1-1-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．在△ABC中，a＝10，B＝60°，C＝45°，则c＝( )
A．10＋ B．10(－1)
C．10(＋1) D．10
2．在△ABC中，若AB＝，B＝30°，AC＝1，则△ABC( )
A．无解 B．仅有一解
C．仅有两解 D．无法判断
3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2
B．x<2
C．2
D．24．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是( )
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a5．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
二、填空题
7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．
8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝______.
9．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________.
三、解答题
10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
能力拓展提升
一、选择题
11．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝20，A＝45°，C＝80°
B．a＝30，c＝28，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝12，c＝15，A＝120°
12．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．有一内角为30°的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形
D．等边三角形
13．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
14．(2011·浙江文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
A．－ B.
C. －1 D. 1
二、填空题
15．在△ABC中，a:b:c＝2:4:5，则的值为________．
16．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是________三角形．
三、解答题
17．(2011·石家庄高一检测)在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，求a、A、C.
18．在△ABC中，求证：＝.
[分析] 观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，就完全转化成三角函数的运算了．需注意的是在△ABC的内角三角函数运算中，内角和定理常常是沟通角的桥梁．
详解答案
1[答案] B
[解析] A＝75°，sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，c＝＝＝10(－1)．
2[答案] C
[解析] 如图，AD＝AB·sinB＝sin30°＝<1<，
∴此三角形有两解．
3[答案] C
[解析] 由题设条件可知
，∴24[答案] D
[解析] 由正弦定理得，＝，∴a＝，
在△ABC中，05[答案] D
[解析] c＝ ＝，B＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，
∴S△ABC＝acsinB＝.
6[答案] D
[解析] 由正弦定理得：
sin2A·＝sin2B·
∴sinAcosA＝sinBcosB.
∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝.
7[答案] 2cm
[解析] ∵＝2R，
∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm)．
8[答案] 2
[解析] C＝180°－105°－45°＝30°.
根据正弦定理＝可知
＝，解得c＝2.
9[答案] 36－12
[解析] 由正弦定理得，＝，
解之得a＝36－12.
10[解析] ∵A、B、C是三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)，
∴sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinBcosC.
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin(B－C)＝0，
又∵0∴－π又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，
∴△ABC是等腰直角三角形.
能力拓展
11[答案] C
[解析] 解法一：A中已知两角及一边有唯一解；B中已知两边及夹角，有唯一解；C中，bsinA＝8<14＝a解法二：由a＝14，b＝16，A＝45°及正弦定理得，＝，所以sinB＝，因为a[点评] 由正弦定理确定三角形的边角时，要注意大角对大边等性质的限制作用．既不能漏解，也不能多解．
12[答案] B
[解析] 由正弦定理得，＝＝＝1，
∴sin(A－B)＝0，∵A、B为△ABC的内角，∴A＝B，
由＝＝得sinB＝cosB，∴B＝45°，
∴A＝B＝45°.
13[答案] C
[解析] ∵k1＝－，k2＝，∴k1·k2＝－1，
∴两直线垂直．
14[答案] D
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
15[答案] －
[解析] ∵a:b:c＝2:4:5，∴b＝2a，c＝a.
由正弦定理得sinB＝2sinA，sinC＝sinA，
∴＝＝－.
[点评] 应用正弦定理解题时，可以化边为角，也可以化角为边．本题中，∵a?b?c＝2?4?5，∴b＝2a，c＝a，将待求式应用正弦定理变形，＝＝＝－.
16[答案] 等边
[解析] 由正弦定理得，＝＝，
∴sin＝sin＝sin，
∵0∴＝＝，∴A＝B＝C.
17[解析] 由正弦定理得，
sinC＝＝＝，
由c∴A＝180°－30°－45°＝105°，
再由正弦定理得，
a＝＝＝，
所以a＝，A＝105°，C＝30°.
18[解析] ＝
＝
＝
＝＝＝.
