幂函数[上学期]
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文档简介
课题： 幂函数
教材： 人民教育出版社《数学必修1》第三章3.3
山东省济南第十一中学 马可宇
一、教学目标：
1、 知识目标：
通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，,的图象，探求幂函数的性质，并能应用性质解决简单的为题。
2、 能力目标：
通过类比指数函数的概念引入幂函数的概念，培养学生抽象概括和类比分析能力；通过列表、描点作幂函数的图象，培养学生的作图能力；通过对几个特殊的幂函数图象的观察、分析、抽象出一般幂函数的性质，培养和提高学生的抽象概括、归纳总结和数学表达等基本思维能力，体验用数形结合、转化函数等数学思想来解决数学问题的方法，学习从特殊到一般的研究问题的方法和认识规律。
3、 德育目标：
通过师生互动，生生互动的教学活动过程，引导学生主动参与作图、交流讨论、分析图象特征和归纳函数性质的过程，体验数学发现和研究的历程，体会成功的喜悦，培养学生的探索精神、创新意识和合作交流的科学态度，在研究图象变化的过程中渗透辨证唯物主义观点。
二、重点遇难点：
1、重点：幂函数的概念、图象和性质。
2、难点：将函数图象的直观特点上升到理性认识，归纳概括成函数性质。
三、教学方法与教学手段：
1、教学方法：本节课采用探索发现法、讨论法和类比分析的教学方法。
通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辩析思考的学习气氛中。
2、教学手段：利用实物投影仪及计算机辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
新课引入教学环节 教师提出问题：1、到目前为止，我们已经学习了哪些基本初等函数？2、观察下列两组函数，每一组的表达式有什么共同特征？（1）y=3x，y=0.5x，y=5x, y=0.7x （2）生：共同特征：（1）底数是常数，自变量在指数位置上,是我们学过的指数函数。（2）底数可变，而指数不可变，即是以幂的底数为自变量，指数为常数的函数。教学内容 学生积极回忆思考，回答教师问题。教师引导：从函数自变量的位置这一角度来考虑。学生回答后教师引出幂函数的课题。师生互动 温故知新，从复习指数函数的定义入手，引出幂函数的定义，培养学生的类比分析的能力。设计意图
概念形成及深化 师：指数函数的定义式为y=ax（a＞0且a≠1），你认为幂函数的一般形式应如何表示？生：。教师板书定义：一般地，形如（∈R）的函数称为幂函数。其中为常数。注：（1）我们目前只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数；（2）并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数。思考：幂函数的表达式有什么特征？判断下列函数是否是幂函数？你能举出几个幂函数的例子吗？ 学生积极思考，讨论回答教师提出的问题。教师指出(1)和(3)不符和幂函数的定义，不过它们可以看作是由幂函数与常数经过算术运算得到的初等函数。 培养学生观察、归纳、概括能力。通过三个思考题的设计，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深对幂函数定义的认识和理解。
函数图象 学生分组作出下列函数的图象（每组作2个）跟据图象填写函数性质表:定义域值域单 调区 间奇偶性从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同。但它们也有一些共同的性质： 学生列表描点作图，教师先用实物投影仪展示学生的优秀作品，并用几何画板展示各函数的图象。学生观察图象,归纳,、想象性质，填写表格。教师巡视,学生口答表格内容。 通过作图训练学生的动手实践能力,并为下面的学习提供丰富的直观材料。培养学生的作图技能和识图能力，以及抽象概括能力。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
