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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.1一元二次方程的解法直接开平方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·玄武期末）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
2．（2021九上·江阴月考）一元二次方程 的解是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ，
所以x1=-1，x2=3.
故答案为：A.
【分析】直接开平方可得x-1=±2，求出x的值，进而判断.
3．方程4x2=16的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=﹣4 D．x=±2
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2=16，
x2=4，
x=±2．
故选：D．
【分析】把系数化为1，直接开方得出答案即可．
4．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（x﹣4）2=a有实数解，
∴x﹣4=±，
∴a≥0；
故选B．
【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．
5．下列方程能直接开平方的是（ ）
A．5x2+2=0 B．4x2﹣2x+1=0 C．（x﹣2）2=4 D．3x2+4=2
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：能直接开平方的是（x﹣2）2=4，
故选：C．
【分析】根据用直接开方法求一元二次方程的解的类型：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）可得答案．
6．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C． . D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；
开方得：x=± .
故答案为：C.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，建立关于x的方程，利用直接开平方法解方程求出x的值。
二、填空题
7．（2020九上·南京月考）方程 的解是 .
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由于方程的左边是一个完全平方式，故可以利用直接开平方求解..
8．（2020九上·江都月考）已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m= .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，
解得：m=2或m=-2，
又∵m-2≠0，即m≠2，
∴m= -2，
故答案为：-2.
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值.
9．（2020九上·江苏月考）若方程 有解，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（x+3）2+a=0有解，
∴-a≥0，则a≤0.
故答案为：a≤0.
【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=-a，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则-a是非负数，从而求出a的取值范围.
10．（2020九上·大丰期末）若 ，则x＝ ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ,
,
,
故答案为： .
【分析】用直接开平方法解方程即可.
11．（2021九上·沭阳月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是 .
【答案】 或
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 的解为：x1=3，x2=7，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】先把 x1=3，x2=7， 代入方程 ，得出两个等式，再联立求出m和的值，然后代入 中，再解关于x的方程即可.
三、解答题
12．解下列方程：（2x﹣3）2=9
【答案】解：直接开平方，得：
2x﹣3=±3，
∴2x﹣3=3或2x﹣3=﹣3，
∴x1=3，x2=0；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程．
13．解方程：4x2﹣20=0．
【答案】解：由原方程，得
x2=5，
所以x1=，x2=﹣．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先变形得到x2=5，然后利用直接开平方法求解．
14．（3x﹣1）2=（x+1）2．
【答案】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1=x+1，或3x﹣1=﹣（x+1），
∴2x=2，或4x=0，
解得：x1=1，x2=0．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
15．（2018九上·秦淮月考）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9，（3x﹣2）2=25， …都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3.
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25.
解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5或3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程，得x1= ，x2=﹣1.
（2）解方程 .
【答案】（1）3x﹣2=﹣5
（2）解；根据乘方运算，
得
∴x1= ，x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由52=25，（-5）2=25进行填空即可.
（2）由于22=4，（-4）2=4，可得，分别解这两个一元一次方程即可.
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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.1一元二次方程的解法直接开平方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·玄武期末）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D． ，
2．（2021九上·江阴月考）一元二次方程 的解是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
3．方程4x2=16的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=﹣4 D．x=±2
4．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定
5．下列方程能直接开平方的是（ ）
A．5x2+2=0 B．4x2﹣2x+1=0 C．（x﹣2）2=4 D．3x2+4=2
6．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C． . D．
二、填空题
7．（2020九上·南京月考）方程 的解是 .
8．（2020九上·江都月考）已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m= .
9．（2020九上·江苏月考）若方程 有解，则a的取值范围是 .
10．（2020九上·大丰期末）若 ，则x＝ ．
11．（2021九上·沭阳月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是 .
三、解答题
12．解下列方程：（2x﹣3）2=9
13．解方程：4x2﹣20=0．
14．（3x﹣1）2=（x+1）2．
15．（2018九上·秦淮月考）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9，（3x﹣2）2=25， …都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3.
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25.
解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5或3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程，得x1= ，x2=﹣1.
（2）解方程 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
2．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ，
所以x1=-1，x2=3.
故答案为：A.
【分析】直接开平方可得x-1=±2，求出x的值，进而判断.
3．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2=16，
x2=4，
x=±2．
故选：D．
【分析】把系数化为1，直接开方得出答案即可．
4．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（x﹣4）2=a有实数解，
∴x﹣4=±，
∴a≥0；
故选B．
【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．
5．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：能直接开平方的是（x﹣2）2=4，
故选：C．
【分析】根据用直接开方法求一元二次方程的解的类型：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）可得答案．
6．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；
开方得：x=± .
故答案为：C.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，建立关于x的方程，利用直接开平方法解方程求出x的值。
7．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由于方程的左边是一个完全平方式，故可以利用直接开平方求解..
8．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，
解得：m=2或m=-2，
又∵m-2≠0，即m≠2，
∴m= -2，
故答案为：-2.
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值.
9．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（x+3）2+a=0有解，
∴-a≥0，则a≤0.
故答案为：a≤0.
【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=-a，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则-a是非负数，从而求出a的取值范围.
10．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ,
,
,
故答案为： .
【分析】用直接开平方法解方程即可.
11．【答案】 或
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 的解为：x1=3，x2=7，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】先把 x1=3，x2=7， 代入方程 ，得出两个等式，再联立求出m和的值，然后代入 中，再解关于x的方程即可.
12．【答案】解：直接开平方，得：
2x﹣3=±3，
∴2x﹣3=3或2x﹣3=﹣3，
∴x1=3，x2=0；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程．
13．【答案】解：由原方程，得
x2=5，
所以x1=，x2=﹣．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先变形得到x2=5，然后利用直接开平方法求解．
14．【答案】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1=x+1，或3x﹣1=﹣（x+1），
∴2x=2，或4x=0，
解得：x1=1，x2=0．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
15．【答案】（1）3x﹣2=﹣5
（2）解；根据乘方运算，
得
∴x1= ，x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由52=25，（-5）2=25进行填空即可.
（2）由于22=4，（-4）2=4，可得，分别解这两个一元一次方程即可.
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