∴原等式得证．
1-1-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
2．在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是( )
A．无解 B．一解
C．两解 D．不能确定
3．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
4．在钝角三角形ABC中，若sinAA．cosA·cosC>0 B．cosB·cosC>0
C．cosA·cosB>0 D．cosA·cosB·cosC>0
5．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A. B.
C. D.或
6．钝角三角形的三边为a、a＋1、a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是( )
A．0C．2二、填空题
7．(2011·德州高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝________.
8．在△ABC中，已知sinA＝2cosB·sinC，则三角形的形状为__________．
9．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________．
三、解答题
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：
(1)角C的度数；
(2)AB的长度．
能力拓展提升
一、选择题
11．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
12．(2010～2011·福建福州高二期中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若＝＝，则△ABC是( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
14．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形，但不是等边三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
二、填空题
15．(2012·陕西文，13)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.
16．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．
三、解答题
17．在△ABC中，已知AB＝10，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C.
*18.在四边形ABCD中，已知BC＝a，DC＝2a，四个内角A、B、C、D的度数之比为3:7:4:10，求AB的长．
备选题库
1．在△ABC中，C＝60°，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则＋＝________.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.
3．在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，则a、c的长分别为________．
4．(2011·营口高二检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
详解答案
1[答案] C
[解析] cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
2[答案] B
[解析] 已知两边和夹角，三角形唯一确定．
3[答案] B
[解析] ∵c2∵a4[答案] C
[解析] 由正弦定理得，a∴角C为钝角，∴cosC<0，cosA>0，cosB>0.
5[答案] C
[解析] a2＝b2＋c2＋bc变形为＝－，
∴cosA＝－，∴A＝.
6[答案] B
[分析] 钝角三角形最大角α不超过120°，则90°<α≤120°，∴－≤cosα<0.
[解析] ∵三角形为钝角三角形，最大边长为a＋2，则
，
解得：≤a<3，故选B.
7[答案] 60°
[解析] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴(b＋c)2－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
8[答案] 等腰三角形
[解析] 由正弦定理得sinA＝，sinC＝；由余弦定理得cosB＝.
所以a＝2··c，即b2＝c2.
所以b＝c.因此三角形为等腰三角形．
9[答案] 3,5,7
[解析] ∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，
∴最大角为A.sinA＝，∴cosA＝±，
设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，
∴＝±，
∵x>0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.
10[解析] (1)cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
∴C＝120°.
(2)由题设： ，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝b2＋a2－2abcos120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10，
∴AB＝.
11[答案] D
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，
故选D.
12[答案] A
[解析] 由正弦定理及条件式可得＝＝(*)
由＝得，sin(A－B)＝0，
∵0∴A－B＝0，同理B－C＝0，∴A＝B＝C.
[点评] (*)式即tanA＝tanB＝tanC，∵013[答案] D
[解析] 依题意得，·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D.
14[答案] A
[解析] ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，
∴C＝60°.
又sinC＝2sinAcosB，
∴sin(A＋B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴A＝B＝C＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
15[答案] 2
[解析] 本题考查了余弦定理的应用
由b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2×＝4，可得b＝2.
[点评] 在解三角形时，一般具备两边及其夹角这一条件时，应用余弦定理来解决．
16[答案]
[解析] ∵bccosA＋cacosB＋abcosC＝＋＋＝＝.
17[解析] 由正弦定理得sinC＝＝，
(1)当BC＝20时，sinC＝，
∵BC>AB，∴A>C，∴C＝30°.
(2)当BC＝时，sinC＝，
∵AB·sin45°∴C有两解，∴C＝60°或120°，
(3)当BC＝5时，sinC＝2>1，∴C不存在．
18[解析] 设四个角A、B、C、D的度数依次为3x,7x,4x,10x
则3x＋7x＋4x＋10x＝360°，∴x＝15°，
∴A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°.
