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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.3一元二次方程的解法——配方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·浦口月考）用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（ ）
A．（x＋2）2＝1 B．（x－2）2＝1
C．（x＋2）2＝7 D．（x－2）2＝7
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2－4x－3＝0，
移项得，
配方得，
∴.
故答案为：D.
【分析】先把常数移到等式的右边，在两边同时加一次项系数一半的平方“4”把左式配成完全平方式，即可解答.
2．（2021九上·盐城月考）用配方法解方程 ，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得
x2+2x=2，
x2+2x+1=2+1，
（x+1）2=3.
故答案为：A.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”即可求解.
3．（2020九上·新沂期中）用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；
B、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；
C、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；
D、先两边同时除4，两边同时加上1的一半的平方，即同时加上，故本项错误.
故答案为：B.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，据此判断.
4．（2021九上·宿迁月考）一元二次方程 通过配方后为 ，则b，c的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
.
一元二次方程 通过配方后为 ，
，①
，②
由①②解得， ， .
故答案为：A.
【分析】通过对一元二次方程x2+ 6x+c= 0配方后得(x+ b)2= 16，利用完全平方公式展开，根据多项式相等，则各系数对应相等的特点，可求b, c的值.
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣1=5x，方程可变为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x﹣）2=
C．（x﹣）2= D．（x﹣）2=
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2﹣1=5x，
2x2﹣5x=1，
x2﹣x=，
x2﹣x+=+，
（x﹣）2=．
故选：B．
【分析】化为一般形式，把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，进一步利用完全平方公式得出答案即可．
6．（2020九上·沭阳期中）将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8 B．﹣3、8 C． 、 D． 、
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣ ，
则x2﹣3x+ ＝﹣ + ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴h＝﹣ ，k＝ ，
故答案为：D.
【分析】先把常数移到左边，再根据完全平方式，结合等式的性质对左边配方，最后作比较即可求出求值.
二、填空题
7．（2020九上·高淳期中）用配方法解方程x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝ .
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：3.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，据此解答.
8．（2020九上·南京期中）将方程 化为 的形式是 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】首先把常数项移到等号的右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
9．把方程 整理后配方成 的形式是 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
y2-4y=6y+6
y2-10y=6
y2-10y+25=31
(y-5)2=31
故答案是
【分析】先将方程转化为y2-10y=6的形式，再在方程的看，两边同时加上一次项系数一半的平方，然后就可转化为（y+a）2=k的形式。
10．（2019九上·盐城月考）一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a= .
【答案】6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意，(x 3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.
【分析】将方程 (x-3)2=3 展开，可得x2-6x+6=0，从而求出a值.
11．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，
变形得：x2﹣12x=﹣31，
配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：x﹣6=±，
解得：x=6+或x=6﹣，
当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．
故答案为：6+
【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
12．（2021九上·灌云月考）方程 配成 (x-m)2=n 的形式为 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 8x 3=0，
∴3x2 8x=3，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： .
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以3，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
三、解答题
13．（2021九上·姜堰月考）（1）4（x－3）2＝25
（2） （配方法）
【答案】（1）解： ，
，
解得： ， ；
（2）解： ，
，
，
，
解得： ， .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程两边同除以4，然后利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）将常数项移到方程右边，方程的两边同时加一次项系数一半的平方“”，将左式配成完全平方式，然后利用开平方法解一元二次方程即可.
14．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
【答案】解：2x2﹣4x﹣1=0，
2x2﹣4x=1，
x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=，
解得：x1=，x2=．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
15．用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．
【答案】解：把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x=，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1=+1
配方得（x+1）2=，
开方得x+1=±，
解得x=±﹣1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
16．（2019九上·沭阳月考）根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2-x-2 =0的解为
②方程x2-2x-3 =0的解为
③方程x2-3x-4 =0的解为
...
（2）根据以上方程特征及其解得特征，请猜想：
①方程x2-9x-10=0的解为
②请用配方法解方程x2-9x-10=0,以验证猜想结论的正确性。
（3）应用：关于x的方程 的解为x1 =-1,x2 =n+1
【答案】（1）x1＝-1，x2＝2；x1＝-1，x2＝3；x1＝-1，x2＝4
（2）x1＝-1，x2＝10；x2-9x-10=0， 移项，得 x2-9x=10， 配方，得 x2-9x+ =10+ ， 即（x- ）2= ， 开方，得 x- ， x1=-1，x2=10
（3）x2－nx-n-1＝0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）①∵x2-x-2=0，
∴(x+1)(x-2)=0，
∴x1=-1，x2=2；
②∵x2-2x-3=0,
∴(x+1)(x-3)=0，
∴x1=-1，x2=3；
③∵x2-3x-4=0,
∴(x+1)(x-4)=0，
∴x1=-1，x2=4；
…
（ 2 ）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2-9x-10=0的解为x1=-1，x2=10；
②x2-9x-10=0，
移项，得
x2-9x=10，
配方，得
x2-9x+ =10+ ，
即（x- ）2= ，
开方，得
x- ，
x1=-1，x2=10；
（ 3 ）由（1）和（2）可知，关于x的方程x2-nx-（n+1）=0的解为x1=-1，x2=n+1.
【分析】（1）①②③利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）①利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；②移项将常数项移到方程的右边，在方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方 ，左边配成完全平方式并用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后根据直接开平方法求解即可；
（3）观察（1）和（2）所得方程解的特点，即可直接写出方程的解.
