2011年北约自主招生物理解析

2011北约自主招生物理解析
1.两个质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长L的弹簧两端，由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上。小球半径r<（1）问仅在两球之间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量x为多大？
（2）若体系整体绕中心以角速度ω旋转，要求弹簧保持原长，角速度ω应为多大？
解析：（1）两球组成系统的引力势能：Ep=-Gm2/R，R为两球球心之间距离。
弹簧最大压缩量时小球速度为零。由能量守恒定律，
kx2- Gm2/(L-x)=-Gm2/L
考虑到两球之间万有引力很小，x<即(1-x/L)-1=1+x/L，则能量关系可简化为kx2=G，
解得x=2Gm2/kL2。
（2）弹簧保持原长，两球之间的万有引力提供向心力，
G m2/(L+2r)2=mω2(L+2r) ，，
解得： ω=。
2.（2011北约自主招生）不计重力，空间有匀强电场E。质量均为m的小球A、B，A带电，q>0，B不带电。t=0时，两球静止，且相距L。AB方向与电场E方向相同。t=0时刻，A开始受电场力作用而运动。AB之间发生弹性正碰而无电荷转移。求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。
答案：T=2.
解析：A开始受电场力作用，加速度a=qE/m。
设A与B碰撞前速度v，则有v2=2aL，
所需时间：t=v/a。
A与碰撞后，交换速度，A球静止，B球以v匀速运动。A球从静止开始做加速度为a的加速运动，由vT=aT2，解得T=2t，即经过2t时间第2次碰撞。如此类推，第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间为T=2t。
联立解得T=2.
3.不计电阻的光滑平行轨道EFG、PMN构成相互垂直的L型，磁感应强度为B的匀强磁场方向与水平的EFMP平面夹角θ(θ<45°)斜向上，金属棒ab、cd的质量均为m、长均为L、电阻均为R。ab、cd由细线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细线质量不计，ab、cd与轨道正交，已知重力加速度为g。
（1）求金属棒的最大速度vmax；
（2）当金属棒速度为v时，且v小于最大速度vmax时，求机械能损失的功率P1和电阻的发热功率P2。
解析：（1）金属棒达最大速度vmax时，回路中的感应电动势
E=Bcosθ·Lvmax - Bsinθ·Lvmax= BLvmax (cosθ-sinθ)，
回路中电流：I=E/2R，
当两金属棒做匀速运动时，速度达到最大值，有
Mg=BIL(cosθ-sinθ)
解得：vmax=.
（2）当金属棒速度为v时，回路中的感应电动势
E’=Bcosθ·Lv - Bsinθ·Lv= BLv (cosθ-sinθ)，
回路中电流：I’=E’/2R，
此时安培力：F=BI’L= (cosθ-sinθ)，
机械能损失的功率P1=Fv cosθ-Fvsinθ= (cosθ-sinθ)2，
电阻的发热功率P2= E’2/2R= (cosθ-sinθ)2。
4. （2011北约自主招生）等腰直角三角形棱镜ABC，一组平行光垂直斜边AB射入。
（1）如果光线不从AC、BC面射出，七三棱镜的折射率n的范围。
（2）如果光线顺时针转过θ=30°，即与AB呈60°角斜向下，不计反射两次以上的光线，当n取（1）中最小值时，能否有光线从BC、AC边射出？（不考虑经过多次反射的情况）
解析：（1）光线穿过AB面后方向不变。在AC、BC面上的入射角均为45°，发生全反射的条件为：
Sin45°≥1/n，
解得n≥。
（2）在n取时，全反射的临界角iC=45°。
折射光路图如图所示，sin30°=nsinα，
解得：α=arcsin（）。
β=45°-α< iC=45°。所以光线可以从BC边射出。
θ=45°+α> iC=45°。所以光线在AC边发生全反射，不可以从AC边射出。
所以只有BC边有光射出。
5. （2011北约自主招生）平直铁轨上停着一节质量为M=2m的小车厢。可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N名组员沿铁轨方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m。
（1）当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v0跑步，每名组员在接近车厢时又以2v0速度跑着上车坐下。组长却因跑步速度没有改变而恰好未追上车，试求N。
（2）组员们上车后，组长前进速度减小为v0/2，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下，组员离开车厢瞬间相对车厢速度大小同为u，结果又可使组长也能追上车。试问：跳车过程中组员们总共消耗掉人体中多少内能？
解析：（1）组员跳上车的过程系统动量守恒。临界情况对应N个组员跳上车后车厢速度为v0，则：N·m·2v0=（Nm+2m）v0，
解得：N=2。
（2）第一个组员跳下车后车厢速度为v1，则由动量守恒定律：
（2m+2m）v0=（m+2m）v1+m(u+v1)
第二个组员跳下车后车厢速度为v0/2，则由动量守恒定律：
3m v1=2m·v0/2+m(v0/2+u)，
解得：u=6 v0/7，v1= 11v0/14.。
跳车过程中组员们总共消耗掉人体中内能：
E=[·3m v12+ m(u+v1)2—·4m v0 2]+ [·2m (v0)2+ m(u+v0)2—·3m v1 2] =mv0 2。