在△BCD中，由余弦定理：
BD2＝a2＋(2a)2－2×a×2acos60°＝3a2，
∴BD＝a.
此时有DC2＝BD2＋BC2，∴△BCD为直角三角形，∠CDB＝30°，∴∠ADB＝120°.
在△ABD中，由正弦定理：AB＝＝＝.
备选题库
1[答案] 1
[解析] ∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴a2＋b2＝ab＋c2，
等式两边都加上ac＋bc，整理得
(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，
∴＋＝＝1.
2[答案]
[解析] 由正弦定理得(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
即sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，故cosA＝.
3[答案] ，
[解析] 由正弦定理得：＝
∵A＝2C，∴＝，即＝，
∴cosC＝.①
又由已知a＋c＝8＝2b及余弦定理知：
cosC＝＝
＝＝，②
由①②可知：＝，整理得：
(2a－3c)(a－c)＝0，
∵A>B>C，∴a≠c，∴2a＝3c.
又∵a＋c＝8，∴a＝，c＝.
4[解析] (1)根据正弦定理
2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为
2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°(2)由余弦定理得：
7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入得bc＝3.
1-1-3同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
3．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．24．已知△ABC的周长为7.5 cm，且sinA?sinB?sinC＝4?5?6，下列结论：
①a?b?c＝4?5?6
②a?b?c＝2??
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
④A?B?C＝4?5?6
其中成立的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．(2010～2011·山东临清高二期中)△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC等于( )
A. B. C. D.
6．(2010～2011·山东苍山高二期中)在△ABC中，若＝，则角B等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
二、填空题
7．(2011·新课标全国文，15)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
8．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边上的中线长为，那么边BC的长为__________．
9．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝__________.
三、解答题
10．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．
能力拓展提升
一、选择题
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，且c＝2a，则cosB等于( )
A. B. C. D.
12．(2011·四川文，8)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
13．在△ABC中，sinB＝，cosA＝，则cosC的值为( )
A. B. C. D．－
14．△ABC中，下列结论：①a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则a:b:c＝1:2:3，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
15．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．
三、解答题
16．已知△ABC的三内角A、B、C满足B＝，三边a、b、c满足b2＝ac.求证：a＝c.
17．(2009·全国Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.
*18.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．
备选题库
1．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( )
A．1C.2．在△ABC中，sinA＝，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
3．在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，试判断△ABC的形状．
4．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
详解答案
1[答案] B
[解析] ∵3＝×4×3sinC，
∴sinC＝，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C＝60°，故选B.
2[答案] B
[解析] ∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3[答案] C
[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°即x<24[答案] C
[解析] 由正弦定理知a?b?c＝4?5?6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3 ∴③对，∴选C.
5[答案] B
[解析] 由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sinB＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理得＝，∴sinC＝.
6[答案] B
[解析] 由正弦定理知＝，∵＝，
∴sinB＝cosB，∵0°7[答案]
[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝×5×3×sin120°＝.
8[答案] 9
[解析] 设BC中点为D，延长AD到E，使DE＝AD，则△ABD≌△ECD，
∴cos∠BAD＝cos∠AEC＝＝，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝，
∴BD＝
∴BC＝9.
9[答案] 2
[解析] 在△ABC中，∵sinC＝＝，a＝3，S△ABC＝absinC＝4，∴b＝2.
10[解析] ∵A＋C＝，∴＝180°，∴B＝120°.由S△ABC＝acsinB＝ac＝15得：ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)
＝(30－b)2－60得b＝14，∴a＋c＝16，
∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．
所以或 ，
∴该三角形各边长为14,10和6.
11[答案] B
[解析] 因为b2＝ac，且c＝2a，
由余弦定理得cosB＝＝＝.
12[答案] C
[解析] 设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得，()2≤()2＋()2－·.
