3-1-1
基础巩固强化
一、选择题
1．(2010～2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知a<0，－1
A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2
C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a
2．如果a、b、c满足cA．ab>ac B．bc>ac
C．cb23．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为( )
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b
4．设x＜a＜0，则下列各不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax
5．若a，b是任意实数，且a＞b，则( )
A．a2＞b2 B.＜1
C．lg(a－b)＞0 D．()a＜()b
6．已知－1A．AC．A二、填空题
7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．
8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
9．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得＜成立的是________．
三、解答题
10．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：
现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
能力拓展提升
一、选择题
11．下列结论中正确的是( )
①a＞b＞0，d＞c＞0?＞，
②a＞b，c＞d?a－c＞b－d，
③＞?a＞b，
④a＞b?an＞bn(n∈N，n＞1)．
A．①②③ B．①③
C．②③④ D．①③④
12．(2011·杭州高二检测)若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是( )
A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm＋nC．1＋dm＋n≥dm＋dn D．不能确定
13．如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的关系正确的是( )
A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200
C. D.
14．给出下列关于不等式的结论：
(1)若a<0，b<0，则；
(2)若a<|b|，则a2(3)若a＋b>2且ab>1，则；
(4)不论“*”取“＋、－、·”(其中“·”是通常的乘法运算)中的哪一种运算，若a*b其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
15．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为________．
三、解答题
16．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
17．设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
详解答案
1[答案] D
[解析] ∵－1b2>0>b>－1，
即b∴ab>ab2>a.故选D.
2[答案] C
[解析] ∵c0，c<0.
∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．
∵b可能等于0，也可能不等于0.
∴cb23[答案] C
[解析] ?a＞－b＞0?－a＜b＜0.∴选C.
[点评] 可取特值检验．
∵a＋b>0，b<0，∴可取a＝2，b＝－1，∴－a＝－2，－b＝1，∴－a4[答案] B
[解析] ??x2＞ax＞a2∴选B.
5[答案] D
[解析] 举反例，A中2＞－5但22＜(－5)2；B 中－2＞－5但＞1；C中a＝5，b＝4时，lg(a－b)＝0，故选D.
6[答案] B
[解析] 不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B[点评] 具体比较过程如下：
由－10，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)＝－
＝－>0，得C>A，∴B7[答案] a3＞b3
8[答案] x＜y
[解析] x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，
∴x＜y.
9[答案] ①、②、④
[解析] ＜?＜0，
∴①、②、④能使它成立．
10[解析] 设需安排x艘轮船和y架飞机，则
，∴.
11[答案] B
[解析] ?＞∴①对；
a＞b，－c<－d不同向不可加，∴②错．
∵＞，∴c2＞0.∴a＞b.③对；
只有a＞b＞0时，对任意正整数n＞1才有an＞bn，
∴④错．故选B.
12[答案] A
[解析] (1＋dm＋n)－(dm＋dn)＝(1－dm)(1－dn)，
若d>1，∵m、n∈N*，∴dm>1，dn>1，
∴(1－dm)·(1－dn)>0，
若0∴(1－dm)(1－dn)>0，故选A.
13[答案] C
14[答案] A
[解析] (1)∵a<0，b<0，∴a＋b<0，ab>0，即两个负数的和为负数，两个负数的积为正数，∴(1)正确；
(2)当a<|b|时，不一定有|a|<|b|，因此a2b2，∴(2)不正确；
(3)当a＝，b＝时，满足a＋b>2，且ab>1，但得不出，故(3)错误；
(4)当“*”为通常的加法运算“＋”时，a＋bc；当“*”为通常的乘法运算“·”时，a·b0时，bc，故(4)错误．
15[答案] M＞N
[解析] ∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.
16[解析] 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；
∴－18＜x－2y＜10；
∵30即＜＜.
17[解析] 根据同底数幂的运算法则．
＝aa－b·bb－a＝()a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.
[点评] 实数大小的比较问题，除利用a－b>0?a>b外，还常常利用不等式的基本性质或“>1，且b>0?a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断．
备选题库
1．设a＝，b＝－，c＝－，则( )
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
[答案] D
[解析] 假设a＞b即＞－，∴＋＞，平方得＞1成立，∴a＞b排除B、C.
又假设b＞c，即－＞－
∴＋＞＋，平方得＞显然不成立
∴b＜c排除A.
2．已知：0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝logba，z＝logb，则( )
A．z＜x＜y B．z＜y＜x
C．y＜z＜x D．x＜z＜y
[答案] A
[解析] y＝logba＞logbb＝1,0＜x＝ab＜a0＝1，z＝logb＜0，∴z＜x＜y.
3．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b2<0
C．b＋a>0 D．a2－b2<0
[答案] C
[解析] 由a－|b|>0?|b|0，故选C.
3-1-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．设a＋b<0，且a>0，则( )
A．a2<－abC．a22．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
3．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M、N的大小无法确定
4．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
5．若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．(2010～2011·醴陵二中、四中联考)下列结论中正确的是( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若a>b，c>d，则>
二、填空题
7．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________．
8．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.其中能推出<成立的是________．
9．给出下列结论：
①|a|>b?a2>b2; ②a>|b|?a2>b2；
③a2>b2?a>b; ④a2>b2?|a|>|b|.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
10．实数a、b、c、d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论．
能力拓展提升
一、选择题
11．若－<α<β<，则α－β的取值范围是( )
A．(－π，π) B．(0，π)
C．(－π，0) D．{0}
12．(2011·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
13．(2011·蚌埠高二检测)若a>b>c，a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )
A．ac>bc B．ab>ac
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
14．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
*15.设A＝log2011，B＝log2011，则A与B的大小关系为________．
16．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是________．
三、解答题
17．老丁同时收到甲、乙两家公司的聘用通知，甲公司给出的年薪为24 000元，且以后每年都比上一年增加年薪800元，乙公司给出的年薪为18 000元，且以后每年都比上一年增加年薪1 550元．如果老丁对甲、乙两公司的满意度相同，请你给老丁出出主意，他该去哪家公司应聘？
18．已知a、b、c满足：a、b、c∈R＋，a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小．
详解答案
1[答案] A
[解析] ∵a＋b<0，且a>0，∴0∴a2<－ab2[答案] B
[解析] ∵a2＋a<0，∴0－a2>a，
∴a<－a2[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－，则a2＝，－a2＝－，－a＝，∴>>－>－，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B.