函数性质探究 教师利用计算机分别展示幂函数当的图象，让学生观察它们在第一象限内的图象，探究、讨论，归纳、概括幂函数的性质。教师引导：（1）在上都有定义吗？（2）它们的图象恒过哪些定点？（3）它们的单调性怎样？与有何关系？师生共同总结：所有的幂函数在上都有定义，并且图象都通过点（1，1）；如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3） 如果, 则幂函数在区间上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。练习图练习：已知幂函数在第一象限的图象如图所示，已知取四个值，则相应于曲线的值依次为（ ）A ． B ． C． D． 学生分组讨论，一段时间后，派代表发表本组的意见，各组之间进行交流，最后达成一致意见，师生共同总结出幂函数的性质。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对本人的鼓励。当学生的讨论误入歧途时，教师还要给予适当的引导。最后，教师板书幂函数的三种形式的简图。学生讨论交流，口答练习题。 师生互动，突破难点。培养学生的看图、析图能力，归纳、概括和想象能力，让学生自主探究，主动学习，逐步体会用数形结合、函数等数学思想解决问题的方法，在合作、讨论中提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。这一练习题的设计，目的在于检测学生幂函数图象及性质的掌握情况。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例1：比较下列各组数的大小：(1) (2) (3) (4) 分析：1.要比较的两个值有什么特点 都是幂的形式,且指数相同(不变),底数不同(变),因此我们想通过构造幂函数解决问题.2.构造一个什么样的幂函数 3.要比较的两个值与所构造的幂函数有何关系 把这两个值看成是两个函数值.那么,此题就变成了比较两个函数值大小的问题.4.根据幂函数在上的单调性,可通过比较自变量取值的大小来比较对应的函数值的大小。5.(3)需要转化，考察幂函数的单调性。6.(4)先利用幂函数的单调性,再利用指数函数的单调性。 学生先思考、交流，当思路受阻时，教师及时给予启发、引导、分析，充分体现教师的主导作用。最后教师板书解答过程。 最后让学生反思、归纳解决这类比较大小问题的解题方法和步骤。 这一例题的作用主要在于培养学生根据例题构造函数，并利用函数性质来解决问题的能力，同时加深学生对幂函数及其性质的理解，渗透数性结合、转化、类比等数学思想。
知识巩固 巩固练习：教材第118页，习题3-3B 1 例2：讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性。分析：先根据解析式求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，列表、描点、连线，画出函数在第一象限的图象，再根据这个函数的图象关于y轴对称，作出整个函数的图象。巩固练习：教材第118页，习题3-3A 2 学生思考，口答习题1。例2由学生独立完成,教师巡视，用实物投影仪展示学生的作品，用计算机展示此函数地图象。 培养学生的作图能力，以及利用函数的性质解决问题的能力。
能力提高 思考与讨论：(1)在幂函数中,如果是正偶数(=2,4,6,…),这一类函数具有哪些性质？(2)在幂函数中,如果是正奇数（=1,3,5,….),这一类函数具有哪些性质？ 学生分组讨论，交流，教师展示这两类函数图象，师生共同归纳出它们的性质。 培养学生自主探究、合作学习的习惯，提高抽象概括能力，发展学生的发散思维能力。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
归纳小结 师生共同完成：幂函数的概念；幂函数的图象和性质；观察、归纳是发现数学问题的重要方法；学习数形结合、转化、类比和函数的数学思想和方法。 让学生回忆本节课收获，大胆发言，归纳概括，教师及时点评并总结完善。 巩固本节课学习成果，使学生逐步养成善总结、会总结的习惯，提高归纳概括能力。
布置作业 1．教材第118页 习题3-3A 1,3 B 22．阅读：教材第119页的“探索与研究”3．课外探究：幂函数的图象共有哪几种类型？（提示：设，从与的奇偶性出发分情况讨论）讨论交流后，填写下表：都是奇数p是偶数q是奇数p是奇数q是偶数 帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果，使下一节课的教学有的放矢。特别是“课外探究”这一内容的设计，将课堂延伸，使学生将课堂所学内容进行再现和升华，对所学内容有一个系统的认识。
五、板书设计设：
3.3 幂函数一、复习引入 二、新课讲解 三、应用举例 四、巩固练习函数的定义： 例1 练习12．幂函数的图象3．幂函数的性质： 例2 练 小结： 作业：