即a2≤b2＋c2－bc，
∴bc≤b2＋c2－a2，
∴cosA＝≥，
故A∈(0，]．
13[答案] B
[解析] sinA＝＝>＝sinB，∴A>B，∴B为锐角．∴cosB＝.cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝，∴选B.
14[答案] A
[解析] ①cosA＝<0，∴∠A为钝角，正确；
②cosA＝＝－，∴∠A＝120°，错误；
③cosC＝>0，∠C为锐角，但∠A与∠B不一定为锐角，错误；
④∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°时，
A:b:c＝1::2≠1:2:3，错误．
15[答案] 1
[解析] 如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，
设AD＝DC＝x，在△ABD中，
cos∠ADB＝＝，
在△BDC中，cos∠BDC＝＝，
∵∠ADB与∠BDC互补，
∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，
∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.
16[证明] ∵2B＝A＋C，∴B＝60°，
设A＝60°＋x，C＝60°－x，(0°≤x<60°)
∵b2＝ac，∴sin2B＝sinA·sinC
＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)
＝cos2x－sin2x＝－sin2x，又sin2B＝，
∴sin2x＝0，∴x＝0°，即A＝C，∴a＝c.
17[解析] 由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA，
又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2①
由正弦定理得＝，
又由已知得＝4cosA，所以b＝4ccosA.②
故由①，②解得b＝4.
18[解析] 已知等式可化为a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]，
∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA※
由正弦定理得，sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，
∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，
∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π得，
2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，
即△ABC为等腰或直角三角形．
[点评] 得到※式后也可用正、余弦定理化角为边推证a＝b或a2＋b2＝c2.
1[答案] C
[解析] 由锐角三角形及余弦定理知：
??2[答案] B
[解析] ∵＝，
∴由正、余弦定理可得
＝，
整理得b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．
∴(b＋c)a2＝b3＋c3＋bc(b＋c)．
∴a2＝b2－bc＋c2＋bc，即a2＝b2＋c2.
∴△ABC为直角三角形．
3[解析] 法一：在△ABC中，cos2＝，
∴＝＋，∴cosA＝.
又由余弦定理知cosA＝，
∴＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2，∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是以C为直角的直角三角形．
法二：由解法一知cosA＝，
由正弦定理得cosA＝.
又∵A＋B＋C＝180°，∴sinCcosA＝sin(A＋C)，
∴sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinAcosC＝0，
∵A、C是△ABC的内角，∴sinA≠0.
∴只有cosC＝0，∴C＝90°，
∴△ABC是以C为直角的直角三角形．
4[解析] (1)由sin(C－A)＝1，－π又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝，
即2A＝－B,0故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理得，BC＝＝3.
∴S△ABC＝·AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA
＝3.
1-2-1同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A. B．2
C．2或 D．3
2．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，在下列四组数据中，考虑实际操作的可能性，测量时应当选用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是( )
A. B．2
C. D．2
4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
5．已知△ABC中，a＝、b＝、B＝60°，那么角A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
二、填空题
7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km.
8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________．
9.
(2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午8?00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8?30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
三、解答题
10．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
能力拓展提升
一、选择题
11．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为( )
A．500m B．600m
C．700m D．800m
12．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )
A．100m B．100m
C．50(＋)m D．200m
13．(2010～2011·山东临清高二期中)已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km，则A，B两船的距离为( )
A．2km B．3km
C.km D.km
14．(2010～2011·宁夏银川一中高二期中)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a＝b，A＝2B，若cosB＝( )
A. B.
C. D.
二、填空题
15．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
16．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B点，在B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．
三、解答题
17.
如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
[分析] 由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．
*18.如图，已知∠MON＝60°，Q是∠MON内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求点O到Q的距离．
备选题库
1．(2011·北京模拟)若E、F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝________.
2．如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．
详解答案
1[答案] C
[解析] 由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，
由余弦定理cos30°＝，∴x＝2或.