3[答案] A
[解析] M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，∴loga>0，∴M>N，若00，∴M>N，故选A.
4[答案] C
[解析] 解法1：由a>b>0?0<<?a＋>b＋，故选C.
解法2：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B.
5[答案] B
[解析] ∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；
∴ab＞0，∴a＋b<0又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；
∵＋＝＝＝＋2
且a－b＜0，ab＞0，∴＋＞2，∴④成立．
∴①④正确．选B.
6[答案] A
[解析] 由不等式的性质知A正确．
[点评] 要注意不等式性质中条件的把握．
7[答案] ＞
[解析] ∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∵a＞b＞0，∴＞＞0，
∴＞.
8[答案] ①②④
[解析] ①b>0>a时，∵a<0，∴<0，
∵b>0，∴>0，∴<；
②0>a>b时，由a<0，b<0得>0，∴>，
即<；
④a>b>0时，∵a>0，b>0，∴>0，∴>，
即<；
③a>0>b时，∵a>0，∴>0，∵b<0，∴<0，
∴>.
9[答案] ②④
[解析] 取a＝2，b＝－3，知①错；
由a>|b|知，|a|>|b|≥0，
∴a2>b2，∴②正确；
由a2>b2，知|a|>|b|，∴④对，③错．
10[解析] ??
由①式得b>d>c>a.
11[答案] C
[解析] ∵－<β<，∴－<－β<，
又－<α<，∴－π<α－β<π，
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.
12[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)又∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
13[答案] B
[解析] ∵a>b>c，a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，
∵a>b，c<0，∴ac∵a>c，|b|≥0，∴a|b|≥c|b|，因此当b＝0时，C错；
当|a|<|c|时，D错．如a＝1，b＝0，c＝－3；
∵b>c，a>0，∴ab>ac，故B正确．
14[答案] D
[解析] 设ab>0为①，bc－ad>0为②，
－>0为③，
若①②成立，则(bc－ad)>0，
即－>0，即③成立；
若①③成立，则ab(－)>0，
即bc－ad>0，即②成立；
若②③成立，则由③得>0，
由②bc－ad>0得ab>0，
即①成立．故正确命题个数为3个，选D.
[点评] 运用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，若
弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．
15[答案] A>B
[解析] 设20121111＝x，则A＝log2011，
B＝log2011，x>1，
∵－＝>0，y＝log2011x为增函数，
∴log2011>log2011，即A>B.
16[答案] p＜r＜s＜q
[解析] 取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r＝，s＝则p＜r＜s＜q(特值探路)．
具体比较如下：
p－r＝－＝＜0，∴p＜r，
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，
∴a＋m＞b＋m＞0.a＋n＞b＋n＞0，
∴＜1，＞1，∴r＜s，
或r－s＝－＝＜0.
∴r＜s，
s－q＝－＝＜0，∴s＜q.
∴p＜r＜s＜q
[点评] 由本题可知，小于1的正分数，分子、分母加上同一个正数后其值变大，大于1的正分数，分子、分母加上同一个正数后，其值变小．
17[解析] 设第n年甲、乙两公司给出的年薪分别为an，bn，则数列{an}、{bn}均为等差数列，其中a1＝24000，d＝800，则其前n项和An＝24000n＋×800＝400n2＋23600n，b1＝18000，d′＝1550，则其前n项和Bn＝18000n＋×1550＝775n2＋17225n，
令Bn－An≥0得375n2－6375n≥0，∴n≥17.
答：老丁若应聘17年以下应去甲公司；应聘17年，两公司均可，若应聘17年以上，则应去乙公司．
18[解析] ∵a、b、c∈R＋，∴an、bn、cn>0.
而＝n＋n.
∵a2＋b2＝c2，∴0<<1,0<<1.
∵n∈N，n>2，∴n<2，n<2，
∴＝n＋n<＝1，∴an＋bn3-2-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．{x|x≠－} B．{x|－≤x≤}
C．? D．{－}
2．不等式3x2－x＋2＜0的解集为( )
A．? B．R
C．{x|－＜x＜} D．{x∈R|x≠}
3．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x＜－4，或x＞3} B．{x|－4＜x＜3}
C．{x|x≤－4，或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}
4．(2011·广东文，5)不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A．(－，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
5．函数y＝的定义域是( )
A．[－，－1)∪(1，]
B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2]
D．(－2，－1)∪(1,2)
6．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B?A，则a的取值范围是( )
A．a≤1 B．1＜a≤2
C．a＞2 D．a≤2
二、填空题
7．不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．
8．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
三、解答题
10．解下列不等式：
(1)2x2－3x－2＞0; (2)4x2＋4x＋1＜0；
(3)x2－3x＋5＞0; (4)－3x2＋6x＞2.
能力拓展提升
一、选择题
11．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m，n的值分别是( )
A．2,12 B．2，－2
C．2，－12 D．－2，－12
12．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
13．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是( )
A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5a
C．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a
14．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
二、填空题
15．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－}，则不等式ax2－bx＋c＞0的解集为________．
*16.若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
三、解答题
17．解不等式：1＜x2－3x＋1＜9－x.
*18.(2010～2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)．
详解答案
1[答案] D
[解析] 变形为(3x＋1)2≤0.∴x＝－.
2[答案] A
[解析] ∵△＝－23＜0，开口向上，
∴3x2－x＋2＜0的解集为?.
3[答案] C
[解析] 使y＝有意义，则x2＋x－12≥0.
∴(x＋4)(x－3)≥0，∴x≤－4，或x≥3.
4[答案] D
[解析] 2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)>0，所以不等式的解集为(－∞，－)∪(1，＋∞)．
5[答案] A
[解析] ∵log (x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，
∴1＜x2≤2，
∴1＜x≤或－≤x＜－1.
6[答案] A
[解析] A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}，
∵B?A，∴a≤1.