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2022-2023学年苏科版数学九年级上学期1.2.3一元二次方程的解法——配方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·浦口月考）用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（ ）
A．（x＋2）2＝1 B．（x－2）2＝1
C．（x＋2）2＝7 D．（x－2）2＝7
2．（2021九上·盐城月考）用配方法解方程 ，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·新沂期中）用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·宿迁月考）一元二次方程 通过配方后为 ，则b，c的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣1=5x，方程可变为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x﹣）2=
C．（x﹣）2= D．（x﹣）2=
6．（2020九上·沭阳期中）将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8 B．﹣3、8 C． 、 D． 、
二、填空题
7．（2020九上·高淳期中）用配方法解方程x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝ .
8．（2020九上·南京期中）将方程 化为 的形式是 .
9．把方程 整理后配方成 的形式是 .
10．（2019九上·盐城月考）一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a= .
11．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为
12．（2021九上·灌云月考）方程 配成 (x-m)2=n 的形式为 .
三、解答题
13．（2021九上·姜堰月考）（1）4（x－3）2＝25
（2） （配方法）
14．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
15．用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．
16．（2019九上·沭阳月考）根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2-x-2 =0的解为
②方程x2-2x-3 =0的解为
③方程x2-3x-4 =0的解为
...
（2）根据以上方程特征及其解得特征，请猜想：
①方程x2-9x-10=0的解为
②请用配方法解方程x2-9x-10=0,以验证猜想结论的正确性。
（3）应用：关于x的方程 的解为x1 =-1,x2 =n+1
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2－4x－3＝0，
移项得，
配方得，
∴.
故答案为：D.
【分析】先把常数移到等式的右边，在两边同时加一次项系数一半的平方“4”把左式配成完全平方式，即可解答.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得
x2+2x=2，
x2+2x+1=2+1，
（x+1）2=3.
故答案为：A.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”即可求解.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；
B、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；
C、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；
D、先两边同时除4，两边同时加上1的一半的平方，即同时加上，故本项错误.
故答案为：B.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
.
一元二次方程 通过配方后为 ，
，①
，②
由①②解得， ， .
故答案为：A.
【分析】通过对一元二次方程x2+ 6x+c= 0配方后得(x+ b)2= 16，利用完全平方公式展开，根据多项式相等，则各系数对应相等的特点，可求b, c的值.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2﹣1=5x，
2x2﹣5x=1，
x2﹣x=，
x2﹣x+=+，
（x﹣）2=．
故选：B．
【分析】化为一般形式，把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，进一步利用完全平方公式得出答案即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣ ，
则x2﹣3x+ ＝﹣ + ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴h＝﹣ ，k＝ ，
故答案为：D.
【分析】先把常数移到左边，再根据完全平方式，结合等式的性质对左边配方，最后作比较即可求出求值.
7．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：3.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，据此解答.
8．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】首先把常数项移到等号的右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
9．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
y2-4y=6y+6
y2-10y=6
y2-10y+25=31
(y-5)2=31
故答案是
【分析】先将方程转化为y2-10y=6的形式，再在方程的看，两边同时加上一次项系数一半的平方，然后就可转化为（y+a）2=k的形式。
10．【答案】6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意，(x 3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.
【分析】将方程 (x-3)2=3 展开，可得x2-6x+6=0，从而求出a值.
11．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，
变形得：x2﹣12x=﹣31，
配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：x﹣6=±，
解得：x=6+或x=6﹣，
当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．
故答案为：6+
【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 8x 3=0，
∴3x2 8x=3，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： .
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以3，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
13．【答案】（1）解： ，
，
解得： ， ；
（2）解： ，
，
，
，
解得： ， .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将方程两边同除以4，然后利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）将常数项移到方程右边，方程的两边同时加一次项系数一半的平方“”，将左式配成完全平方式，然后利用开平方法解一元二次方程即可.
14．【答案】解：2x2﹣4x﹣1=0，
2x2﹣4x=1，
x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=，
解得：x1=，x2=．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
15．【答案】解：把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x=，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1=+1
配方得（x+1）2=，
开方得x+1=±，
解得x=±﹣1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
16．【答案】（1）x1＝-1，x2＝2；x1＝-1，x2＝3；x1＝-1，x2＝4
（2）x1＝-1，x2＝10；x2-9x-10=0， 移项，得 x2-9x=10， 配方，得 x2-9x+ =10+ ， 即（x- ）2= ， 开方，得 x- ， x1=-1，x2=10
（3）x2－nx-n-1＝0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）①∵x2-x-2=0，
∴(x+1)(x-2)=0，
∴x1=-1，x2=2；
②∵x2-2x-3=0,
∴(x+1)(x-3)=0，
∴x1=-1，x2=3；
③∵x2-3x-4=0,
∴(x+1)(x-4)=0，
∴x1=-1，x2=4；
…
（ 2 ）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2-9x-10=0的解为x1=-1，x2=10；
②x2-9x-10=0，
移项，得
x2-9x=10，
配方，得
x2-9x+ =10+ ，
即（x- ）2= ，
开方，得
x- ，
x1=-1，x2=10；
（ 3 ）由（1）和（2）可知，关于x的方程x2-nx-（n+1）=0的解为x1=-1，x2=n+1.
【分析】（1）①②③利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）①利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；②移项将常数项移到方程的右边，在方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方 ，左边配成完全平方式并用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后根据直接开平方法求解即可；
（3）观察（1）和（2）所得方程解的特点，即可直接写出方程的解.
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