2[答案] C
[解析] 由于受障碍物影响，从A观察B或从B观察A，均不方便，故角α，β不便测量，因此应当选择数据a，b，γ来进行测量．
3[答案] B
[解析] 解法1：作AB边上的高CD，设BD＝x，则AD＝6－x，于是CD2＝9－x2＝25－(6－x)2，所以x＝，CD＝，S△ABC＝AB·CD＝2.
解法2：由余弦定理cosA＝＝，
∴sinA＝，∴S△ABC＝bcsinA＝2.
4[答案] B
[解析] ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．
5[答案] C
[解析] 由正弦定理得，＝，
∴sinA＝＝＝，
又∵a6[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(海里/小时)．
7[答案] 10
[解析] AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝102＋202－2×10×20cos120°＝700，∴AC＝10.
8[答案] 60m
[解析] 过C作CD⊥AB，垂足为D，∵△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120，∴河宽CD＝AC·sin∠CAB＝120×＝60.
9[答案] 16
[解析] 在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，
∴∠ASB＝45°，
∵BS＝4，＝，
∴AB＝＝＝8，
∵上午8?00在A地，8?30在B地，
∴航行0.5小时的路程为8n mile，
∴此船的航速为16n mile/h.
10[解析] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，AC＝DC＝.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∴＝，∴BC＝.
在△ABC中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos45°
＝＋－2×××＝，
∴AB＝.∴A、B两点间距离为 km.
11[答案] C
[解析] 根据题意画出图形如图．
在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝3002＋5002－2×300×500×(－)
＝490000，∴AB＝700(m)．
12[答案] A
[解析] 如图，由条件知，
AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)
＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)
＝25(＋)，
CD＝100cos75°＝25(－)，
BD＝＝＝25(3＋)．
∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)
＝100(m)．
13[答案] D
[解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，
∴AB＝.
14[答案] B
[解析] 由正弦定理及条件a＝b，A＝2B得，sinA＝sinB，sinA＝sin2B，∴sinB＝2sinB·cosB，
∵sinB≠0，∴cosB＝.
15[答案] 5.2
[解析] 作出示意图如图．由题意知，
则AB＝24×＝6，
∠ASB＝35°，由正弦定理＝，
可得BS≈5.2(km)．
16[答案]
[解析] 如图，∠CAB＝45°－30°＝15°，
∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×＝15，
∴BC＝＝，
∵sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，
∴BC＝(－1)(海里)．
17[解析] 在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝＝CD.
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，
∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝＝CD
＝1 000(m)．
18[解析] 设QA，QB分别是Q点到两边OM、ON的距离．则QA＝2，QB＝11，并且A和B都在以OQ为直径的圆上．
∵∠AOB＝60°，∴∠AQB＝120°.
连结AB，在△AQB中，由余弦定理得，
AB2＝AQ2＋BQ2－2AQ·BQ·cos∠AQB
＝22＋112－2×2×11×(－)＝147，
∴AB＝7.
在Rt△OBQ中，
OQ＝＝.
在△AOB中，＝，
∴OQ＝＝14.
1[答案]
[解析] 过C作CD⊥AB于点D，则D为AB、EF中点．
设ED＝1，则DF＝1，CD＝AD＝BD＝3，
tan∠ECD＝，
tan∠ECF＝tan2∠ECD＝＝.
2[解析] 在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.
∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．
1-2-2同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A．20(1＋)m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
2．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
3．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )
A.km B.km
C.km D.km
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为( )
A．20m B．30m
C．40m D．60m
5．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500m B．200m
C．1000m D．1000m
6．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A、B间距离是35 m，则此电视塔的高度是( )
A．5m B．10m
C.m D．35m
二、填空题
7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
8．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．
9．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
三、解答题
10．如图所示，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1，D1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C，D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)
能力拓展提升
一、选择题
11．(2011·福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )
A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cosC＝
C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45°
12．(2011·重庆理，6)若△ABC的内角A 、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
13．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．10m B．100m
C．20m D．30m
二、填空题
14．某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D地，此时CD距离为21千米，则此人还需走________千米才能到达A城．
15．如图，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，则梯形的高为__________．
三、解答题
16．地平面上一旗杆OP，为测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝200 m，在A处测得旗杆顶P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.