7[答案] {x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}
[解析] 由x2－2x－3≥0得：x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4，
∴－2＜x≤－1或3≤x＜5.
8[答案] ?
[解析] 化为：2x2－x＋1≤0.△＝－7＜0.
9[答案] {x|x＜－2或x＞3}
[解析] 由表知x＝－2时y＝0，x＝3时，y＝0.
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为
y＝a(x＋2)(x－3)，又当x＝1时，y＝－6，∴a＝1.
∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜－2或x＞3.
10[解析] (1){x＜－或x＞2} (2)? (3)R
(4){x|1－＜x＜1＋}.
11[答案] D
[解析] 由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－，－2×3＝，
∴m＝－2，n＝－12.
12[答案] D
[解析] 当a＝2时，－4＜0恒成立；当a≠2时，，∴－2＜a＜2，
综上得－2＜a≤2.
13[答案] B
[解析] 化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a
∵a＜0，∴x1＞x2.∴不等式解为x＜5a或x＞－a.
14[答案] D
[解析] 令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则
，∴，∴0＜m＜1.
15[答案] {x|＜x＜2}
[解析] 由条件知，－2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0.
∴－2－＝－，(－2)×(－)＝，
∴b＝a，c＝a.
从而不等式ax2－bx＋c＞0化为a(x2－x＋1)＞0.
∵a＜0，∴2x2－5x＋2＜0.
即(x－2)(2x－1)＜0，解得＜x＜2.
∴不等式的解集为{x|＜x＜2}．
16[答案] (－∞，0)∪(4，＋∞)
[解析] 当m＝0时，1<0不成立，∴m≠0；当m<0时，抛物线y＝mx2－mx＋1开口向下，∴不等式mx2－mx＋1<0的解集一定不是空集；当m>0时，要使解集非空，应有Δ＝m2－4m>0，∴m>4，综上知不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集时m＜0或m＞4.
17[解析] 由x2－3x＋1＞1得，x2－3x＞0，
∴x＜0或x＞3；
由x2－3x＋1＜9－x得，x2－2x－8＜0，∴－2＜x＜4.
借助数轴可得：{x|x＜0或x＞3}∩{x|－2＜x＜4}＝{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．
18[解析] (1)y＝50x－[12x＋×4]－98
＝－2x2＋40x－98.
(2)解不等式－2x2＋40x－98>0得，
10－∵x∈N，∴3≤x≤17，故工厂从第3年开始盈利．
3-2-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋)x＋1＜0的解集是( )
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t}
C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
4．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围是( )
A．－2＜k＜－1
B．3＜k＜4
C．－2＜k＜4
D．－2＜k＜－1或3＜k＜4
5．(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数x∈[－1,1]，不等式x2＋ax－3a<0总成立．则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a>
C．a> D．a>0或a<－12
6．a＞0，b＞0.不等式－b＜＜a的解集为( )
A．{x|x＜－或x＞}
B．{x|－＜x＜}
C．{x|x＜－或x＞}
D．{x|－＜x＜0或0＜x＜}
二、填空题
7．不等式＜1的解集是________．
8．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
9．若关于x的不等式(a－x)(b－x)＞0的解集为{x|x＜a或x＞b}，则实数a，b的大小关系是________．
三、解答题
10．解下列关于x的不等式．
(1)x2－(a＋1)x＋a＞0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1＞0(a≠0)；
(3)x2－(a＋1)x＋1＞0.
能力拓展提升
一、选择题
11．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a的取值范围是( )
A．－3C．－112．函数y＝的定义域为( )
A．[－4,1] B．[－4,0)
C．(0,1] D．[－4,0)∪(0,1]
13．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－5ax＋4a2≤0}，A∩B＝{x|3A．1 B．4
C．1或4 D．3
14．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
二、填空题
15．已知不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为{x|α＜x＜β}，其中0＜α＜β，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为________
16．若关于x的不等式x2－3kx－x＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，则k的取值范围________．
三、解答题
17．为促进某品牌彩电的销售，厂家设计了两套降价方案．方案①先降价x%，再降价x%，(x＞0)；方案②一次性降价2x%，问哪套方案降价幅度大？
*18.解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
详解答案
1[答案] D
[解析] 化为(x－t)(x－)＜0，
∵0＜t＜1，∴＞1＞t，∴t＜x＜，
2[答案] A
[解析] 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.
3[答案] A
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，
∴△＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.
4[答案] D
[解析] 结合f(x)＝7x2－(k＋13)x＋k2－k－2的图象知：???
?－2＜k＜－1或3＜k＜4.
[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集．
5[答案] B
[解析] 设f(x)＝x2＋ax－3a，则由条件知
，∴，∴a>.
6[答案] A
[解析] ∵b＞0∴－b＜0，又a＞0，∴不等式－b＜＜a化为－b＜＜0或0＜＜a.∴x＜－或x＞.
∴选A.
7[答案] {x＜－4或x＞}
[解析] 化为＞0，化为(x＋4)(3x－1)＞0，
∴x＜－4或x＞.
8[答案] (5,7)
[解析] 不等式|3x－b|<4?－4<3x－b<4?∴59[答案] a＜b
10[解析] (1)变形为(x－a)(x－1)＞0，当a＞1时，x＞a或x＜1；当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＜1时，x＞1或x＜a.
(2)变形为(ax－1)(x－1)＞0，令＝1得a＝1.
∴当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＞1时，0＜＜1，∴x＜或x＞1，当0＜a＜1时，x＜1或x＞；当a＜0时，＜x＜1.
(3)△＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3≥0，∴a≤－3或a≥1.
∴当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＝－3时，x∈R且x≠－1；
当a＜－3或a＞1时，x＜或x＞；
当－3＜a＜1时，x∈R.
[点评] 注意从以下三个方面讨论：
①二次项系数的正负；
②判别式△的符号；
③两根的大小(特别是a＜0时).
11[答案] C
[解析] f(x)＝x2＋(a2＋1)x＋a－2开口向上，由题设条件，∴，∴－112[答案] D
[解析] 要使函数有意义，则需，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．
13[答案] A
[解析] A＝{x|x<－1或x>3}，∵A∩B＝{x|314[答案] A
[解析] 不等式f(x)≥x2化为
(1)或(2) .
