2.3 用公式法求解一元二次方程 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
2.3 用公式法求解一元二次方程
北师大版 九年级上册
教学目标
【教学目标】
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2、会用公式法解一元二次方程；
3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；
4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
【重点】用公式法解一元二次方程.
【难点】一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力.
新知导入
用配方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；　　　　　(2)2x2－4x＝1
新知导入
说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？
基本步骤如下：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.
新知导入
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
一元二次方程的一般形式是：
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
新知讲解
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)吗？
方程的两边同除以a，得
配方，方程的两边同加上_______，得
新知讲解
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)吗？
因为a≠0，所以4a2>0
当b2-4ac≥0时， 是一个非负数，此时两边开平方，得
即
新知讲解
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
方程的根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
新知讲解
例 解方程
（1）x2-7x-18=0 （2）4x2+1=4x
解：已知a=1，b=-7，c=-18.
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
=121>0
即x1=9，x2=-2
解：将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0.
这里a=4，b=-4，c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0
即x1=x2=
新知讲解
公式法解方程的步骤
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断:若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
针对训练
解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
即 x1 = -9, x2 = 2 .
新知讲解
你能解一元二次方程 x2-2x+3=0吗？
x2-2x+3=0
x2-2x=-3
x2-2x+1=-3+1
（x-1）2=-2
∵不论x为何值，（x-1）2都不能为负数，∴此方程无解。
配方法：
公式法：
解：已知a=1，b=-2，c=3.
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3
=-8<0
你能发现什么？
新知讲解
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？
ax2+bx+c=0
配方得
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
新知讲解
对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？
(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根，即
(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
新知讲解
由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac 来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，
通常用希腊字母”Δ“来表示.
新知讲解
问题：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？
16m
12m
看看下面几位同学的设计方法是否合理？
新知讲解
1.小明的设计方案如图，其中花园四周小路的宽度都相等.
通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗？为什么？
16m
12m
x
x
解：设小路的宽为 xm，由题意得：
整理得：x2 -14x+24 = 0
解方程得 x1=2 , x2=12.
x =12 不符合题意。
新知讲解
2.小亮的设计方案如图，其中花园每个角上的扇形都相同.
16m
12m
你能帮小亮求出图中扇形的半径是多少吗？
4个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m，根据题意，得
解得x1= , x2= （舍去）
所以图中扇形的半径约为5.5.
新知讲解
3.小颖的设计方案如图.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m
12m
xm
xm
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
所以小路的宽为4m.
课堂练习
1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
B
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
B
课堂练习
3. 解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，

课堂练习
4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.
解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.
所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.
所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.
这里a=5,b=-8,c=1，
课堂练习
5.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm, 根据题意得:
(90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40.
即 x2 + 65x - 350 = 0.
解方程,得
x1= 5 , x2 = -70 (舍去).
答:金边的宽应是5cm.
课堂练习
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
课堂总结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
谢谢
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