17．某人在塔的正东沿着南60°西的方向前进40 m以后望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．(精确到0.01米)
备选题库
1．(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．
详解答案
1[答案] B
[解析] 作出示意图如图，则AO＝OC＝20.
∴BO＝AOtan60°＝20.
∴塔吊高为BC＝BO＋OC＝20(1＋)(m)
2[答案] A
[解析] 不妨设Rt△ABC中，c为斜边，并且c>a≥b>0，c2＝a2＋b2各边都增加长度x(x>0)后，有：
(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝(a2＋b2－c2)＋x2＋2x(a＋b－c)＝x[x＋2(a＋b－c)]，
∵a＋b>c，x>0，∴x[x＋2(a＋b－c)]>0，
∴(a＋x)2＋(b＋x)2>(c＋x)2，
∴最长边c＋x对的角为锐角．
3[答案] B
[解析] 由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.
4[答案] C
[解析] 设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，
∴AB＝OA－OB＝40.
5[答案] D
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝
＝1000，
∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1000(m)．
6[答案] A
[解析] 作出示意图，设塔高OC为h m，
在Rt△AOC中，OA＝hcot60°＝h，OB＝h.
AB＝35，∠AOB＝150°，由余弦定理得352＝(h)2＋h2－2×h·hcos150°，
解得h＝5.
7[答案] 30
[解析] 如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．
8[答案] 20米，米
[解析] 如图，依题意有甲楼的高度AB＝20·tan60°＝20(米)，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·cot60°＝米，
故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．
9[答案] 30°
[解析] 如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，
∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，
cos∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.
10[解析] 在△BC1D1中，∠BD1C1＝120°，∠C1BD1＝15°.由正弦定理＝，
∴BC1＝＝18＋6，∴A1B＝BC1＝18＋6，则AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)．
11[答案] D
[解析] ∵≠，∴A错；
∵cosC＝＝≠，∴B错；
∵＝＝≠cos60°，∴C错，
故选D.
12[答案] A
[解析] 在△ABC中，C＝60°，
∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，
∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，
∴ab＝，选A.
13[答案] D
[解析] 设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，
∴BC＝30.
14[答案] 15
[解析] 如图，设AD＝x，AC＝y.∵∠BAC＝20°＋40°＝60°，∴在△ACD中，有x2＋y2－2xycos60°＝212，即x2＋y2－xy＝441，①
而在△ABC中，(x＋20)2＋y2－2(x＋20)ycos60°＝312，
即x2＋y2－xy＋40x－20y＝561，②
②－①得y＝2x－6，代入①得x2－6x－135＝0，
解得x＝15(千米)，即此人还需走15千米才能到达A城．
15[答案]
[解析] 解法1：∵∠BAD＝60°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝120°.
∵CD＝2，AC＝，
∴＝，∴sin∠CAD＝.
∴sin∠ACD＝sin(60°－∠CAD)＝.
∴AD＝＝＝3.
∴h＝AD·sin60°＝.
解法2：在△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos120°，
∴AD2＋2AD－15＝0.
∴AD＝3 (AD＝－5舍去)．∴h＝ADsin60°＝.
16[解析] 如图OP＝h，∠OAP＝30°，
∠OBP＝45°
∠AOB＝60°，AB＝200
∴AO＝OPcot30°＝h，
OB＝OP＝h，
在△OAB中，由余弦定理得：
40 000＝3h2＋h2－2h2cos60°，
∴h＝(m)．
17[解析] 如图，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，
∴∠BDC＝15°
在△DBC中，由正弦定理得DB＝20，
在CD上任一点E处望塔顶的仰角为∠AEB.∵AB一定∴欲使∠AEB最大，则BE最小，∴BE为点B到直线CD的距离，即BE⊥CD.且∠AEB＝30°，在Rt△DBE中，BE＝DB·sin15°＝10－10，在Rt△AEB中，AB＝BE·tan30°＝10－≈4.2(m)．
1[解析] 在△ADC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA，
在△ABC中，＝，
即AB＝＝，
因此，BD＝≈0.33km.