解不等式组(1)得－1≤x≤0；
解不等式组(2)得0因此原不等式的解集是[－1,1]，选A.
15[答案] {x|x>或x<}
[解析] ∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，∴a＜0且α，β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝，∴b＝－a(α＋β)，c＝aαβ，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0化为：
aαβx2－a(α＋β)x＋a＜0，
即：αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
∴(αx－1)(βx－1)＞0，
∵0＜α＜β，∴＞＞0，∴x＜或x＞.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜}．
16[答案] (0，]
[解析] 不等式化为x2－(3k＋1)x＋k(2k＋1)<0，
由(2k＋1)－k>0得k>－1.
∴当k>－1时， k当k＝－1时，不等式无解．
当k<－1时，2k＋1∵不等式的解集中含有整数1，
∴不等式的解为k∵不等式的解集中的整数只有1，
∴，∴0又k>－1，∴k的取值范围是(0，]．
17[解析] 设原价为1个单位，t＝x%，t∈(0,1)，
实行方案①后的价格为(1－t)2，
实行方案②后的价格为(1－2t)，
(1－t)2－(1－2t)＝t2＞0，即(1－t)2＞(1－2t)，
所以方案②降价幅度大．
18[解析] (1)a＝0时，原不等式化为x－2＜0，∴x＜2.∴原不等式解集为{x|x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＜0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，，又2＞，∴原不等式解集为{x|＜x＜2}．
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＞0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，.
当0＜a＜1时＞2，原不等式的解集为
{x|x＞或x＜2}．
当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，解集为{x∈R|x≠2}．
当a＞1时，2＞＞0，原不等式解集为
{x|x＞2或x＜}．
综上所述，不等式解集为：a＝0时，{x∈R|x＜2}；a＝1时，{x∈R|x≠2}；a＜0时，{x|＜x＜2}；0＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}；a＞1时，{x|x＞2或x＜}．
3-3-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
2．不等式组，表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( )
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
3．(2011·厦门高二检测)已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则( )
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )
A. B.
C. D.
5．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( )
6．不等式组表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
二、填空题
7．不等式|2x－y＋m|＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
8．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．
9．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________.
三、解答题
10．画出不等式组表示的平面区域．
能力拓展提升
一、选择题
11．不等式组表示的平面区域的面积是( )
A．18 B．36
C．72 D．144
12．(2011·北京高二检测)在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
13．(2011·吉安高二检测)不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
14．横坐标与纵坐标都是整数的点称作整点．不等式组
表示的平面区域内整点个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
二、填空题
15．△ABC顶点坐标为：A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出表示△ABC所在区域的二元一次不等式组(包括边界)________．
16．不等式表示的平面区域的面积是________．
三、解答题
17．经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
详解答案
1[答案] D
[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x＋2y＜6.
2[答案] A
[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y＜x.∴选A.
3[答案] D
[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P与A在直线l异侧，∴3x0＋2y0－8>0.
4[答案] A
[解析] 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D.
O点满足x－2y＋2≥0，排除C.
∴选A.
5[答案] B
[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B.
6[答案] B
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
[点评] 一般地(a1x＋b1y＋c)(a2x＋b2y＋c)≥0(ai，bi不同时为0，i＝1,2)表示一对顶区域．
7[答案] 0＜m＜3
[解析] 将点(0,0)和(－1,1)代入不等式中解出0＜m＜3.
8[答案]
9[答案] 3
[解析] 由条件知，＝，∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，∴3＋a－3＞0，
∴a＞0，∴a＝3.
10[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，
所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分.
11[答案] B
[解析] 作出平面区域如图．
交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)，
∴S△ABC＝[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.
12[答案] B
[解析] 在直线方程x－2y＋4＝0中，令x＝－2，则y＝1，则点P(－2,1)在直线x－2y＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，如图知，t的取值范围是t>1，故选B.
13[答案] C
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点(0,1)代入(x－y＋5)(x＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
14[答案] D
[解析] 可行域如图，可求得A(－1,0)、B(3,0)、C(、)，
∴可行域内的整点有：(－1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0)．
(0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2)，故选D.
15[答案]
[解析] 如图所示．
可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC所在区域Ω在直线AB的右上方，∴x＋2y－1≥0；
Ω在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；
Ω在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0，
所以△ABC区域可表示为
16[答案] 6
[解析] 作出平面区域如图△ABC，A(－1,0)、B(1,2)、C(1，－4)，S△ABC＝·|BC|·d＝×6×2＝6.
(d表示A到直线BC的距离．)
17[解析] 由题意知直线l斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题知：A、B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有：
(k＋1)(2k－2)≤0
∴－1≤k≤1.
[点评]
另外参考解法有
①kPA≤k≤kPB.数形结合法．
②直线l：y＝kx－1，与线段AB：y＝3x－5(1≤x≤2)有公共点
∴方程组在1≤x≤2上有解．
消去y得，x＝，
∴1≤≤2，∴－1≤k≤1.
都不如原解法简便．
3-3-2
基础巩固强化
一、选择题
1．设x2＋y2≤1表示的平面区域对应点集为M.|x|＋|y|≤1表示的平面区域对应点集为N，则M与N的关系是( )
A．M?N B．M?N
C．M＝N D．M与N无包含关系
2．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是( )
A．a<－ B．a>1
C．a<－或a>1 D．－3．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为( )
A．5 B．－6
C．10 D．－10
5．(2010·福建文，5)若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
6．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知，若z＝x＋2y的最大值是3，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
二、填空题
7．(2011·石家庄高二检测)在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．
8．已知点M，N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．
9．(2011·辽宁铁岭六校联考)设a＞0.点集S内的点(x、y)满足下列所有条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x.那么S的边界是一个________边形(填边数)．
三、解答题
10．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.
