苏科版八年级上册数学 6.4用一次函数解决问题 教案

6.4用一次函数解决问题
教学目标
1.根据给定的信息建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题。
2.结合一次函数的图像与性质求解，进一步感受“数形结合”的思想方法——从一次函数图像中读取信息。
3.通过对具体问题的分析，让学生感受数学在现实生活中的意义，增强应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
教学重点
根据给定的信息建立一次函数模型。
教学难点
灵活运用一次函数数学模型解决实际问题。
教学过程
1．情境创设
前面，我们已经学习了一次函数的概念、图像与性质，今天我们一起探究如何用一次函数的相关知识解决实际问题。
考查用一次函数的相关知识解决实际问题时，常常会出现与图形信息相关的问题。今天，我们就将深入研究这一问题。
二．探究新知
例：小明乘汽车从相距90千米的甲地前往乙地送文件，到达乙地停留一段时间后返回甲地。如图是小明与甲地的距离y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象。
（一）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
分析：1. 先明确横纵坐标所表示的实际意义。
2.从图中，你还能读出哪些信息？
解：方法一：待定系数法求函数关系式
设OA的函数关系式：y=k1x
把A（1,90）代入得，k1=90
∴OA：y=90x
设BC的函数关系式：y=k2x+b
把B（1.5,90）、C（3,0）代入
得 1.5k2+b=90 解得 k2= -60
3k2+b=0 ， b=180
∴BC：y= -60x+180
综上， 90x 0 ≤x ≤1
y= 90 1＜x≤1.5
-60x+180 1.5方法二：根据题意直接写出函数关系式
由图可知OA段速度为90÷1=90km/h，
BC段速度为90÷（3-1.5）=60km/h。
由题意得 90x 0 ≤x ≤1
y= 90 1＜x≤1.5
90-60（x-1.5）1.5＜x ≤3
即 90x 0 ≤x ≤1
y= 90 1＜x≤1.5
-60x+180 1.5＜x ≤3
小结：
1.在读图的时候，要先明确横纵坐标所表示的实际意义，并找关键点，领会题目想要传达给我们的信息。
2.直线对应一次函数，设y=kx+b；当直线过原点时，对应正比例函数，设y=kx，建立模型，用数学知识解决实际问题。看图找点，见形想式，建模求解。
3.在路程与时间的函数图像中，速度越快，变化越急，对应直线越陡。反映在函数关系式上，k的绝对值即为小明的速度。
（二）出发多长时间，小明与甲地的距离是72千米？
分析：小明与甲地的距离是72千米，即y=72，代入对应的函数关系式即可。
解：把y=72代入y=90x得，
90x=72，x=0.8
把y=72代入y=-60x+180得，
-60x+180=72，x=1.8
∴出发0.8或1.8小时后，
小明与甲地的距离是72千米。
思考：小明两次经过距甲地72千米处，相隔多长时间？（1.8-0.8=1小时。）
小结：
已知小明的位置，可以确定时间，以及两次经过同一地点相隔的时间。
(3)若小明两次经过同一地点的时间相差1.2小时，求该点与甲地的距离是多少？
方法一：
分析：抓住两次时间相差1.2小时这一特点，设第一次经过时，对应时间为t小时，则第二次经过时，对应时间为（t+1.2）小时。
解：设第一次经过时，对应时间为t小时，
则第二次经过时，对应时间为（t+1.2）小时
把x=t代入y=90x得：y=90t ①
把x=t+1.2代入y=-60x+180得：
y=-60（t+1.2）+180 ②
1 ②联立得： t=0.72
y=64.8
∴该地与甲地的距离为64.8千米。
方法二：（本方法由学生课堂生成，课后补充进教学设计）
分析：利用相似三角形的对应高之比等于对应边的比，建立方程，从而求解。用几何知识解决代数问题。
解：设两次经过这一地点，在图像上对应点D、E，
延长OA、CB交于点M，作MG⊥DE于点G，交AB于点F
则AB=1.5-1=0.5，DE=1.2
联立 y=90x 解得 x=1.2
y=-60x+180， y=108
∴M（1.2，108），MF=108-90=18
由题可知△MAB相似于△MDE，
∴ ， ，FG=25.2
∴该地与甲地的距离为90-25.2=64.8千米。
方法三：（本方法由学生课堂生成，课后补充进教学设计）
分析：路程一定的情况下，速度与时间成反比。速度比是3：2，时间比是2：3。
解：在路程一定的情况下，速度与时间成反比
∵由（1）知DA段与BE段的速度之比为3：2，
∴DA段与BE段的时间之比为2：3
设每一份对应时间为m小时，
则 2m+0.5+3m=1.2
m=0.14
∴t=1-2×0.14=0.72
把t=0.72代入y=90x得，y=64.8
∴该地与甲地的距离为64.8千米。
方法四：
分析：用含y的代数式表示x，利用时间差为1.2小时的相等关系，建立方程，从而求解。
解：
由y= 90x1，得x1= y，
由y= - 60x2+180，得x2= - y+3
∵两次经过此地时间相差1.2h，
∴x2- x1=1.2
（- y+3）- y=1.2
y=64.8
∴该地与甲地的距离为64.8千米
小结：
在解决实际问题时，可以多角度思考，找不同的相等关系，一题多解，提高解决问题的能力。
（4）同一时刻，小华骑摩托车从甲地前往乙地，匀速行驶。若小华出发2小时后与小明相遇，在同一坐标系内画出小华与甲地的距离y2与时间x的函数图象，求出y2与x的函数关系式，及小华从甲地到乙地所用的时间。
分析：由小华出发2小时后与小明相遇，及BC段的函数关系式，可以求出相遇点的坐标，从而解决。
解：把x=2代入y=-60x+180得，
y=-60×2+180=60
∴点D的坐标是（2,60）
设y2=k3x，把D（2,60）代入得
2k3=60，k3=30
∴y2=30x
把y2=90代入得，x=3
∴小华从甲地到乙地用了3小时。
小结：
在解题时，可以结合函数图像，找到交点，将抽象问题转化为具体问题，数形结合。
（5）在（四）的条件下，经过多长时间，2人相距20千米？
分析：两人相距20千米，可能是小华在前，也可能是小明在前，结合图像分情况讨论。
小结：
结合图像分情况讨论，能够帮助学生直观的解决问题。注意，如果结果不在自变量的取值范围内，要舍去。
3、小结思考
这节课你有哪些收获？
1.从给定的信息中抽象出一次函数关系；读图找点-见形想式-建模求解。
2.确定一次函数的关系式；待定系数法、根据题意直接写出函数关系式。
3.已知一个变量求另一个变量。
4.理解交点的意义。
5.数形结合探索解题思路。
把生活问题抽象成数学问题，再用数学知识解决。
四、课后作业
（六）若小明出发0.5小时后，小华骑摩托车从甲地前往乙地，且小华出发1.5小时后与小明相遇，在同一坐标系内画出小华与甲地的距离y2与时间x的函数图像，并求出经过多长时间，2人相距20千米？
t+1.2
t
EMBED \* MERGEFORMAT
x1
x2
y2(小华)
y1(小明)
D(2,60)
E
y2(小华)
y1(小明)
D(2,60)
E