故B，D的距离约为0.33km.
1-2-3同步检测
基础巩固强化
一、选择题
1．已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，A为锐角，△ABC的面积为6，则·的值为( )
A．16 B．－6
C．9 D．0
2．(2011·德州高二检测)一艘客船上午9?30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10?00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8n mile，则灯塔S在B处的( )
A．北偏东75°
B．南偏东15°
C．北偏东75°或南偏东15°
D．以上方位都不对
3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )
A．3和5 B．4和6
C．6和8 D．5和7
4．△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(2011·绵阳检测)甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A.分钟 B.小时
C．21.5分钟 D．2.15分钟
6．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )
A．2 500(－1)米 B．5 000米
C．4 000米 D．4 000米
二、填空题
7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.则BD的长为________．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分线交过A的与BC平行的直线于D，则△ABD的面积为________．
9．直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h速度由A向B行驶，同时摩托车以50km的时速由B向C行驶，则运动开始约__________小时后，两车的距离最小．(精确到0.01)
三、解答题
10．在△ABC中，C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16.
(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．
(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出最大值．
(3)当a等于多少时，周长l有最小值？并求出最小值．
能力拓展提升
一、选择题
11．(2010～2011·河南汤阴县高二期中)一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )
A．10n mile B．10n mile
C．15n mile D．20n mile
12．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，则a的值为( )
A．1 B. C．3 D.
13．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.n mile/h B．34n mile/h
C.n mile/h D．34n mile/h
14．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，则AC的长为( )
A. B．2 C. D.
二、填空题
15．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
三、解答题
16．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝.求
(1)的值．
(2)△ABC的内切圆的半径长．
17．(2012·山东文，17)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
*18.在某海滨城市附近海面有一台风形成，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cosθ＝)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？
备选题库
1．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为( )
A．2km B．6km
C．2km D．8km
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
3．在△ABC中，c＝2，a>b，C＝，且有tanA·tanB＝6，求a、b及三角形的面积．
[分析] 已知C，可得A＋B，进而可由tan(A＋B)和tanA·tanB求得tanA＋tanB.从而得tanA和tanB，只要求出sinA，sinB，则a，b可求．
详解答案
1[答案] D
[解析] 由S△ABC＝AB·AC·sinA＝×4×5·sinA＝10sinA＝6得，sinA＝，
∵A为锐角，∴cosA＝，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA
＝16＋25－40×＝9，∴BC＝3，，
∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠B为直角，
∴·＝0，故选D.
2[答案] C
[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×＝16n mile，∴AB＝16，
又BS＝8，∠BAS＝30°，
由正弦定理得＝，
∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或135°，
当∠ASB＝45°时，∠B′BS＝75°，
当∠ASB＝135°时，∠AB′S＝15°，故选C.
3[答案] D
[解析] 设夹角为A，∵cosA＝，∴sinA＝，
S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，
又b－c＝2，∴b＝7，a＝5.
4[答案] C
[解析] 由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，
∴bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc
＝(20－a)2－120.
∴a＝7.
5[答案] A
[解析] 如图，设航行t小时后，甲船到达C点，乙船到达D点，问题即求CD最小时t的值．
由题设：∠DBC＝120°，BD＝6t.BC＝10－4t，
由余弦定理CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos120°
＝(10－4t)2＋36t2＋6t(10－4t)＝4(7t2－5t＋25)
∵，∴06[答案] A
[解析] 示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，
∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.