能力拓展提升
一、选择题
11．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(，)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )
A．(－ ，－) B．(－，－)
C．(，) D．(－，)
12．(2010·北京理，7)设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
13．不等式组表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
14．(2012·广东文，5)已知变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
二、填空题
15．已知x、y满足条件则z＝2x＋5y的最大值为_______．
16．已知实数x，y满足下列条件设t＝，则t的最小值为________．
三、解答题
17．求不等式组表示的平面区域的面积．
18．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．
详解答案
1[答案] B
[解析] 如图．x2＋y2≤1表示⊙O内部及边界的平面区域M，|x|＋|y|≤1表示正方形ABCD内部及边界的平面边域N.显然M?N.故选B.
[点评] 两个平面区域M、N的关系，只要画出图形找出平面区域M、N，则由图可直观看出．
2[答案] C
[解析] 由题意知，(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－或a＞1.
3[答案] B
[解析] 可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.
4[答案] B
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.
5[答案] B
[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：
画出l0：x＋2y＝0
平行移动l0到l的位置，
当l通过M时，z能取到最小值．
此时M(1,1)，即zmin＝3.
6[答案] A
[解析] 画出可行域如图，∵z＝x＋2y的最大值为3，∴y＝－＋经过可行域内的点A(a，a)时，z取到最大值3，∴a＋2a＝3，∴a＝1.
7[答案] [－1,3]
[解析] 画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，
∴－1≤z≤3.
8[答案]
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，
∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，
直线x＝1与y＝1垂直，
∴|MN|的最大值是|AB|＝＝.
9[答案] 6
[解析] 首先由围成正方形ABCD，又结合位于二平行直线l1x－y＝－a和l2x－y＝a之间．
再结合，x＋y≥a可知．围成的区域是多边形APQCRS.它是一个六边形．
10[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．
∵目标函数为z＝3x＋5y，
∴作直线l0：3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(，)的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.
11[答案] B
[解析] 若a>0，则由y＝ax－z知C点一定不是最优解，∴a<0；z＝ax－y在C点取最优解，则一定是z的最小值点，∵kAC＝－，kBC＝－，∴－≤a≤－.结合选项可知选B.
[点评] ①当a＝－或－时，最优解有无穷多个，它们都包括C(，)，故本题若是填空题应包括区间端点，填[－，－]．
②由于C是最优解，故不可能有a＞0.当a＞0时最优解应在A和B处获得．
12[答案] A
[解析]作出区域D，联系指数函数y＝ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2,9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．
13[答案] B
[解析] 不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．
可求得A(－，－)，B(，)，C(，－)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x＜，－＜y＜.
∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.
经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．
14[答案] C
[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．
由画出可行域如图．
令z＝0画出l0：x＋2y＝0，平移l0至其过A点时z最小，由，得A(－1，－2)，
∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5.
[点评] 画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法．
15[答案] 19
[解析] 可行域如图．
当直线y＝－x＋经过直线y＝3与x＋2y＝8交点(2,3)时，z取最大值zmax＝19.
[点评] 本题中须据直线x＋2y＝8的斜率k1＝－与直线2x＋5y＝z的斜率k2＝－比较大小．k1＜k2以确定经过哪个点时z取最大值．(注意直线的斜率k＞0时．逆时针方向旋转斜率由小变大．k＜0时，逆时针方向旋转．斜率也是由小变大．即直线与x轴夹角越大，斜率的绝对值越大．)
16[答案]
[解析] 作出可行域为如图所求的△ABC及其内部，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，由图可知，kOB≤t≤kOC，
由得B(5,2)，易知C(1，)，
∴kOB＝，kOC＝，
∴≤t≤，故t的最小值为.
17[解析] 不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域为如图阴影部分．
因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，如图．
可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)
S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB
＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.
[点评] 本题求平面区域面积的方法还有：
把四边形ABCD分割成两个三角形，如△ABC和△ACD，再求面积．即利用割补的办法转化成能求面积的几何图形去求解．
18[解析] 设每天派出A型车x辆、B型车y辆
则即画出平面区域为图中阴影部分：
3-3-3同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．设集合U＝{(x，y)|x、y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩?UB的条件是( )
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
2．(2010·全国卷文，3)若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(2012·山东理，5)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A．[－，6] B．[－，－1]
C．[－1,6] D．[－6，]
4．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
5．变量x、y满足下列条件则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是( )
A．(4,5) B．(3,6)
C．(9,2) D．(6,4)
6．(2010～2011·辽宁鞍山高二期中)已知x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是( )
A. B.
C．2 D．4
二、填空题
7．已知x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
8．已知x，y满足则x2＋y2的最大值为________．
9．(2011·江苏南京一模)已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是________．
三、解答题
10．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
能力拓展提升
一、选择题
11．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
12．已知x、y满足，则的最值是( )
A．最大值是2，最小值是1
B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0
D．有最大值无最小值
13．(2011·浙江文，3)若实数x，y满足不等式组，则3x＋4y的最小值是( )
A．13 B．15
C．20 D．28
二、填空题
14．设x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是________．
三、解答题
15．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
16．某厂有一批长为18米的条形钢板，可以割成1.8米和1.5米长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[分析] 能获得最大利润的下料数学语言即为：销售总值与加工费之差为最大．
详解答案
1[答案] A
[解析] 由题设点P(2,3)满足2x－y＋m＞0和x＋y－n＞0，∴m＞－1且n＜5.
2[答案] B
[解析] 先作出可行域如图．
作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．
当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.
3[答案] A
[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)处z有最小值，即－≤z≤6.
[点评] 对于目标函数的求解需要注意z的几何意义及系数的正负对取值的影响．
4[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
5[答案] B
[解析] 检验法：将A、B、C、D四选项中x，y代入z＝3x＋2y按从小到大依次为A、B、D、C.然后按A→B→D→C次序代入约束条件中，A不满足2x＋3y＝24，B全部满足，故选B.
[点评] 本题用一般解法需先画出可行域，然后通过比较直线3x＋2y＝z的斜率k＝－与不等式组中各直线斜率的大小找出z＝3x＋2y的最小值点．解答过程较复杂，如果注意分析会发现，使z＝3x＋2y最小的最优解一定在选项中，故将各选项代入z＝3x＋2y中按z值从小到大排列，然后检验是否满足不等式组即可找出此最优解，这样解答简便多了．
6[答案] B
[解析] 画出可行域为如图阴影部分．
由，解得A(，)，
∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且zmax＝.