教材： 人民教育出版社《数学必修1》第三章3.3
山东省济南第十一中学 马可宇
一、教学目标：
1、 知识目标：
通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，,的图象，探求幂函数的性质，并能应用性质解决简单的为题。
2、 能力目标：
通过类比指数函数的概念引入幂函数的概念，培养学生抽象概括和类比分析能力；通过列表、描点作幂函数的图象，培养学生的作图能力；通过对几个特殊的幂函数图象的观察、分析、抽象出一般幂函数的性质，培养和提高学生的抽象概括、归纳总结和数学表达等基本思维能力，体验用数形结合、转化函数等数学思想来解决数学问题的方法，学习从特殊到一般的研究问题的方法和认识规律。
3、 德育目标：
通过师生互动，生生互动的教学活动过程，引导学生主动参与作图、交流讨论、分析图象特征和归纳函数性质的过程，体验数学发现和研究的历程，体会成功的喜悦，培养学生的探索精神、创新意识和合作交流的科学态度，在研究图象变化的过程中渗透辨证唯物主义观点。
二、重点遇难点：
1、重点：幂函数的概念、图象和性质。
2、难点：将函数图象的直观特点上升到理性认识，归纳概括成函数性质。
三、教学方法与教学手段：
1、教学方法：本节课采用探索发现法、讨论法和类比分析的教学方法。
通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辩析思考的学习气氛中。
2、教学手段：利用实物投影仪及计算机辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
新课引入教学环节 教师提出问题：1、到目前为止，我们已经学习了哪些基本初等函数？2、观察下列两组函数，每一组的表达式有什么共同特征？（1）y=3x，y=0.5x，y=5x, y=0.7x （2）生：共同特征：（1）底数是常数，自变量在指数位置上,是我们学过的指数函数。（2）底数可变，而指数不可变，即是以幂的底数为自变量，指数为常数的函数。教学内容 学生积极回忆思考，回答教师问题。教师引导：从函数自变量的位置这一角度来考虑。学生回答后教师引出幂函数的课题。师生互动 温故知新，从复习指数函数的定义入手，引出幂函数的定义，培养学生的类比分析的能力。设计意图
概念形成及深化 师：指数函数的定义式为y=ax（a＞0且a≠1），你认为幂函数的一般形式应如何表示？生：。教师板书定义：一般地，形如（∈R）的函数称为幂函数。其中为常数。注：（1）我们目前只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数；（2）并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数。思考：幂函数的表达式有什么特征？判断下列函数是否是幂函数？你能举出几个幂函数的例子吗？ 学生积极思考，讨论回答教师提出的问题。教师指出(1)和(3)不符和幂函数的定义，不过它们可以看作是由幂函数与常数经过算术运算得到的初等函数。 培养学生观察、归纳、概括能力。通过三个思考题的设计，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深对幂函数定义的认识和理解。
函数图象 学生分组作出下列函数的图象（每组作2个）跟据图象填写函数性质表:定义域值域单 调区 间奇偶性从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同。但它们也有一些共同的性质： 学生列表描点作图，教师先用实物投影仪展示学生的优秀作品，并用几何画板展示各函数的图象。学生观察图象,归纳,、想象性质，填写表格。教师巡视,学生口答表格内容。 通过作图训练学生的动手实践能力,并为下面的学习提供丰富的直观材料。培养学生的作图技能和识图能力，以及抽象概括能力。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