由正弦定理＝，又cos75°＝，
∴BD＝·cos75°＝2 500(－1)(米)．
7[答案]
[分析] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定∠BAD即可．
[解析] 在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.
由正弦定理得，＝，
∴sin∠ABC＝＝＝.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是
sin∠BAD＝sin∠ABC＝.
在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，解得BD＝.
8[答案] 3
[解析] 在△ABC中，由余弦定理得，
cosC＝＝＝，
∴sinC＝.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∴sin∠ABC＝sinC＝.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，
∴sin∠BAD＝sin∠ABC＝.
∵BD为∠ABC的平分线，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠ADB.∴AD＝AB＝3.
∴S△ABD＝AB·ADsin∠BAD
＝×3×3×＝3.
9[答案] 1.63
[解析] 设t小时后，汽车由A运动到D，摩托车由B运动到E，则AD＝80t，BE＝50t，∵AB＝200，∴BD＝200－80t.问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得：
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t＝12 900t2－42 000t＋40 000
当t＝≈1.63时，DE最小．因此应填1.63.
10[解析] (1)a＋b＝16，∴b＝16－a.
∴S△ABC＝absinC＝a(16－a)sin60°
＝(16a－a2)
＝－(a－8)2＋16(0(2)当a＝8时S有最大值16.
(3)l＝a＋b＋
＝16＋
＝16＋.
∴当a＝8时，周长l有最小值24.
11[答案] C
[解析]
如图，由条件知，∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝65°＋(90°－
50°)＝105°，
∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°，AB＝30，
由正弦定理得，＝，
∴BC＝＝＝15，故选C.
12[答案] B
[解析] ＝bcsinA＝b，∴b＝1，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝.
13[答案] A
[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．
14[答案] B
[解析] 如图，连结AC，设∠BAC＝α，则AC·cosα＝4，
AC·cos(60°－α)＝5，
两式相除得，＝，
展开解得，tanα＝，∵α为锐角，∴cosα＝，
∴AC＝＝2.
15[答案] 北偏东30°
[解析]
如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
16[解析] (1)∵S△ABC＝bcsinA＝c·＝，
∴c＝4.
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8×
＝13，∴a＝.
由正弦定理得＝＝，故有
＝＝＝.
(2)设△ABC的内切圆圆心为M，连结MA、MB、MC，那么S△ABC＝S△MAB＋S△MAC＋S△MBC.
又点M到三边的距离均等于内切圆半径r.
∴S△ABC＝(a＋b＋c)·r
＝(5＋)·r＝.∴r＝－.
17[解析] (1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，
所以sinB(＋)＝·，
因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，
所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sinB，
因此sin2B＝sinAsinC.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)解：因为a＝1，c＝2，所以b＝，
由余弦定理得cosB＝＝＝，
因为0故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
[点评] 本题综合考查了正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、等比数列定义、三角形面积公式、同角三角函数基本关系式等．
18[解析] 设经过th台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城．∴OQ＝60＋10t.
由题意可得OP＝300，
PQ＝20t，
因为cosθ＝，α＝θ－45°，
所以sinθ＝，
cosα＝cosθcos45°＋sinθsin45°
＝×＋×＝.
由余弦定理可得OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cosα，即(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2·300·20t·，
即t2－36t＋288＝0.
解得t1＝12，t2＝24.t2－t1＝12.
答：12h后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有12h.
1[答案] B
[解析] v实＝＝2.
所以实际航程为2×＝6(km)．
2[解析] (1)因为cos＝，
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3得，bccosA＝3，所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsinA＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，
所以a＝2.
3[解析] ∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＝－tanC·(1－tanAtanB)＝5，∵a>b，∴A>B，又tanA·tanB＝6>0.
∴tanA>tanB，由可得：tanA＝3，tanB＝2，∴sinA＝，sinB＝.
由正弦定理，得a＝＝＝，
b＝＝＝.
∴S△ABC＝absinC
＝···sin＝.