7[答案] 5
[解析] 作出可行域如图，当直线z＝3x＋2y平移到经过点(1,1)时，z最大∴zmax＝5.
8[答案] 25
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．
由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，
则|OA|＝＝5，
|OB|＝＝，
|OC|＝＝.
设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，
则x2＋y2＝()2＝|OP|2，
由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25.
9[答案] －1
[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．
由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(－1,1)时，z取最小值，此时x＝－1，y＝1，则z的最小值是zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1.
10[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润.
11[答案] D
[解析] 不等式组 变形为
，即作出其平面区域如图．
可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．
12[答案] C
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图．
表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BC上时取得最小值0，∴选C.
13[答案] A
[解析] 作出可行域如图所示，
令z＝3x＋4y
∴y＝－x＋
求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．
经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．
∴zmin＝9＋4＝13.
14[答案] 2
[解析] 可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.
15[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.
x、y应满足
即，
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．
16[解析] 设割成的1.8米和1.5米长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5米长的零件12个，就能获得最大利润．
3-3-4同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
2．(2011·桂林中学高二期中)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0C．1≤a≤ D．03．已知变量x、y满足约束条件，则的取值范围是( )
A. B.∪[6，＋∞)
C．[3,6] D．(－∞，3]∪[6，＋∞)
4．若变量x，y满足，则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80
C．70 D．40
5．已知变量x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
6．(2009·安徽)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．(2009·浙江)若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
8．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______．
9．设变量x、y满足约束条件，则目标函数2x＋y的最小值为________．
三、解答题
10．某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t.现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
能力拓展提升
一、选择题
11．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
12．下面给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是( )
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
13．(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A．9 B．3
C. D.
14．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．7 B．5 C．4 D．3
二、填空题
15．图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数k＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
三、解答题
16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
月资金供应量
(百元)
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
*17.已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
[分析] 这是一个不等式问题，似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关，但仔细分析后可发现，本题的实质是：
已知实数a、c满足不等式组，求9a－c的最值；此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．
详解答案
1[答案] C
[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，舍去D，故选C.
2[答案] D
[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．∴03[答案] A
[解析] 由约束条件画出可行域如图，可看作是点(x，y)与原点连线的斜率，
所以∈[kOC，kOA]＝.
4[答案] C
[解析] 由得可行域如图所示．
将l0：3x＋2y＝0在可行域内平行移动，移动到经过B点时，z＝3x＋2y取最大值．
由，得B点坐标为(10,20)，
∴zmax＝3×10＋2×20＝70，故选C.
5[答案] B
[解析] 作出可行域如图，
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z取得最大值，∴zmax＝2×1＋0＝2.
6[答案] C
[解析] 作出可行域如图阴影部分△ABC，
由，得点A坐标为(1,1)，
又B、C两点坐标分别为(0,4)、，
∴S△ABC＝××1＝.
7[答案] 4
[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)，
作直线l0：2x＋3y＝0
当直线l0平移到过点A(2,0)时，2x＋3y取最小值．(2x＋3y)min＝2×2＋0＝4.
8[答案]
[解析] ∵三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，
∴三角形区域在x＋y＋2≥0表示的区域内，同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．故用不等式表示该平面
区域为.
9[答案] －
[解析] 设z＝2x＋y，画出可行域如图，最优解为M，zmin＝－.
10[解析] 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为xt，yt.
则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)t.
仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)t，(8－y)t，[5－(12－x－y)]t，
总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126，
约束条件为
即
作出可行域，如图所示．
作直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，
当直线过A(0,8)时，z＝x－2y＋126取得最小值，
zmin＝0－2×8＋126＝110，
即x＝0，y＝8时，总运费最少．
即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、8t、4t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t、0t、1t，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
[点评] 本题中恰当选取两个未知数，列出线性约束条件是解题的关键，把调给甲、乙、丙三个商店的货物数都是非负数这一隐含限制条件发掘出来，即可获解.
11[答案] B
[解析] 作出可行域如图所示：
由得A(2,1)
∴当x＝2，y＝1时，z最小＝2×2＋3×1＝7，故选B.
[点评] 线性规划命题保持相对稳定，这一部分命题主要方式是：①求最大(小)值．②求平面区域的面积．③求平面区域内的整点．④求字母的值或取值范围．后两种问题有一定难度，但都有规律可循．
12[答案] C
[解析] 把(1,1)代入x＋y－1<0不成立，排除A；
把(－1,1)代入x－y＋1>0不成立，排除B；而(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离为，排除D，故选C.
13[答案] D
[解析] 作出平面区域A如图，当a从－2到1连续变化时，动直线y＝－x＋a从l1变化到l2，扫过A中的那部分平面区域为四边形EOFG，其面积S＝S△OBE－S△FGB＝×2×2－×1×＝.
14[答案] B
[解析] 由选项知m>0，作出可行域如图．目标函数z＝x－y对应直线y＝x－z经过可行域内的点A时，－z取最大值1，从而z取最小值－1.
由，得A(，)，
∴z＝－＝＝－1，∴m＝5.
15[答案] (0,5)
[解析] ∵直线k＝6x＋8y即y＝－x＋的斜率k1＝－＞－1.故经过点(0,5)时．直线的纵截距最大．从而k最大．
16[解析] 设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300,5x＋10y≤110，x、y∈N，即利润z＝6x＋8y.由得
，画图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A(4,9)时，z取最大值，zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．
答：生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．
17[解析] 由已知得
即
目标函数f(3)＝9a－c.令z＝9a－c
作出可行域，如图
由图可知，目标函数z＝9a－c分别在点A、B处取得最值．
由得A(0,1)．
由得B(3,7)．
将两组解分别代入z＝9a－c中得z的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20，
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
3-4-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
2．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是( )
A．2 B．3
C．1 D.