函数性质探究 教师利用计算机分别展示幂函数当的图象，让学生观察它们在第一象限内的图象，探究、讨论，归纳、概括幂函数的性质。教师引导：（1）在上都有定义吗？（2）它们的图象恒过哪些定点？（3）它们的单调性怎样？与有何关系？师生共同总结：所有的幂函数在上都有定义，并且图象都通过点（1，1）；如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3） 如果, 则幂函数在区间上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。练习图练习：已知幂函数在第一象限的图象如图所示，已知取四个值，则相应于曲线的值依次为（ ）A ． B ． C． D． 学生分组讨论，一段时间后，派代表发表本组的意见，各组之间进行交流，最后达成一致意见，师生共同总结出幂函数的性质。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对本人的鼓励。当学生的讨论误入歧途时，教师还要给予适当的引导。最后，教师板书幂函数的三种形式的简图。学生讨论交流，口答练习题。 师生互动，突破难点。培养学生的看图、析图能力，归纳、概括和想象能力，让学生自主探究，主动学习，逐步体会用数形结合、函数等数学思想解决问题的方法，在合作、讨论中提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。这一练习题的设计，目的在于检测学生幂函数图象及性质的掌握情况。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例1：比较下列各组数的大小：(1) (2) (3) (4) 分析：1.要比较的两个值有什么特点 都是幂的形式,且指数相同(不变),底数不同(变),因此我们想通过构造幂函数解决问题.2.构造一个什么样的幂函数 3.要比较的两个值与所构造的幂函数有何关系 把这两个值看成是两个函数值.那么,此题就变成了比较两个函数值大小的问题.4.根据幂函数在上的单调性,可通过比较自变量取值的大小来比较对应的函数值的大小。5.(3)需要转化，考察幂函数的单调性。6.(4)先利用幂函数的单调性,再利用指数函数的单调性。 学生先思考、交流，当思路受阻时，教师及时给予启发、引导、分析，充分体现教师的主导作用。最后教师板书解答过程。 最后让学生反思、归纳解决这类比较大小问题的解题方法和步骤。 这一例题的作用主要在于培养学生根据例题构造函数，并利用函数性质来解决问题的能力，同时加深学生对幂函数及其性质的理解，渗透数性结合、转化、类比等数学思想。
知识巩固 巩固练习：教材第118页，习题3-3B 1 例2：讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性。分析：先根据解析式求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，列表、描点、连线，画出函数在第一象限的图象，再根据这个函数的图象关于y轴对称，作出整个函数的图象。巩固练习：教材第118页，习题3-3A 2 学生思考，口答习题1。例2由学生独立完成,教师巡视，用实物投影仪展示学生的作品，用计算机展示此函数地图象。 培养学生的作图能力，以及利用函数的性质解决问题的能力。
能力提高 思考与讨论：(1)在幂函数中,如果是正偶数(=2,4,6,…),这一类函数具有哪些性质？(2)在幂函数中,如果是正奇数（=1,3,5,….),这一类函数具有哪些性质？ 学生分组讨论，交流，教师展示这两类函数图象，师生共同归纳出它们的性质。 培养学生自主探究、合作学习的习惯，提高抽象概括能力，发展学生的发散思维能力。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
归纳小结 师生共同完成：幂函数的概念；幂函数的图象和性质；观察、归纳是发现数学问题的重要方法；学习数形结合、转化、类比和函数的数学思想和方法。 让学生回忆本节课收获，大胆发言，归纳概括，教师及时点评并总结完善。 巩固本节课学习成果，使学生逐步养成善总结、会总结的习惯，提高归纳概括能力。
布置作业 1．教材第118页 习题3-3A 1,3 B 22．阅读：教材第119页的“探索与研究”3．课外探究：幂函数的图象共有哪几种类型？（提示：设，从与的奇偶性出发分情况讨论）讨论交流后，填写下表：都是奇数p是偶数q是奇数p是奇数q是偶数 帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果，使下一节课的教学有的放矢。特别是“课外探究”这一内容的设计，将课堂延伸，使学生将课堂所学内容进行再现和升华，对所学内容有一个系统的认识。
五、板书设计设：
3.3 幂函数一、复习引入 二、新课讲解 三、应用举例 四、巩固练习函数的定义： 例1 练习12．幂函数的图象3．幂函数的性质： 例2 练 小结： 作业：