]．
因为函数y＝x(x＋1)－－10在(0，＋∞)上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n＋1)－－10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n＋1)－－10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
2-5-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角的公差为( )
A．0° B．15°
C．30° D．45°
2．一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )
A．三边边长之比为3:4:5
B．三边边长之比为1: :3
C．较小锐角的正弦为
D．较大锐角的正弦为
3．公差不为零的等差数列的第二、第三、第六项构成等比数列，则公比为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，那么与的大小关系是( )
A.>
B.＝
C.<
D.与的大小关系不能确定
5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
二、填空题
7．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则＋的值为__________．
8．an＝sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2010＝________.
9．(2010～2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，其前n项之和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n的最小值是________．
三、解答题
10．数列{an}共有k项(k为定值)，它的前n项和Sn＝2n2＋n(n≤k，n∈N*)，现从k项中抽取某一项(不抽首末两项)，余下的k－1项的平均数为79.
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列的项数，并求抽取的是第几项．
能力拓展提升
一、选择题
11．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
12．(2011·宁夏银川一中高二期中)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
A. B.
C. D.
13．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
14．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1 B．2
C．3 D.
二、填空题
15．(2009·江苏)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}中有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q＝________.
16．(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________.
三、解答题
17．(2009·陕西)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋1＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
18．(2012·福建文，17)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.
(1)求an和bn；
(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．
详解答案
1[答案] A
[解析] 取特例正三角形两条件都满足排除B、C、D，∴选A.
2[答案] C
[解析] 设三边为a，b，c(0 ，
∴a2＋ac－c2＝0，∴＝.
3[答案] C
[解析] 由题设a＝a2·a6
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)
∴d＝－2a1，∴an＝(3－2n)a1.
公比q＝＝＝3.
4[答案] C
[解析] ∵bc＝ad，∴＝，
∵－＝－＝>0.
[点评] 请学过下一章后，尝试用基本不等式解决．
5[答案] C
[解析] acsinB＝，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.
6[答案] C
[解析] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q；
由4a1,2a2，a3成等差数列得，4a2＝4a1＋a3，
∴4a1q＝4a1＋a1q2，
∵a1＝1，∴q2－4q＋4＝0，∴q＝2，
∴S4＝＝＝15.
7[答案] 2
[解析] b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，
∴＋＝＋
＝＝＝2.
8[答案] 2＋
[解析] an＝sin的周期为12，
且a1＋a2＋…＋a12＝0.
∴a1＋a2＋…＋a2010＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
＝2＋.
9[答案] 63
[解析] Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝log2＋log2＋…＋log2
＝log2(××…＋)＝log2<－5，
∴<，∴n>62，
∵n∈Z，∴n的最小值为63.
10[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
∵当n＝1时也适合，
∴an＝4n－1(n∈N*)．
(2)设抽取的为第t项，则1＜t＜k.
由题意知Sk＝79×(k－1)＋at，
即2k2＋k＝79k－79＋4t－1
∴2t＝k2－39k＋40，∴2＜k2－39k＋40＜2k.
则38＜k＜40，∵k∈N*.∴k＝39，t＝20.
故抽取的为第20项，共有39项.
11[答案] B
[解析] 设项数为2n，则由已知得
＝q＝2，又a1＝1，得an＝2n－1，其中间两项和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，可解得n＝4，故得项数2n＝8，应选B.
12[答案] B
[解析] ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵c＝2a，
∴b2＝2a2，∴cosB＝＝＝.
[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的一种基本形式．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题．
13[答案] B
[解析] a＝a2·a4， (1)
＝＋. (2)
∵2a2＝a1＋a3，∴a2＝，
代入(1)得，a4＝，
代入(2)得，＝＋，
∴a＝a1a5.
14[答案] D
[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.∴选D.
1
2
3
4
0.5
1
1.5
2
0.25
0.5
0.75
1
0.125
0.25
0.375
0.5
0.0625
0.125
0.1875
0.25
15[答案] －
[解析] 设等比数列{an}的首项为a1，
由题意知，an＝a1qn－1，|q|>1，
由bn＝an＋1，∴bn－1＝a1qn－1.
∴{bn－1}是等比数列，{bn－1}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，经分析可知是－24,36，－54，81，
∴公比q＝－.
16[答案] 22
[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.
17[解析] 解：(1)b1＝a2－a1＝1，
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1.
∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列；
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2
＝1＋
＝1＋
＝－n－1，
当n＝1时，－1－1＝1＝a1，
∴an＝－n－1(n∈N*)．
18[解析] (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得
S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，
解得d＝1，q＝2，
所以an＝n，bn＝2n－1.
(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：
(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．
符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．
故所求的概率P＝.
[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件．