3．设a、b是正实数，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是( )
A．A≥B B．A≤B
C．A＞B D．A＜B
4．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
5．(2009·天津)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
6．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
二、填空题
7．若08．已知a是正实数，x＝，y＝，z＝，则x、y、z从大到小的顺序是__________．
9．设正数a使a2＋a－2＞0成立，t＞0，比较logat与loga的大小，结果为__________．
三、解答题
10．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．
能力拓展提升
一、选择题
11．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
12．已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
13．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
14．已知0＜a＜1,0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy( )
A．无最大值也无最小值 B．无最大值而有最小值
C．有最大值而无最小值 D．有最大值也有最小值
二、填空题
15．已知a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．
*16.设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
三、解答题
17．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
*18.设a、b、c都是正数，求证：a＋，b＋，c＋三个数中至少有一个不小于2.
详解答案
1[答案] B
[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，
又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，
∵1＝a＋b＞2，
∴ab＜，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，
即a2＋b2＞.故选B.
解法2：特值检验法：取a＝，b＝，则
2ab＝，a2＋b2＝，
∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．
2[答案] C
[解析] ∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3＝3－
≤3－2＝1，
等号在5－4x＝，即x＝1时成立，故选C.
3[答案] C
[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，
A2－B2＝(a＋b＋2)－(a＋b)
＝2＞0，∴A2＞B2，
∵A>0，B>0，∴A＞B.
[点评] 可取特值检验．
4[答案] B
[解析] ∵这两年的平均增长率为x
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤，
等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.
5[答案] B
[解析] 根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥4.
当a＝b＝时“＝”成立．故选B.
6[答案] D
[解析] 解法1：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D.
解法2：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
7[答案]
[解析] ∵00，
∴x(1－x)≤[]2＝，
等号在x＝1－x，即x＝时成立，
∴所求最大值为.
8[答案] x>z>y
[解析] ∵a>0，∴2<＋<2
∴>>，即x>z>y.
9[答案] logat≤loga
[解析] ∵a2＋a－2>0，∴a<－2或a>1，
又a>0，∴a>1，
∵t>0，∴≥，∴loga≥loga＝logat.
10[解析] 不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：
l1·G＝l2·a，①
l2·G＝l1·b，②
①×②得G2＝ab，∴G＝，由于l1≠l2，故a≠b，
由均值不等式＞知说法不对，
真实重量是两次称量结果的几何平均数.
11[答案] A
[解析] ∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1
≤－2－1
＝－2－1，
等号在－2x＝，即x＝－时成立．
∴f(x)有最大值．
12[答案] D
[解析] 由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.
13[答案] D
[解析] a＝b时，A不成立；a，b<0时，B、C都不成立，故选D.
[点评] 对于D选项，∵ab>0，∴>0，∴＋≥2＝2.
14[答案] C
[解析] ∵00，logay>0，
1＝logax·logay≤()2＝[loga(xy)]2
＝(loga)2，
∵0<<1，∴loga>0，∴loga≥1，
∴0<≤a，∴0等号在logax＝logay即x＝y时成立，
∴xy有最大值a2，在x＝y＝a时取得；无最小值，选C.
15[答案] P[解析] 因为a>b>1，所以lga>lgb>0，
所以(lga＋lgb)>，即Q>P，
又因为>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>Q.故P[点评] (1)根据P、Q、R式子的结构，应用重要不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．
(2)若把条件改为1>a>b>0，P、Q、R的大小关系怎样？
16[答案] －2
[解析] ∵(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限的图象上运动，
∴m＋n＝1且m>0，n>0.
∴mn≤2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立．
∴log2m＋log2n＝log2(mn)≤log2＝－2.
∴log2m＋log2n的最大值为－2.
17[解析] 设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，
故有y＝＋100x
≥2＝24 000(元)．
当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．
所以只需每批购入120台，可使资金够用．
18[解析] 假设a＋，b＋，c＋都小于2，即a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则a＋＋b＋＋c＋<6，
当a、b、c都是正数时，
a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6与上式矛盾．
∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
3-4-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25
C．5 D．2
2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50
C．20 D．10
3．设x、y满足x＋4y＝40，且x，y都是正数，则lgx＋lgy的最大值为( )
A．40 B．10
C．4 D．2
4．实数x，y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( )
A．18 B．12
C．2 D.
5．(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末)若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.> B.＋≤1
C.≥2 D.≤
6．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．8
二、填空题
7．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
8．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
9．已知：a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是________．
三、解答题
10．已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
能力拓展提升
一、选择题
11．若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为( )
A．8 B．12
C．16 D．20
12．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
13．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
14．(2009·天津)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
二、填空题
15．已知x，y为正数，且x2＋＝1，则x的最大值是______．
16．一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2千米，则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．
三、解答题
17．设＋≤k对一切x，y∈R＋都成立，求k的最小值．
18．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
详解答案
1[答案] D
[解析] a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D.
2[答案] B
[解析] 由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.
3[答案] D
[解析] ∵x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2＝4∴xy≤100.
∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.等号在x＝4y＝20，即x＝20，y＝5时成立．
4[答案] A
[解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y
≥2＝2＝2＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．
∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
5[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，
∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D.
[点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤.
6[答案] B
[解析] ∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，
等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.
7[答案] 6 4
[解析] 设两数为x，y，即4x＋9y＝60.
＋＝(＋)·
＝(13＋＋)
≥(13＋2)＝×(13＋12)＝.当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时等号成立，故应填6和4.
8[答案] 4
[解析] ∵a>0，∴(x＋y)(＋)
＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，
由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.
9[答案] ab≥xy
[解析] ab＝ab·(＋)＝a＋b≥2，
∴ab≥4，等号在a＝2，b＝2时成立，
xy≤＝4，等号在x＝y＝2时成立，∴ab≥xy.
10[解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等号在＝即＝时成立，
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，
∴ab＝16.
∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
11[答案] C
[解析] ∵圆心(－4，－1)在所给直线上，
∴4a＋b＝1.
∴＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋
≥8＋2＝16.
等号在＝，即a＝，b＝时成立，故选C.
12[答案] D
[解析] ∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．
∴＝·
＝·＝
＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.
13[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4 (等号在a＝b＝时成立)．
故所求最小值为4，选D.
14[答案] C
[解析] ∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，
又a＋b≥2，∴ab≤()2＝3.
∴＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤1.故选C.
15[答案]
[解析] 解法1：∵x2＋＝1，∴y2＝2－2x2.
