苏教版高中数学必修第一册（新教材新标准）培优课 集合中的创新问题 学案

培优课　集合中的创新问题
集合中的创新问题主要体现在(1)集合中的新定义问题；(2)集合中的新运算问题；(3)集合中的新性质问题.对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点.此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托.解决集合中的创新问题的着手点：(1)正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；(2)合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明.
类型一　创新集合新定义
【例1】　(1)若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A；
②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
其中，正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”.则(　　)
A.{1，3，4}为“权集”
B.{1，2，3，6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2 B这与－2∈B矛盾；②有理数集Q是“好集”.因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
(2)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误.
类型二　创新集合新运算
【例2】　(1)定义集合运算：A B＝{z|z＝(x＋y)(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A B的真子集个数为(　　)
A.8 B.7 C.16 D.15
(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)
A.15 B.16 C.20 D.21
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由题意A＝{，}，B＝{1，}，则A B有(＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝0，(＋1)(－1)＝2，(＋)(－)＝1四种结果，由集合中元素互异性可知集合A B中有3个元素，故集合A B中的真子集个数为23－1＝7.
(2)由题意A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
故当x1＝0时，x2＝1，3，此时x＝1，3；
当x1＝1时，x2＝1，3，此时x＝2，4；
当x1＝2时，x2＝1，3，此时x＝3，5；
当x1＝3时，x2＝1，3，此时x＝4，6.
由集合元素互异性可知
A*B＝{1，2，3，4，5，6}，故所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.
类型三　创新集合新性质
【例3】　若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}.
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________.
答案　②④
解析　①因为{a}∪{c}＝{a，c} τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c} τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的定义.
尝试训练
1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A.3 B.6 C.8 D.10
答案　D
解析　因为A＝{1，2，3，4，5}，所以A中元素都为正数.若x－y∈A，必有x－y＞0，即x＞y.
当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；
当y＝4时，x可取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值.
综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10.
2.如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A＝{2x，0，x2＋x}且A是“对称集合”，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
答案　{0，6}
解析　由题意可知－2x＝x2＋x，∴x＝0或x＝－3.
而当x＝0时，不符合元素互异性，舍去；
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}.
∴A∩B＝{0，6}.
3.已知A，B是非空集合，若a∈A，b∈B，且满足|a－b|∈A∪B，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”.若A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，则集合A，B的“基因元”的对数是________.
答案　13
解析　∵A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，∴2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A，B中的“基因元”，共13对.