又x，y∈R＋，
∴x＝＝
＝≤·＝，
等号在2x2＝3－2x2，即x＝，y＝时成立．
解法2 ：∵x＞0，∴x＝·)，
又x2＋(＋)＝(x2＋)＋＝，
≤＝，
∴x≤.
等号在x2＝＋，即y＝，x＝时成立．
即(x)max＝.
16[答案] 8
[解析] 物资全部运到灾区需t＝
＝＋≥8小时，等号成立时，＝，即v＝100.
故最少要用8小时
17[解析] ∵x，y∈R＋时，＋≤k恒成立，即k≥恒成立，令p＝，只要k≥pmax即可，下面求pmax，
∵p2＝≤2(等号在x＝y时成立)
∴p≤，从而k≥.∴k的最小值为.
18[解析] (1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.
3-4-3同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．a，b∈R＋，则，，三个数的大小顺序是( )
A.≤≤ B.≤≤
C.≤≤ D.≤≤
2．(2012·浙江文，9)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
3．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．(2011·山东潍坊一中期末)设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．(2010～2011·福建省福州市高二期中)设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( )
A．a11＝b11 B．a11>b11
C．a116．设a、b是正实数，给出以下不等式：
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，其中恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
二、填空题
7．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
8．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
9．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________．
三、解答题
10．已知：a、b、c同号且互不相等，a＋b＋c＝1，
求证：＋＋>9.
能力拓展提升
一、选择题
11．设a、b、c都是正实数，且a、b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围是( )
A．(0,8] B．(0,10]
C．(0,12] D．(0,16]
12．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是( )
A．RA>RB B．RA＝RB
C．RA13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是( )
A．(0，] B．(0，]
C．(，π] D．(，π]
14．若A＝asin2x＋bcos2x，B＝acos2x＋bsin2x(a、b、x∈R)，则m＝AB，n＝ab，p＝A2＋B2，z＝a2＋b2满足( )
A．m≥n，p≥z B．m≤n，p≤z
C．mn≥pz D．m＋z≥p＋n
二、填空题
15．函数y＝loga(x＋3)－1(a>1，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
三、解答题
16．已知a，b，c∈R＋，求证＋＋≥a＋b＋c.
*17.某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
详解答案
1[答案] C
[解析] 取a＝2，b＝8，则＝5，＝4，＝3.2
∴选C.
比较如下：已知≥，又－
＝＝≥0
∴≥.也可作商比较＝≥1.
2[答案] C
[解析] 本题考查了均值不等式的应用．
由x＋3y＝5xy得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋＋≥2＋＝＋＝5，
当且仅当＝时，得到最小值5.
[点评] 均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵x＋3y＝5xy≥2，∴xy≥，
∴3x＋4y≥2≥2＝，错因是两次等号不能同时取得．
3[答案] D
[解析] 设等比数列的公比为x(x≠0)，则有
S3＝x＋1＋(x≠0)，
∵当x>0时，x＋≥2；x<0时，x＋≤－2，
∴S3＝x＋1＋的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.
4[答案] B
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B.
5[答案] D
[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，
∴a11＝＝≥＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}，{bn}均为常数列，故选D.
6[答案] D
[解析] ∵a、b∈R＋时，a＋b≥2，∴≤1，
∴≤，∴①不恒成立，排除A、B；
∵ab＋≥2>2恒成立，故选D.
7[答案] 1760
[解析] 设水池池底的一边长为 xm，则另一边长为m，则总造价为：
y＝480＋80××2＝480＋320
≥480＋320×2＝1 760.
当且仅当x＝ 即x＝2时，y取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
8[答案] 6
[分析] 此类题一般利用基本不等式转化为的不等式求解．
[解析] ＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.
9[答案] 3
[解析] 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则AB方程为＋＝1，
∵x，y∈R＋，∴1＝＋≥2，
∴xy≤3.
10[解析] 左边＝＋＋＝＋＋
＝1＋＋＋1＋＋＋1＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋3，
∵a＋b＋c＝1且a、b、c同号．∴a>0，b>0，c>0，
∴，，，，，均大于0，又a，b，c互不相等，由基本不等式得＋>2，＋>2，＋>2于是，左边>2＋2＋2＋3＝9，
∴＋＋>9.
11[答案] D
[解析] 解法1：∵a、b都是正实数，且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)·
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝即b＝3a时等号成立，
此时a＝4，b＝12，∴(a＋b)min＝16.
∵a＋b≥c恒成立，∴0解法2：由＋＝1得b＋9a＝ab，
∴(a－1)(b－9)＝9，
又∵＋＝1，a>0，b>0，
∴a>1，b>9，
∴(a－1)(b－9)≤2
∴a＋b≥16，等号在a－1＝b－9＝3时成立，
∴要使a＋b≥c恒成立，应有012[答案] A
[解析] RA＝，RB＝，
RA－RB＝－＝
＝>0，所以RA>RB.
13[答案] B
[解析] ∵a、b、c成等差数列，∴b＝.
∵cosB＝＝
＝
≥＝＝(等号在a＝c时成立)．
又∵y＝cosx在(0，π)内是减函数，∴014[答案] D
[解析] AB＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)
＝ab＋(a－b)2sin2xcos2x≥ab，∴m≥n，
p＝A2＋B2＝(A＋B)2－2AB＝(a＋b)2－2AB，
z＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，∴p≤z，
∴m＋z≥p＋n.
15[答案] 8
[解析] ∵y＝loga(x＋3)－1，恒过点(－2，－1)，
∴A(－2，－1)，又点A在直线上，
∴－2m－n＋1＝0.即2m＋n＝1.
又mn>0，∴m>0，n>0.
而＋＝＋
＝2＋＋2＋≥4＋2＝8.
当n＝，m＝时取“＝”．∴＋的最小值为8.
16[解析] ∵a，b，c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，
＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
17[解析] (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为
3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，则
y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800
＝＋9x＋10809
≥2＋10809＝10989.
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90
＝＋9x＋9729(x≥35)，
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵x2>x1≥35.
∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数．
∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10989，
∴该厂应该接受此优惠条件．
